5 listopada 2012 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 7
Zadanie 1 Rozważyć następujące problemy: a) Jak zmieni się wyznacznik n-tego stopnia jeżeli jego wiersze zapiszemy w odwrotnej kolejności?
b) Jak zmieni się wyznacznik n-tego stopnia jeżeli dwie ostatnie kolumny przestawimy na początek w kolejności knkn− 1, a pozostałe kolumny przesuniemy o dwa miejsca w prawo?
Zadanie 2 Niech A = [ aik] n×n ( n 2) oraz aik ∈ {−k, k}, dla k ∈ Z. Udowodnić, że det A jest liczbą parzystą.
Zadanie 3 Udowodnić, że jeśli macierz A jest skośnie symetryczna (tzn. AT = −A) oraz jej stopień jest liczbą nieparzystą, to det A = 0.
Zadanie 4 Wykazać, że dla macierzy skośnie symetrycznej czwartego stopnia zachodzi det A = ( a 12 a 34 − a 13 a 24 + a 14 a 23)2.
Zadanie 5 Wyznaczyć wszystkie minory stopnia 3 dla macierzy:
2 − 1
0
1
0
0 − 7
0 − 4
8 − 2
5
3 − 2
−
3
1 − 6
2
A =
−
B =
2
0
1
0
C =
− 2
7
6
4
0 − 2
1
1
2 − 4
1
0 − 1 − 1
− 1 − 1
0
1
Zadanie 6 Wyznaczyć macierze dopełnień algebraicznych dla macierzy:
−
1 3
0
0
1 2 − 5
− 3
4 − 4
1 0 − 7 − 1
A =
0 7 − 3
B =
1
2 − 3
C =
−
3 1
2
0
−
2 8
1
2 − 2
0
0 0
1
5
Zadanie 7 Korzystając z tw. Laplace’a, obliczyć wyznaczniki macierzy z zadania 6 oraz tych zamieszczonych poniżej:
1 1 1 3 3 3
1
1 · · · · · · · · · 1
a 3 0 5
0 1 1 3 3 0
1
0
1 · · · · · · 1
0 b 0 2
0 0 1 3 0 0
1
1
0
1 · · · 1
A =
B =
C =
1 2 c 3
0 0 3 1 0 0
1
1
1
0 · · · 1
.
0 0 0 d
0 3 3 1 1 0
· · · · · · · · · · · ·
. . . ..
3 3 3 1 1 1
1
1
1 · · ·
1 0