Granice funkcji. Ci ¾

ag÷

ość funkcji

1

Zadania z rozwi ¾

azaniami

1. Wyznaczyć na podstawie de…nicji granic ¾

e funkcji f (x) = x2 9 w punkcie

x 3

x0 = 3:

Rozwiazanie: Niech (xn)1 b ¾

edzie dowolnym ci ¾

agiem o wyrazach róznych

n=1

od 3 i takim, ·

ze lim xn = 3: Obliczmy postać wyrazu ogólnego ci ¾

agu

n!1

(f (xn))1

n=1

x2

(x

f (x

n

9

n

3)(xn + 3)

n) =

=

= xn + 3:

xn

3

xn

3

Zatem, z uwagi na fakt, i·

z lim xn = 3 oraz lim 3 = 3, mamy

n!1

n!1

lim f (xn) = lim (xn + 3) = lim xn + lim 3 = 3 + 3 = 6: n!1

n!1

n!1

n!1

St ¾

ad, na mocy de…nicji granicy funkcji w punkcie, mamy lim f (x) = 6:

x!3

2. Wyznaczyć , na podstawie de…nicji , granice funkcji f (x) = x2 9x 2 gdy 2x 3

(a) x ! +1;

(b) x ! 1.

Rozwi ¾

azanie:

a Niech (xn)1

b ¾

edzie dowolnym ci ¾

agiem takim,

x

n=1

·

ze lim n = +1:

n!1

Przekszta÷

caj ¾

ac ogólny wyraz ci ¾

agu (f (xn))1

mamy

n=1

x2

xn

9

2

f (x

n

9xn

2

xn

n) =

=

:

(1)

2xn

3

2

3

xn

Zauwa·

zmy, ·

ze

2

3

lim

= lim

= 0:

(2)

n!1 xn

n!1 xn

Zatem

xn

9

2

lim f (x

xn

n) = lim

= +1:

n!1

n!1

2

3

xn

1

Na mocy de…nicji granicy funkcji otrzymujemy lim f (x) = +1

x!+1

b Niech teraz (xn)1

b ¾

edzie dowolnym ci ¾

agiem takim,

x

n=1

·

ze lim n =

n!1

1: Korzystaj ¾

ac z (1) oraz (2) mamy

xn

9

2

lim f (x

xn

n) = lim

=

1:

n!1

n!1

2

3

xn

St ¾

ad, na mocy de…nicji granicy funkcji, mamy lim f (x) =

1:

x! 1

3. Wyznaczyć granic ¾

e funkcji f (x) =

x3

27

w punkcie x = 3:

x2

5x+6

Rozwi ¾

azanie: Przekszta÷

caj ¾

ac wzór funkcji mamy

x3

27

(x

3) x2 + x + 9

x2 + x + 9

f (x) =

=

=

:

x2

5x + 6

(x

3)(x

2)

x

2

Zatem

x2 + x + 9

lim f (x) = lim

= 21:

x!3

x!3

x

2

4. Wyznaczyć granice jednostronne funkcji f (x) = x+6 w miejscu zerowym x 3

mianownika.

Rozwi ¾

azanie: Zauwa·

zmy, ·

ze

x

3 < 0 dla x 2 ( 1; 3) oraz x

3 > 0 dla x 2 (3; +1)

oraz

lim (x

3) = 0 i lim (x + 6) = 9

x!3

x!3

Obliczamy granic ¾

e lewostronn ¾

a:

x + 6

lim f (x) = lim

=

1:

x!3

x!3 x

3

Obliczamy granic ¾

e prawostronn ¾

a:

x + 6

lim f (x) = lim

= +1:

x!3+

x!3+ x

3

5. Zbadać ci ¾

ag÷

ość nastepuj ¾

acych funkcji

(a)

8

< x + 2

dla

x > 2

f (x) =

4

dla

x = 2

:

x2 + 2

dla

x < 2;

2

(b)

x + 1

dla

x < 0

f (x) =

2x

dla

x

0:

Rozwi ¾

azania:

a Zauwa·

zmy, ·

ze funkcja f jest ci ¾

ag÷

a w przedziale (2; +1) jako funkcja

liniowa. Podobnie, funkcja f jest ci ¾

ag÷

a w przedziale ( 1; 2) jako funkcja

kwadratowa. Sprawdzamy zatem ci ¾

ag÷

ość funkcji f w punkcie x0 = 2: W

tym celu obliczamy granice jednostrone funkcji w punkcie x0 : lim f (x) = lim (x + 2) = 4;

x!2+

x!2+

lim f (x) = lim

x2 + 2 =

2:

x!2

x!2

Poniewa·

z granice jednostronne funkcji w punkcie x0 = 2 s ¾

a ró·

zne, zatem

nie istenieje granica funkcji f w punkcie x0 = 2; a st ¾

ad funckja nie jest

ci ¾

ag÷

a w punkcie x0 = 2:

b Zauwa·

zmy, ·

ze funkcja f jest ci ¾

ag÷

a w przedziale (0; +1) jako funkcja

wyk÷

adnicza. Podobnie, funkcja f jest ci ¾

ag÷

a w przedziale ( 1; 0) jako

funkcja liniowa.

Badamy ci ¾

ag÷

ość funkcji f w punkcie x0 = 0: Wyz-

naczamy granice jednostrone funkcji w punkcie x0 : lim f (x) = lim 2x = 1;

x!0+

x!0+

lim f (x) = lim (x + 1) = 1:

x!0

x!0

Zatem istnieje granica funkcji f w punkcie x0

lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = 1: x!0

x!0+

x!0

Jednocześnie f (x0) = f (0) = 1;w konsekwencji lim f (x) = f (0):

x!0

Stwierdzamy zatem, ·

ze f jest ci ¾

ag÷

a równie·

z w punkcie x0 = 0:

2

Zadania do samodzielnego rozwi ¾

azania

1. Oblicz ( o ile istniej ¾

a) granice funkcji w podanym punkcie

(a) f (x) = 5x2

3x + 4 w punkcie x0 =

2;

(b) f (x) = x2 2x+1 w punkcie x

x2

1

0 = 1;

(c) f (x) = x2 4x+4 w punkcie x

x 2

0 = 2;

3

p

p

(d) f (x) =

x+1

1 x w punkcie x

x

0 = 0;

p

(e) f (x) =

1+x2

1

p

w punkcie x

25+x2

5

0 = 0;

(f) f (x) = sin 5x w punkcie x

sin 2x

0 = 0;

1

(g) f (x) = e 1 x w punkcie x0 =

1;

(h) f (x) =

x 1

p

w punkcie x

3 x+26 3

0 = 1;

1

(i) f (x) = 3 x2 +5 w punkcie x

1

0 = 0;

5 x2 +3

(j) f (x) = 2x 2 w punkcie x0 = 2;

(k) f (x) = x+5 w punkcie x

x+4

0 =

4;

(l) f (x) = x 3 w punkcie x

x2

9

0 = 3;

2 x

÷

. f (x) = 2

w punkcie x

5

0 = 5

2

x

m. f (x) = 5 x+1 w punkcie x0 =

1

p

n. f (x) = (x 1) 2 x w punkcie x

(x2

1)

0 = 1:

2. Wyzanczyć graniece funkcji f gdy x ! +1 oraz x ! 1: (a) f (x) = 3x2+4 ;

x 1

(b) f (x) = x2+x+1 ;

x3

4

(c) f (x) =

7x5

4x3

x;

(d) f (x) = 3x4

3x3 + 5;

1

(e) f (x) = e 1 x2 ;

(f) f (x) = 2+cos x ;

x2

(g) f (x) = 2 x;

1

(h) f (x) = 3

+1

x2

;

(i) f (x) = 3 4x2 x+1;

(j) f (x) = 32x2 x 3;

(k) f (x) = log 4x3+1

2

;

x3

(l) f (x) = log 9x4 x2+3

2

;

x4+2

3x3

x+5

÷

. f (x) = 1

;

2

x2 +4x+7

m. f (x) = 4

x

1

:

3. Obliczyć granice jednostronne funkcji w podanym punkcie x0 i stwiedzić, czy funkcja posiada w granic ¾

e w punkcie x0

(a) f (x) = x2

x + 5 w punkcie x0 = 1;

4

(b) f (x) =

1

w punkcie x

x2

4

0 =

2;

(c) f (x) = x2+6x+9 w punkcie x

x+3

0 =

3;

p

p

(d) f (x) =

2+x+

2 x w punkcie x

x+1

0 =

1;

1

(e) f (x) = 1 x w punkcie x

4

0 = 0:

4. Zbadać ci ¾

ag÷

ość nast ¾

epuj ¾

acych funkcji

(a)

x

dla

x > 0

f (x) =

x2

dla

x

0;

(b)

8

< x3 + 1 dla x > 1

f (x) =

1

dla

x =

1

: x + 1 dla x < 1;

(c)

x 1

dla

x 6= 1

f (x) =

x3

1

1

dla

x = 1;

3

(d)

3x 3

dla

x 6= 2

f (x) =

x 2

4

dla

x = 2;

(e)

(

log

1

dla

x 6= 2

f (x) =

2

x2+4

0

dla

x =

2;

(f)

2x

dla

x

2

f (x) =

2x

dla

x > 2;

(g)

x

1

dla

x < 0

f (x) =

1

dla

x

0;

(h)

8

x

<

1

dla

x < 0

3

f (x) =

0

dla

x = 0

: x2 1 dla x > 0:

5. Zbadać ciag÷

ość funkcji w zale·

zności od parametru p

x2 + 3x + p

dla

x

1

f (x) =

5x2 + 3p + 1

dla

x > 1:

5

2.1

Odpowiedzi

1

1. (a) 30; (b) 0; (c) 0; (d) 1; (e) 5; (f ) 5=2; (g) e 2 ; (h) 27; (i) 0; (j) 1; (k) nie istnieje; (l) 1 ; (÷

) 125 ; (m) nie istnieje; (n) 1 .

6

8

2

3. (a) granica istnieje i jest równa 5; (b) granica nie istnieje; (c) granica istnieje i jest równa 0; (d) granica nie istnieje; (e) granica nie istnieje.

4. (a) funkcja ciag÷

a; (b) funkcja nie jest ci ¾

ag÷

a; (c) funkcja ci ¾

ag÷

a; (d) funkcja

nie jest ci ¾

ag÷

a; (e) funkcja nie jest ci ¾

ag÷

a; (f) funkcja ci ¾

ag÷

a; (g) funkcja

ci ¾

ag÷

a; (h) funkcja nie jest ci ¾

ag÷

a.

5. Funkcja jest ciag÷

a dla p =

1.

6