Całkowanie numeryczne
Cel ćwiczenia
Sprawozdanie powinno zawierać
Praktyczne zaznajomienie się z najprostszymi metodami całkowania numerycznego. Doświadczalne
• Zestawienie tabelaryczne i wykresy błędu względnego i bezwzględnego (ewentualnie ich modułów)
zbadanie przydatności ekstrapolacji Richardsona w całkowaniu numerycznym. Poznanie praktycznych
całki w zależności od liczby podprzedziałów (długości kroku).
zalet adaptacyjnych procedur całkowania numerycznego.
• Wyniki uzyskane przez zastosowanie ekstrapolacji Richardsona.
• Wykresy błędu i liczby wywołań procedury obliczającej funkcję podcałkową w zależności od przy-
Instrukcja wykonawcza
jętej tolerancji dla procedur adaptacyjnych quad, quad8, alobb, asimp.
• Uwagi i wnioski, w szczególności ocenę przydatności badanych kwadratur do obliczania całek
1. Napisać M-funkcję obliczającą przybliżoną wartość całki oznaczonej (złożoną) metodą prostoką-
różnych typów funkcji podcałkowych (w celu dokonania takiej oceny wskazane jest wykonanie
tów (wariant punktu środkowego). Jako parametry wejściowe procedury przyjąć: nazwę M-funkcji
wykresów badanych funkcji podcałkowych w przedziale całkowania).
obliczającej funkcję podcałkową, końce przedziału całkowania oraz ilość podprzedziałów. Prze-
testować napisaną M-funkcję obliczając przybliżoną wartość wskazanych przez prowadzącego
Wymagana wiedza teoretyczna
zajęcia całek oznaczonych. Skopiować dwukrotnie utworzony M-plik i zmodyfikować kopie tak
by obliczały przybliżoną wartość całki metodą trapezów i metodą Simpsona. Wykonać obli-
• Podstawowe pojęcia związane z całkowaniem numerycznym: kwadratura, kwadratury proste i zło-
czenia przybliżonych wartości podanych przez prowadzącego całek testowych przyjmując ilość
żone, rząd kwadratury ([1, str. 161–163], [2, str. 127–127]).
podprzedziałów równą 8, 16, 32, 64; obserwować błąd uzyskanych przybliżeń; uzupełnić obli-
• Najprostsze metody wraz z analizą ich błędu: metoda prostokątów, trapezów, wzór Simpsona ([3,
czenia o takie w których liczba podprzedziałów będzie nieparzysta (wartości nieparzyste między
str. 282–283, 285–286, 259–260], [1, str. 166, 167, 169]).
wskazanymi potęgami liczby 2). Jeśli błąd względny przekracza 0.1% dla wszystkich wykonanych
• Kwadratury Newtona-Cotes’a – zasada konstrukcji i podstawowe właściwości ([1, str. 164–170],
obliczeń zwiększać w/g podanego schematu (tzn. potęgi liczby 2 i pośrednie wartości nieparzy-
[4, str. 97–100], [5, str. 113–116], [3, str. 294], [2, str. 136–145])
ste) liczbę podprzedziałów aż do chwili, gdy błąd względny osiągnie wartości poniżej tego progu.
• Kwadratury Gaussa – idea i podstawowe właściwości ([3, str. 294–296], [1, str. 175–179], [2, str.
Wyniki obliczeń przybliżonych wartości całki dla zadanego przedziału zestawić w postaci tabeli,
145–150])
dla wszystkich wymienionych wyżej metod. Uzyskane wyniki umieścić na wspólnym wykresie na
• Zastosowanie ekstrapolacji w zagadnieniach całkowania numerycznego. Metoda Romberga ([3,
tle obliczonej dokładnej wartości całki. Zwrócić uwagę na szybkość zbieżności poszczególnych
str. 284–285], [1, str. 171–173], [5, str. 117–122], [2, str. 153–156])
metod. Zastanowić się dla jakiego rodzaju funkcji można stosować określony typ kwadratur.
• Wybór kwadratury. Adaptacyjne procedury całkowania numerycznego – zasada działania. ([5, str.
Sporządzić zestawienie tabelaryczne błędu względnego i bezwzględnego całki w zależności od
122–127], [2, str. 161–164])
liczby podprzedziałów i wybranej metody.
Wymagana wiedza n/t programu Matlab
2. Wykorzystując M-plik ekstrap przeprowadzić ekstrapolację Richardsona wyników uzyskanych
metodą trapezów, wykorzystując wartości całki obliczone przy kroku równym 1 , 1 , 1 , 1
• Pętle i instrukcje warunkowe
8
16
32
64
długości przedziału całkowania. Przeprowadzić tę samą ekstrapolację, tym razem rozpoczynając
• Podstawowe operatory działające na tablicach „poelementowo” ( .*, ./, .\, .^ )
od 1 długości przedziału całkowania i w każdym etapie redukując krok trzykrotnie. Porównać
• Funkcje definiowane przez użytkownika (M-funkcje)
8
otrzymane wyniki. Jeśli wzięte do obliczeń ekstrapolacyjnych wyniki są obarczone dużym błędem
• Standardowe procedury całkowania numerycznego ( quad, quad8 )
powtórzyć obliczenia z krokiem początkowym zapewniającym błąd względny poniżej 0.1%.
Literatura
3. Przetestować na tych samych przykładach standardowe procedury całkowania numerycz-
nego dostarczane w ramach pakietu Matlab (quad i quad8) i porównać ich działanie
[1] Zenon Fortuna, Bohdan Macukow, Janusz Wąsowski. Metody numeryczne, strony 161–183. WNT War-
szawa, 1995.
z procedurami alobb, asimp przez wykonanie obliczeń z różną założoną tolerancją (np.
[2] Janina Jankowska, Michał Jankowski. Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Część 1. WNT War-
10 − 1 , 10 − 2 , 10 − 3 , 10 − 4 , 10 − 5 , 10 − 6) i obserwację rzeczywiście osiągniętej dokładności oraz szawa, 1981.
ilości wywołań funkcji podcałkowej.
[3] Germund Dahlquist, ˚
Ake Björck. Metody numeryczne, strony 259–260, 282–299. PWN Warszawa, 1983.
[4] Josef Stoer. Wstęp do metod numerycznych, wolumen 1, strony 97–124. PWN Warszawa, 1979.
[5] Anthony Ralston. Wstęp do analizy numerycznej, strony 87–126. PWN Warszawa, 1983.
[6] David Kincaid, Ward Cheney. Analiza numeryczna, strony 457–484. WNT Warszawa, 2006.
[7] Jerzy Krupka, Roman Z. Morawski, Leszek J. Opalski. Metody numeryczne dla studentów elektroniki
i technik informacyjnych, strony 101–119.
Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa,
1997.