Zadania z przedmiotu Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr seria 4

1. Sprawdzić liniowa zależność uk ladu A wektorów przestrzeni liniowej V nad cia lem K, jeżeli

,

(a) A = {(1, −2), (2, 3)}, V = K2, K = R; (b) A = {(−1, −2), (−2, 1), (1, 0)}, V = K2, K = R; (c) A = {(2, 1, 0), (0, 2, 1), (1, 0, 2)}, V = K3, K = Z3; (d) A = {(2, 1, 0), (0, 2, 1), (1, 0, 2)}, V = K3, K = Z5;

√ √ √

(e) A = 1,

3,

3,

5 , V = R, K = Q;

√

(e) A = p | p jest liczba pierwsza , V =

,

,

R, K = Q.

2. Wyznaczyć wszystkie wartości λ, dla których wektor w jest kombinacja liniowa wektorów v

,

,

1,

v2, v3:

(a) v1 = (2, 3, 5), v2 = (3, 7, 8), v3 = (1, −6, 1), w = (7, −2, λ); (b) v1 = (3, 2, 5), v2 = (2, 4, 7), v3 = (5, 6, λ), w = (1, 3, 5).

3. Niech V oznacza przestrzeń funkcji rzeczywistych ciag lych na a zależność

,

R. Sprawdzić liniow ,

uk ladów funkcji:

(a) A = {1, sin x, cos x};

(b) A = {sin x, sin 2x, sin 3x}; (c) A = 1, cos 2x, sin2 x .

4. W przestrzeni liniowej V = Kn nad cia lem K określamy podzbiór W = {(x1, x2, . . . , xn) | x1 + x2 + · · · + xn = 0} .

(a) Wykazać, że W jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni V ;

,

,

(b) Podać przyk lad bazy przestrzeni W ; (c) Rozszerzyć baze podprzestrzeni W (z punktu (b)) do bazy przestrzeni V .

,

5. Niech R[x]n oznacza zbiór wszystkich wielomianów o wspó lczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej n.

(a) Wykazać, że R[x]n jest przestrzenia liniowa nad

,

,

R.

(b) Wykazać, że W = {f (x) ∈ R[x]n | f (1) = 0} jest podprzestrzenia przestrzeni liniowej

,

R[x]n. Wyznaczyć wymiar W .

(c) Wykazać, że zbiór wielomianów stopnia co najwyżej n, dla których liczba 1 jest co naj-mniej k-krotnym pierwiastkiem, jest podprzestrzenia przestrzeni liniowej

,

R[x]n. Znaleźć

wymiar tej przestrzeni.

6. Znaleźć wspó lrzedne wektora v ∈ V w bazie B przestrzeni V , jeśli

,

(a) V =

3

R , v = (1, 2, 3), B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}; (b) V = Kn, v = (n, n − 1, n − 2, . . . , 2, 1), B = {η1, η2, . . . , ηn}, gdzie ηk = 1 + · · · + k dla k = 1, 2, . . . , n. [Przypomnienie: i = (0, 0, ..., 1, 0, ..., 0), tzn. i-ta wspó lrzedna jest

,

równa 1, a pozosta le 0.]

7. Wyznaczyć wszystkie bazy i wszystkie podprzestrzenie 2-wymiarowej przestrzeni liniowej V

nad cia lem Z3.

8. Ile elementów ma n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad cia lem p-elementowym?

9. Niech dany bedzie uk lad k wektorów przestrzeni n:

,

R

vi = (xi1, xi2, . . . , xin),

i = 1, 2, . . . , k,

gdzie k ≤ n. Wykazać, że jeśli k

X |xij| < 2|xjj|

i=1

dla każdego j = 1, 2, . . . , k, to dany uk lad wektorów jest liniowo niezależny.

1