29 października 2012 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 6
Zadanie 1 Obliczyć wyznaczniki macierzy stosując metodę Sarrusa:
−
1
3
2
1
0 − 4
− 2 3
0
A =
0 − 3 − 2
B = 2 − 5 − 1
C =
4 1 − 6
4
1
1
0 − 2
3
− 3 0
2
Zadanie 2 Określ ilość inwersji oraz znak permutacji: a) σ 1 = (4 , 5 , 2 , 1 , 3), b) σ 2 = (3 , 5 , 2 , 4 , 1), c) σ 3 = (2 , 4 , 5 , 6 , 1 , 3).
Rozłóż powyższe permutacje na transpozycje.
Zadanie 3 Wyjaśnić, które z następujących wyrażeń są składnikami sumy określającej wyznacznik odpowiedniego stopnia i z jakim znakiem:
a) a 34 a 21 a 55 a 42 a 13, b) a 23 a 41 a 76 a 53 a 12 a 65 a 34, c) a 82 a 17 a 33 a 46 a 61 a 58 a 25 a 74, d) a 13 a 24 a 35 . . . an− 2 nan− 1 1 an 2.
Zadanie 4 Dobrać i, j oraz k tak, aby wyrażenie a 41 a 62 a 5 ia 85 a 2 ka 38 a 17 a 7 j wchodziło w skład sumy określającej wyznacznik 8-ego stopnia ze znakiem plus.
Zadanie 5 Obliczyć z definicji wyznaczniki macierzy:
1 0
2
0
1 − 2
3
− 3 7 4
−
1 2
0 − 1
A =
2
5 − 4
B = − 1 2 0
C =
0 1 − 3
0
−
3
0 − 1
4 4 2
−
1 0
0
2
Zadanie 6 Nie licząc wyznaczników wykazać równość: a
a
1
b 1 a 1 x + b 1 y + c 1
1
b 1 c 1
a)
a
=
a
2
b 2 a 2 x + b 2 y + c 2
2
b 2 c 2
a
a
3
b 3 a 3 x + b 3 y + c 3
3
b 3 c 3
a
a
1 + b 1 x
a 1 − b 1 x c 1
1
b 1 c 1
b)
a
=
− 2 x a
2 + b 2 x
a 2 − b 2 x c 2
2
b 2 c 2
a
a
3 + b 3 x
a 3 − b 3 x c 3
3
b 3 c 3