Przykładowe zadania egzaminacyjne z matematyki
1. Obliczyć: a)
(x + 2y) dxdy, gdzie P jest prostokątem o wierzchołkach: (−4, −2), (1, −2) (1, 2) P
i (−4, 2); b)
(x + y − 1) dxdy, gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach (−3, 0), (0, 0) i (0, 3); D
c)
(x − y) dxdy, gdzie D = (x, y): x2 + y2 9 .
D
dl
1
2. Obliczyć: a)
, gdzie L =
(x, y): y = x − 2 i 0 x 4 ; b)
x2 + y2dl, gdzie L =
x
2
L
− y
L
= {(cos t + t sin t, sin t − t cos t):0 t 2π }; c) x2 + y2 dl, gdzie
L
L = {(r cos t, r sin t) :0 t 2π}; d)
(x + y) dx + ydy, gdzie AB jest odcinkiem o końcach AB
w punktach A = (1, 1), B = (3, 2) skierowanym od punktu A do punktu B;
e)
(x + y) dx + (x + 2y) dy, gdzie K =
t, t2 : 0 t 1
skierowanym zgodnie ze wzrostem
K
parametru t; f)
(x + y) dx + (x + 2y) dy, gdzie K = {(t, t) : 0 t 1} skierowanym zgodnie ze K
wzrostem parametru t.
dy
3. Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego: a) ydx − x2 − 1 dy = 0, b)
= ex+y,
dx
c) 1 + y2 dx + 1 + x2 dy = 0.
4. Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego spełniającą podany warunek początkowy: 2x
a) y =
, y (0) = 2; b) y = e2x+y, y (−1) = 1, c) y + 10y = 0, y (0) = 1.
y
5. Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego spełniającą podany warunek początkowy: a) y − 3y = 2x + 5, y (0) = 1; b) y + 2y = x2, y (0) = −1; c) y + 3y = sin x, y (0) = 2; d) 2
y − y = e2x, y (0) = 1, e) y + 7y = 5 sin 2x + 9 cos 2x, y (0) = 2, f) y − y = 2 sin 3x, y (0) = .
5
6. Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego: a) y −5y +6y = −2+x2, b) y −4y +13y =
= sin 2x, c) y − 5y = 3x + 2, d) y − 7y + 6y = 2x − 1, e) y + 4y + 3y = x − 1.
7. Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego spełniającą podany warunek początkowy: a) y +y = 0, y (0) = 1, y (0) = 1, b) y +8y +7y = 0, y (0) = 1, y (0) = 1; c) y +y −6y = 2x−1, 19
4
y (0) =
, y (0) = − .
9
3
8. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami sześciennymi do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że: a) suma otrzymanych oczek jest liczbą z przedziału 8; 11, b) wartość bezwzgl ędna różnicy otrzymanych oczek jest równa 4, c) iloczyn otrzymanych oczek jest liczbą podzielną przez 3 lub przez 4.
9. W magazynie znajduje si ę 12 węży pożarniczych, a wśród nich 4 są uszkodzone. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród losowo wybranych trzech węży: a) dokładnie dwa są dobre, b) co najmniej jeden jest uszkodzony, c) wszystkie są uszkodzone.
10. Z pojemnika zawierającego 3 kule białe i 4 czerwone wybieramy losowo 6 razy po 2 kule, przy czym wylosowaną par ę wkładamy z powrotem do pojemnika. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia: a) trzykrotnego wylosowania pary kul tego samego koloru, b) przynajmniej pi ęciokrot-nego wylosowania pary kul o różnych kolorach.
11. Czujka wykrywa pożar z prawdopodobieństwem 0,9. Obliczyć liczb ę takich czujek pracujących w sposób niezależny, aby prawdopodobieństwo wykrycia pożaru było większe od 0,99999.
12. Rzucamy dwa razy monetą symetryczną. Oznaczmy przez X zmienną losową, która przyjmuje wartości równe liczbie otrzymanych orłów. a) Podać rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. b) Podać wzór dystrybuanty zmiennej losowej X i narysować jej wykres. c) Obliczyć EX i D2X.
13. Funkcja f jest określona wzorem
0 dla x < 0
f (x) =
Ax dla 0 x 2
0 dla x > 2.
a) Wyznaczyć A tak, by funkcja f była funkcją g ęstości prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej X. b) Podać wzór dystrybuanty zmiennej losowej X i narysować jej wykres. c) Obliczyć 3
EX, D2X i σ. d) Obliczyć P
0 < X
.
2
x
14. Obliczyć EX i σ zmiennej losowej X o rozkładzie: a) i
−2
1
3
,
pi
0,2
0,4
0,4
x
x
b)
i
12
15
20 , c) i −2 −1 2
3
. W każdym zadaniu narysować dystry-
pi
0,3
0,3
0,4
pi
0,1
0,2
0,3
0,4
buant ę zmiennej losowej.
9
√
√
√
1. a) −30. b) − . c) 0. 2. a)
5 ln 2. b) 4 π2 4π2 + 1 + 1 4π2 + 1 − 1 . c) 2πr. d) 2
3
3
3
5
5
12. e)
. f)
. 3. a) y = C
x−1 . b) y = − ln (C − ex). c) y = tg (arctg (x + C)). 4. a) 2
2
x+1
√
y =
2x2 + 4. b) y = − ln e−1 + 1e−2 − 1e2x . c) y = e−10x. 5. a) y = 26e3x − 2x − 17. b) y =
2
2
9
3
9
−5e−2x + 1x2− 1x+ 1. c) y = 3 sin x− 1 cos x+ 21e−3x. d) y = e2x. e) y = cos 2x+sin 2x+e−7x.
4
2
2
4
10
10
10
f) y = ex − 3 cos 3x − 1 sin 3x. 6. a) y = C
x2 − 1 . b) y = e2x(C
5
5
1e2x + C2e3x + 1
6
3
1 cos 3x + C2 sin 3x)
8
9
3
13
1
2
+
cos 2x +
sin 2x. c) y = C
x2 −
x. d) y = C
x + . e) y =
145
145
1 + C2e5x − 10
25
1ex + C2e6x + 3
9
1
7
4
1
1
1
C1e−3x + C2e−x + x− . 7. a) y = cos x+sin x. b) y = e−x − e−7x.c) y = e2x +e−3x − x+ .
3
9
3
3
3
9
5
1
7
28
41
1
8640
22 528
8. a)
. b)
. c)
. 9. a)
. b)
. c)
. 10. a)
. b)
. 11. Potrzeba co
18
9
9
55
55
55
16 807
117 649
najmniej 6 czujek.
0
dla
x ≤ 0
x
1
dla
0 < x ≤ 1
12. a)
i
0
1
2 . b) F (x) =
4
p
1
1
1
3
i
dla
1 < x ≤ 2
4
2
4
41 dla
x > 2
F(x) 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
1
c) EX = 1, D2X = 2 0 dla x<0
13. a) 1 . b) F (x) =
1 x2 dla 0 ≤ x ≤ 2
2
41
dla
x > 2
F(x) 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
√
9
c) EX = 4 , D2X = 2 , δ =
2 . d)
.
3
9
3
16
2
F(x) 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
b) EX = 16. 1; σ = 3. 389 7
F(x) 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
x
c) EX = 1. 4; σ = 1. 854 7
F(x) 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
3