7 listopada 2012 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 8
Zadanie 1 Obliczyć wyznaczniki n-tego stopnia: 1
n
· · ·
n
n
1
1
1
. . .
1
1
n
2
· · ·
n
n
x
y
0
0
· · ·
0
1
2
1
. . .
1
2
n
n
· · ·
n
n
0
x
y
0
· · ·
0
1
1
3
. . .
1
3
a)
b)
c)
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
n
n
· · ·
n − 1
n
y
0
0
· · ·
0
x
1
1
1
. . .
n
n
n
n
· · ·
n
n
1
2
3
. . .
n
n + 1
Zadanie 2 Udowodnić, że:
1 x
x 3
1
x 21
1
1 x
x 3
2
x 22
2
=
Y ( xi − xj)
dla
i, j ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 }
1 x
x 3
3
x 23
3
i<j
1 x
x 3
4
x 24
4
a następnie uogólnić to twierdzenie dla macierzy A = [ aij] n×n, gdzie aij = xj− 1
i
.
Zadanie 3 Dla podanych macierzy obliczyć det[( AB) T · C] oraz det( BT A · C 2).
1 − 1 6
2 3 − 4
− 2 2
4
A = 0 − 5 4
B = − 3 0
1
C =
1 5 − 9
2 − 8 2
2 2 − 1
3 7
5
Zadanie 4 Doprowadzić do postaci zredukowanej i wyznaczyć rzędy macierzy:
1 0 2 − 1
0
0 2
1 − 1 1
−
3 2
1
9
0 1 2
0 − 1
−
1 1 − 1
1 0
3 1 − 5 − 4
− 1 0 0 − 2
3
A =
B =
C =
0 2 − 1
0 3
− 5 2
0
7
1 1 1 − 1 − 1
1 1
1 − 1 0
−
1 9 − 3
2
0 1 0
1
4
0 0
1 − 1 1
1 0 0
0 − 1
Zadanie 5 Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:
−
−
1 3
0
0
3 2
1
9
−
3
4 − 4
1 0 − 7 − 1
3 1 − 5 − 4
A =
1
2 − 3
B =
C =
−
−
3 1
2
0
5 2
0
7
2 − 2
0
0 0
1
5
− 1 9 − 3
2
1 − 2
0 − 1
2
0
1 4
2 0
1
0
2
1
0 − 2 − 1
2 − 1 5
0 2 − 2 2
2
2
0 − 1
3
0
1
D =
0
7 3
E =
2 0
1 5 − 1
F =
0
1 − 3
2 − 1 − 1
−
3
4 0
2 0
1 0
0
3
2
1
2
1
4
−
4 7
3 1 − 1
−
2 − 2 − 1
0 − 1
0
Zadanie 6 Rozwiązać układy równań:
−
x +
y +
z =
0
3 x + 3 y + 2 z =
2
a)
3 x −
y + 2 z =
1
b)
x − 4 y − 3 z = − 4
−
−
x − 4 y − 3 z = − 3
2 x + 2 y + 4 z =
8
x + y +
z + t = 3
−
x − y −
z + t = 3
2 x − 3 y +
z = 1
c)
d)
−
2 x − y + 2 z − t = 3
4 x − 6 y + 2 z = 3
−
x + y + 3 z + t = 3
2 x
1
−
x 2 +
x 3
= − 1
x
1
+
x 2 −
x 3 = − 3
x
e)
1
+ 2 x 2 − 3 x 3 −
x 4 = − 1
f)
2 x 1 + 3 x 2 +
x 3 =
7
3 x
2
+
x 3 − 2 x 4 = − 1
−
x
1
+ 2 x 2 + 2 x 3 =
2
−
x 1 −
x 2 +
x 3 +
x 4 = − 1
−
x
1
+ 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 +
x 5 = 1
3 x
1
+ x 3 −
x 4 −
x 5 = 2
g)
−x 1 + 3 x 2 + x 3 +
x 4
= 3
−
3 x
1
−
x 2
− 2 x 5 = 4
x 2
+ 4 x 4 + 2 x 5 = 5