Materiały do Laboratorium Informatyki Rok akademicki: 2006/07
Semestr: letni
MATLAB  cz. 6  Obliczenia
symboliczne
Środowisko MATLAB a oferuje szereg bibliotek funkcji (tzn. toolbox ów). Jednym z nich
jest toolbox  Symbolic Math służący do przeprowadzana obliczeń symbolicznych. Toolbox
ten może być niedostępnych we wszystkich wersjach MATLAB a.
Pierwszym krokiem jest zdefiniowanie zmiennych symbolicznych w następujący sposób:
x = sym('x')
x =
x
a = sym('alpha')
a =
alpha
Polecenia te tworzą dwie zmienne symboliczne:
- zmienną x, która wypisywana na ekran jest pod nazwą x,
- zmienną a, która wypisywana na ekran jest pod nazwą alpha.
Jak widać, jeśli zmienna jest zmienną symboliczną to wynik wypisywany jest bez wcięcia
(tzn. wartość zmiennej a, czyli  alpha , pojawia się na ekranie dokładnie pod  a = ). Dla
porównania, wpisanie zwykłej wartości liczbowej do zmiennej, jak np.:
b = 8
b =
8
Powoduje wyświetlenie wyniku (8) z wcięciem (jak wyżej).
Przykłady prostego użycia:
sym(2)/sym(5)
ans =
2/5
2
Wynikiem jest  2/5 . Widzimy, że nie jest obliczana wartość wyrażenia , a jedynie jego
5
postać. Ponadto:
Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.
Materiały do Laboratorium Informatyki Rok akademicki: 2006/07
Semestr: letni
sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3)
ans =
11/15
W tym wypadku następuje sprowadzenie do wspólnego mianownika.
x = sym('x')
a = sym('alpha')
rho = sym('(1 + sqrt(5))/2')
1 + 5
a więc definiujemy � = , co daje wynik:
2
rho =
(1 + sqrt(5))/2
2
Policzmy teraz wyrażenie: f = � - � -1
f = rho^2 - rho  1
otrzymujemy:
f =
(1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2)
Otrzymujemy dosyć skomplikowane wyrażenie. Możemy je uprościć wykorzystując funkcję
simplify:
simplify(f)
ans =
0
Widzimy, że w tym przypadku wyrażenie to redukuje się do zera.
Więcej możliwości:
Załóżmy, że chcemy badać funkcję kwadratową. aby możliwe było dokonywanie operacji
symbolicznych (różniczkowanie, całkowanie itp.), musimy zdefiniować tą funkcję w
następujący sposób:
a = sym('a')
b = sym('b')
c = sym('c')
x = sym('x')
Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.
Materiały do Laboratorium Informatyki Rok akademicki: 2006/07
Semestr: letni
lub prościej:
syms a b c x
a następnie zdefiniować funkcję:
f = sym('a*x^2 + b*x + c')
Funkcja findsym pozwala na znalezienie zmiennych symbolicznych znajdujących się w
wyrażeniu, a więc:
findsym(f)
ans =
a, b, c, x
Aby podstawić wartości liczbowe do zmiennych symbolicznych, posługujemy się funkcję
subs. Np.:
syms x
f = 2*x^2 - 3*x + 1
subs(f,2)
ans =
3
a więc do wyrażenia f wstawiono x=2 i obliczono wynik. Jeśli w wyrażeniu występuje więcej
zmiennych symbolicznych, należy podać nazwę zmienne której wartość wstawiamy, np:
syms x y
f = x^2*y + 5*x*sqrt(y)
g = subs(f, x, 3)
a więc w wyrażeniu f, podstawiamy x=3, ciągle pozostaje zmienna symboliczna y, więc nie
można obliczyć wartości liczbowej wyrażenia f. otrzymujemy więc następujący wynik:
ans =
9*y+15*y^(1/2)
Podstawiając natomiast y=2, czyli:
subs(g,2)
otrzymujemy:
ans =
39.2132
Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.
Materiały do Laboratorium Informatyki Rok akademicki: 2006/07
Semestr: letni
Operacje na wyrażeniach symbolicznych:
1) Obliczanie pochodnej:
syms x
f = sin(5*x)
diff(f)
ans =
5*cos(5*x) - obliczona pochodna funkcji f
diff(f,2)
ans =
-25*sin(5*x) - obliczona druga pochodna funkcji f
2) Pochodna cząstkowa (pochodna funkcji posiadającej więcej zmiennych):
syms s t
f = sin(s*t)
"f
diff(f,t) - obliczanie pochodnej  f po t czyli
"t
ans =
cos(s*t)*s
"f
diff(f,s) - obliczanie pochodnej  f po t czyli
"s
ans =
cos(s*t)*t
2
" f
diff(f,t,2) - obliczanie drugiej pochodnej  f po t czyli
2
"t
ans =
-sin(s*t)*s^2
3) Obliczanie granic
syms h n x
limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )
ans =
-sin(x)
Jak nietrudno zauważyć policzyliśmy pochodną funkcji cos(x), licząc granicę ilorazu
różnicowego, czyli:
Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.
Materiały do Laboratorium Informatyki Rok akademicki: 2006/07
Semestr: letni
f (x + h)- f (x)ź#
�# ś#
f '(x) = lim
ś#
h0
h
�# #
3) Całkowanie:
Jeśli:
f =
sin(s*t)
to int(f)daje następujący wynik:
ans =
-1/s*cos(s*t)
Jest to więc całka funkcji f.
Aby obliczyć całkę oznaczoną, należy określić przedział:
int(sin(2*x),0,pi/2)
2Ą
Liczymy więc całkę:
+"sin(2x)dx , co daje wynik:
0
ans =
1
4) Algebra liniowa:
syms t;
G = [cos(t) sin(t); -sin(t) cos(t)]
G =
[ cos(t), sin(t)]
[ -sin(t), cos(t)]
Możemy obliczyć macierz A=G*G:
A=G*G
A =
[ cos(t)^2-sin(t)^2, 2*cos(t)*sin(t)]
[ -2*cos(t)*sin(t), cos(t)^2-sin(t)^2]
Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.
Materiały do Laboratorium Informatyki Rok akademicki: 2006/07
Semestr: letni
5) Rozwiązywanie równań (symboliczne):
Funkcja solve umożliwia symboliczne rozwiązywanie równań, np.:
solve('a*x^2 + b*x + c')
ans =
1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))
1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))
Warto zauważyć, że MATLAB sam  domyślił się, że zmienną niezależną jest  x .
Wywołanie tej funkcji w przypadku ogólnym powinno wyglądać następująco:
solve('a*x^2 + b*x + c','x')
5) Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych (symboliczne):
Przykład:
dsolve('Dx = a*x')
ans =
C1*exp(t*a)
dsolve('Df = f + sin(t)')
ans =
-1/2*cos(t)-1/2*sin(t)+exp(t)*C1
Opracowali: dr inż. Witold Nocoń na podstawie MATLAB help.