Komputerowe modelowanie
wielkości losowych
Zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym (równomiernym)
Podstawowym pytaniem przed rozpoczęciem losowania jest z jakim rozkładem chcemy
otrzymywad wyniki. Dwa najpopularniejsze to rozkład normalny N(0,1) oraz jednostajny U(0,1).
U(0,1) Uniform - Rozkład równomierny na odcinku od 0 do 1
N(0,1) Rozkład normalny o wartości oczekiwanej równej 0 oraz wariancji równej 1
Rozkład normalny jest ważny, ponieważ wyjątkowo często występuje w przyrodzie:
 Jeśli jakaś wielkośd jest sumą lub średnią bardzo wielu drobnych losowych czynników, to niezależnie od rozkładu
każdego z tych czynników, jej rozkład będzie zbliżony do normalnego
Rozkład jednostajny natomiast jest bardzo prosty do uzyskania, często wykorzystywany,
a ponadto pozwala na odtworzenie praktycznie dowolnego innego rozkładu.
W typowym środowisku programistycznym dostępny się generator jednostajny. Jeżeli jednak
by nie było lub chcielibyśmy poznad zasadę działania takiego generatora, oto przykład:
Algorytm tworzenia ciÄ…gu liczb pseudolosowych:
1. Pierwsza liczba jest wybierana zewnętrznie (Np. za pomocą polecenia cputime).
2. Kolejne liczby obliczane sÄ… jako xi+1=f(xi)
·ð Aby wygenerowad w ten sposób liczby z przedziaÅ‚u 0 do k wykorzystywany jest LCG
(Linear Congruential Generator), dla którego:
Xn+1 = (a × Xn + c) mod m
a  mnożnik; c- przyrost; m - moduł
·ð Aby wygenerowad w ten sposób liczby z przedziaÅ‚u (0,1) to stosujemy piÅ‚Ä™ (tak jak na
pierwszych laboratoriach, które prowadził dr Wachel).
Ponieważ liczby generowane w ten sposób są jedynie pseudolosowe, tak naprawdę tworzą one
powtarzalny ciąg. Sztuka polega na tym, aby tak dobrad współczynniki, aby nie dało się
przewidzied kolejnej liczby. Nie warto zagłębiad się w sposób doboru współczynników - istotne
jest tutaj, czy liczby są względnie pierwsze.
A Symulacja dyskretnych zmiennych losowych
Ustalamy liczby x1 , x2 , & , xi, & , xn które przyjmą wartości wylosowane
Ustalamy przedziały p1 , p2 , & , pi, & pn odpowiadają one prawdopodobieostwom (pn=1)
Losujemy liczbę z rozkładem U(0,1)
Jeżeli wpadnie ona do przedziału *pi, pi+1], to przyjmujemy wartośd xi
Komputerowe modelowanie wielkości losowych
Przykład:
Wartośd X -1 0 1
Prawdopodobieostwo 0.3 0.6 0.1
Czyli przedziały są takie: p0=0; p1=0.3; p2=0.9; p3=1
Losujemy: 0.800 0.141 0.849 0.035 0.655 0.959 0.792 0.115 0.421 0.433
Wynik: 0 -1 0 -1 0 +1 0 -1 0 0
B Symulacja ciągłych zmiennych losowych
B1 Metoda odwracania dystrybuanty (inwersyjna)
Algorytm:
1) Wyznaczenie analitycznej postaci dystrybuanty
2) Zbadanie, czy F(x) jest ściśle rosnąca. (Warunek niezbędny)
3) Wyznaczenie funkcji odwrotnej. Jeżeli F(x)=u, to szukamy funkcji, dla której x=F-1(u)
4) Uruchomienie generatora zmiennej losowej U(0,1)
5) Wyznaczenie wartości F-1(U)=X
Przykłady:
a) Rozkład wykładniczy (z parametrem  > 0)
·ð GÄ™stoÅ›d: f(x)=e-x (x jest nieujemny)
5ØeÜ
·ð Dystrybuanta: F(x)=5Ø9Ü 5ØeÜ = 5ØSÜ 5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ = 1 - 5ØRÜ-x
0
1
·ð Inwersja dystrybuanty: 5Ø9Ü 5ØeÜ = 5ØbÜ => 5ØeÜ = 5Ø9Ü-1 5ØbÜ = - lna + 1)
(-5ØbÜ

·ð Losujemy liczbÄ™ rozkÅ‚adem jednostajnym i podstawiamy za u.
b) Rozkład trójkątny na odcinku *0, a+ Takie trzy były jeszcze na wykładzie
c) Rozkład Laplace a
d) Przybliżony rozkład normalny Aproksymacja
B2 Metoda odrzucania
Warunki:
Znana jest analityczna postad gęstości f(x)
Dostępna jest pomocnicza zmienna losowa g(x), która będzie ograniczad gęstośd f(x), tj
5ØSÜ 5ØeÜ d" 5ØPÜ " 5ØTÜ(5ØeÜ)
1) Uruchomid generator zmiennej pomocniczej o gęstości g(x)
2) Wyznaczyd f(x), g(x), c g(x)
3) Uruchomid generator U(0,1)
4) Dla otrzymanego U wynaczyd iloczyn c g(x) U
5) a) jeżeli c g(x) U=< f(x) akceptujemy
b) jeżeli c g(x) U> f(x) odrzucamy
2
Komputerowe modelowanie wielkości losowych
Estymacje
plik A1 Estymatory
Modelowanie (rekonstrukcje) rozkładów zmiennych losowych
Dyskretna (binarna) zmienna losowa
1 5ØTÜ5ØQÜ5ØfÜ 5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ 5ØgÜ5ØNÜ5ØPÜ5ØUÜ5Ø\Ü5ØQÜ5ØgÜ5ØVÜ
5Ø<Ü 5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ =
0 5ØTÜ5ØQÜ5ØfÜ 5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ 5Ø[Ü5ØVÜ5ØRÜ 5ØgÜ5ØNÜ5ØPÜ5ØUÜ5Ø\Ü5ØQÜ5ØgÜ5ØVÜ
A Rekonstrukcja dystrybuanty  empiryczna dystrybuanta
5ØAÜ
#{5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ} 1 1
5Ø9Ü5ØAÜ 5ØeÜ = = #{5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ} = 5Ø<Ü{5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ}
5ØAÜ 5ØAÜ 5ØAÜ
5ØXÜ=1
B Rekonstrukcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa 
empiryczna gęstość
B1 Histogram
5Ø9Ü5ØAÜ 5ØeÜ + 5ØUÜ - 5Ø9Ü5ØAÜ(5ØeÜ) #{5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ + 5ØUÜ} - #{5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ} #{5ØeÜ < 5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ + 5ØUÜ}
5ØSÜ5ØAÜ 5ØeÜ = = =
5ØUÜ 5ØAÜ5ØUÜ 5ØAÜ5ØUÜ
5ØAÜ
1
= 5Ø<Ü{5ØeÜ < 5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ + 5ØUÜ} 5ØUÜ - 5ØZÜ5ØNÜÅ‚5ØRÜ; 5ØUÜ > 0; # - 5ØVÜ5ØYÜ5Ø\Üść
5ØAÜ5ØUÜ
5ØXÜ=1
B3 Estymator ortogonalny
O tym nawet nie ma co wspominad  ewentualnie że istnieje.
B3A Reprezentacja wektora w bazie ortogonalnej
B3B Reprezentacja funkcji w przestrzeni funkcyjnej
B2 Estymator jądrowy (uogólnienie histogramu)
1
5ØAÜ
PrzeksztaÅ‚cajÄ…c histogram otrzymujemy: 5ØSÜ5ØAÜ 5ØeÜ = 5Ø<Ü 5ØeÜ < 5ØKÜ5Ø>Ü d" 5ØeÜ + 5ØUÜ =
5ØXÜ=1
5ØAÜ5ØUÜ
1 1 5ØKÜ5Ø>Ü -5ØeÜ 1 5ØeÜ-5ØKÜ5Ø>Ü
5ØAÜ 5ØAÜ 5ØAÜ
5Ø<Ü 0 < 5ØKÜ5Ø>Ü - 5ØeÜ d" 5ØUÜ = 5Ø<Ü 0 < d" 1 = 5Ø<Ü -1 d" < 0
5ØXÜ=1 5ØXÜ=1 5ØXÜ=1
5ØAÜ5ØUÜ 5ØAÜ5ØUÜ 5ØUÜ 5ØAÜ5ØUÜ 5ØUÜ
1 1 5ØeÜ-5ØKÜ5Ø>Ü 1 1
5ØAÜ 5ØAÜ
Po symetryzacji: 5ØSÜ5ØAÜ(5ØeÜ) = 5Ø<Ü - d" < = 5Ø>Ü(5ØeÜ-5ØKÜ5Ø>Ü)
5ØXÜ=1 5ØXÜ=1
5ØAÜ5ØUÜ 2 5ØUÜ 2 5ØAÜ5ØUÜ 5ØUÜ
K - funkcja jÄ…dra. Przypisuje ona jednakowe  wagi wszystkim obserwacjom z h-otoczenia
punktu  x . Przykładowe funkcje jądra:
3
Komputerowe modelowanie wielkości losowych
Jądro prostokątne (okno Parzena) Jądro trójkątne
JÄ…dro kwadratowe JÄ…dro Gaussa
·ð JÄ…dro Cauchy ego
·ð Dowolna parzysta funkcja gÄ™stoÅ›ci prawdopodobieostwa, caÅ‚kowalna z kwadratem
4