Numeryczne rozwiązywanie zagadnień początkowych równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych
Cel ćwiczenia
metody ode23 większa niż 3 oraz dla metody ode45 większa niż 6 świadczy o odrzucaniu kroków przez
mechanizm automatycznego doboru długości kroku; podobnie jest dla pozostałych metod jednak trudniej
Praktyczne sprawdzenie wiedzy n/t popularnych metod rozwiązywania zagadnień początkowych
podać taką wartość graniczną)
równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych. Porównanie przydatności poszczególnych metod
do rozwiązywania specyficznych zagadnień. Zaznajomienie z metodami automatycznej zmiany długości
Sprawozdanie powinno zawierać
kroku. Obserwacja wpływu wielkości obszaru stabilności absolutnej na swobodę wyboru długości kroku.
• obserwacje i wyniki porównań poszczególnych metod oraz wpływu długości kroku i charakteru
Program ćwiczenia
rozwiązania dokładnego na jakość rozwiązań numerycznych (obserwacje powinny być zilustro-
wane najciekawszymi, odpowiednio dobranymi rysunkami - wydrukami rozwiązań numerycznych
• Praktyczne prześledzenie związku między długością kroku a wielkością błędu lokalnego i global-
na tle dokładnych),
nego rozwiązania, dla różnych równań różniczkowych (o różnym charakterze rodziny rozwiązań)
• obszary stabilności absolutnej badanych metod rzędu 1–4 wyznaczone przy pomocy programu
• Obserwacja działania metod zmiennokrokowych
oabstab
• Praktyczne zaznajomienie z pojęciem obszaru stabilności absolutnej metody
• analizę wpływu długości kroku i wielkości obszaru stabilności absolutnej na jakość uzyskiwanego
• Praktyczne zaznajomienie z pojęciem sztywności równania różniczkowego (układu równań).
rozwiązania numerycznego na przykładzie równania testowego i równania okręgu,
Instrukcja wykonawcza
• porównanie nakładu obliczeń niezbędnego do rozwiązania wybranego zagadnienia początkowego
przy wykorzystaniu metody stałokrokowej i metody „włożonej” (ang. embeded) z podobnym
1. Zapoznać się z repertuarem dostępnych metod (stałokrokowe: eul, emod, rk4, runge, trapez,
błędem globalnym,
ieul, itrap, ieuljac, itrapjac, oraz będące częścią Matlab’a, wyłącznie zmiennokrokowe:
• zestawienie wyników eksperymentów numerycznych ze „sztywnym” zagadnieniem początkowym
ode23, ode45, ode113, ode23s i ode15s); przeanalizować plik pomocniczy locerr.
• uwagi i wnioski.
2. Dla podanych przez prowadzącego zagadnień początkowych prześledzić wpływ długości kroku na
błąd lokalny i globalny rozwiązania oraz różnice w działaniu dostępnych metod stałokrokowych
Wymagana wiedza teoretyczna
rzędu 1–4; zwrócić uwagę na wielkość błędu lokalnego i globalnego, charakter zmienności błędu
lokalnego, szybkość zmniejszania się błędu przy zmniejszaniu (np. połowieniu) długości kroku;
Podstawowe wiadomości z zakresu numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
do obserwacji błędu lokalnego można posłużyć się plikiem pomocniczym locerr.
w zakresie objętym programem wykładu Metod Numerycznych – materiał można powtórzyć w oparciu
3. Dla porównania zastosować do tych samych zagadnień początkowych metody ode23, ode45,
o podaną literaturę:
ode113, ode23s i ode15s z różnymi wartościami parametru określającego dokładność (jako
• pojęcia podstawowe: równania różniczkowe zwyczajne, rząd równania różniczkowego, zagadnienie
czwarty parametr wywołania podawać optpkt3( tol ), gdzie tol przyjmuje na przykład wartości
początkowe i brzegowe, ogólne sposoby rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych
10 − 2 , 10 − 4 , 10 − 6), zanotować maksymalny błąd i liczbę wykonanych kroków.
wyższych rzędów [1, str. 321–324], [2, str. 295–297],
4. Uruchomić program oabsstab i wydrukować obszary stabilności absolutnej dla dostępnych metod
• definicje jedno– i wielokrokowych metod rozwiązywania zagadnień początkowych, metod jawnych
stałokrokowych. Dla tych samych metod (to znaczy Eulera (eul), Eulera-Cauchy’ego (emod),
i niejawnych [1, str. 332 i 337],
Heuna (heun), klasyczna RK4 (rk4), niejawna Eulera (ieul oraz ieuljac) i niejawna trapezów
• pojęcia błędu lokalnego i globalnego oraz rzędu metody [1, str. 324–327], [2, str. 297],
(itrap oraz itrapjac)) wykonać kilka prób znalezienia rozwiązania równania testowego ˙
y = λy
• pojęcie obszaru stabilności absolutnej i znaczenie wielkości tego obszaru dla przydatności metody
oraz równania okręgu ( ¨
y = −ω 2 y ) z zastosowaniem różnej długości kroku (tak by λh bądź
[1, str. 361–363],
jωh leżało raz wewnątrz a raz na zewnątrz obszaru stabilności absolutnej).
5. Dla podanego przez prowadzącego źle uwarunkowanego zagadnienia początkowego („ stiff ”),
• metody Rungego-Kutty – ogólna postać jawnych metod RK i wzory dla najprostszych metod
z różnymi wartościami parametru C, określającego „sztywność” zadania (np. 1, 100, 10000),
(jawna Eulera, jawna trapezów, klasyczna RK4) [1, str. 335–337], [2, str. 297-299 i 318–323],
obserwować długość kroku i liczbę wywołań funkcji obliczającej prawą stronę równania przy
• źle uwarunkowane („sztywne”, ang. „ stiff ”) równania (układy równań różniczkowych) i wymaga-
użyciu metod ode23, ode45, ode113 (realizującą metody Adamsa), ode15s (realizującą metodę
nia stawiane metodom do rozwiązywania źle uwarunkowanych zagadnień początkowych [1, str.
Geara) oraz i ode23s (jako czwarty parametr wywołania podawać optpkt5( tol ), podobnie jak
338–340],
w punkcie 3; jako piąty i szósty parametr podać A i C); Zmienić warunek początkowy tak by
• metody automatycznej zmiany długości kroku dla metod jednokrokowych (metoda ekstrapolacji
znikła szybkozmienna część (składowa) rozwiązania (tzn. ustawić A = 0) i powtórzyć badania.
Richardsona; istota sposobu korzystającego z metody włożonej lub towarzyszącej) [1, 340–342],
Zestawić ze sobą rozwiązania dla różnych C > 0 i C = 0.
(Uwaga: liczba wywołań funkcji obliczającej prawą stronę równania przypadająca na jeden krok dla
[2, str. 323–324].
Potrzebna wiedza n/t programu Matlab
• tworzenie funkcji użytkownika
• podstawowe operacje na wektorach i macierzach
• składnia wywołania procedur ode23, ode45, ode113, ode15s, i ode23s
Literatura
[1] Germund Dahlquist, ˚
Ake Björck. Metody numeryczne, strony 321–364. PWN Warszawa, 1983.
[2] Zenon Fortuna, Bohdan Macukow, Janusz Wąsowski. Metody numeryczne, strony 295–335. WNT War-
szawa, 1995.
[3] David Kincaid, Ward Cheney. Analiza numeryczna, strony 493–528, 557–564. WNT Warszawa, 2006.
[4] Anthony Ralston. Wstęp do analizy numerycznej, strony 154–194. PWN Warszawa, 1983.
[5] Josef Stoer, Roland Bulirsch. Wstęp do metod numerycznych, wolumen 2, strony 90–139. PWN Warszawa,
1980.
[6] Jerzy Krupka, Roman Z. Morawski, Leszek J. Opalski. Metody numeryczne dla studentów elektroniki
i technik informacyjnych, strony 125–147.
Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa,
1997.
[7] Andrzej Krupowicz. Metody numeryczne zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych.
PWN Warszawa, 1986.