Šukasz Czech

3 pa¹dziernika 2012 r.

Algebra liniowa z geometri¡  zestaw nr 2

Zadanie 1 Zapisa¢ wektor u za pomoc¡ kombinacji liniowej wektorów v, w i t:

a)

u = (2, 4)

; natomiast v = (3, 0), w = (−3, −2);

b)

u = (−1, 2)

; natomiast v = (3, 1), w = (0, −3), t = (1, −2);

c)

u = (−4, 2, −2)

; natomiast v = (2, 2, 2), w = (1, −1, 0), t = (4, 1, −2);

d)

u = (2, −3, 1)

; natomiast v = (1, 2, 0), w = (2, −1, −1), t = (2, 1, −5);

Zadanie 2 Zbada¢ liniow¡ niezale»no±¢ wektorów:

a) u

1

= (1, −1, 2)

, u

2

= (3, 4, −1)

, u

3

= (2, 1, 0)

;

b) u

1

= (1, −2, 3)

, u

2

= (1, 0, 1)

, u

3

= (0, 2, −1)

;

c) u

1

= (1, 0, −1, 1)

, u

2

= (0, 2, −1, 2)

, u

3

= (1, −1, 2, 2)

, u

4

= (0, 0, 3, −2)

;

d) u

1

= (1, 1, −1, 3)

, u

2

= (1, 4, 2, 0)

, u

3

= (1, 2, 0, 2)

;

e) u

1

= (−1, −3, 5)

, u

2

= (2, 0, 2)

, u

3

= (0, −1, 2)

;

Zadanie 3 Wektory u, v, w, z s¡ liniowo niezale»ne w R

n

. Zbada¢ liniow¡ niezale»no±¢

wektorów:

a) a

1

= u + v

, a

2

= v + w

, a

3

= u + w

;

b) a

1

= u − v

, a

2

= v − w

, a

3

= w − z

, z − u;

c) a

1

= 2u − v

, a

2

= 3z + 2v

, a

3

= 4w + 2z

, a

4

= w − 3u

;

d) a

1

= 3u − 2v + w

, a

2

= 2u + 4v − z

, a

3

= 2u − 3v + 5w − 4z

;

Zadanie 4 Dla jakich warto±ci parametru k, wektor (k, 1, −1) da si¦ jednoznacznie przed-

stawi¢ w postaci kombinacji liniowej wektorów (2, k, 2) i (−1, 0, 2)?

Zadanie 5 Wykaza¢, »e wektory u i v s¡ liniowo niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy

wektory u + v oraz u − v s¡ liniowo niezale»ne.

Zadanie 6 Zbada¢, czy dowolny wektor u = (x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

da si¦ zapisa¢ jako kombi-

nacja liniowa wektorów:

a) v

1

= (1, 0, 1)

, v

2

= (2, 1, 0)

, v

3

= (0, 1, 1)

;

b) v

1

= (3, 1, −2)

, v

2

= (0, 2, 1)

, v

3

= (−1, −1, −1)

;

c) v

1

= (−2, 2, 1)

, v

2

= (3, −1, 2)

;

d) v

1

= (3, 1, 0)

, v

2

= (2, 0, 1)

, v

3

= (1, 0, 0)

, v

4

= (1, 1, 1)

;