Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 1
Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne punktu trafienia
(X ,Y ) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym
2 2 2
N(0,à ) . Punkt (0,0) uznajemy za środek tarczy, zatem X + Y jest odległością
od środka. Oddano n niezależnych strzałów (X1,Y1),...,(Xn,Yn) . Oblicz wartość
oczekiwaną odległości od środka najlepszego ze strzałów, czyli
2
E min( X12 + Y12 ,..., Xn + Yn2).
Ä„Ã
(A)
2n
2
Ä„Ã 1
(B) Å"
2 n
2
Ä„Ã
(C)
2n
2
Ã
(D)
2n
2
Ä„Ã
(E)
n
2
Wskazówka: Zmienna losowa min(X12 + Y12,..., Xn + Yn2) ma rozkład wykładniczy.
1
Można skorzystać z faktu, że “(3/ 2) = Ä„ .
2
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 2
W urnie znajduje sie 10 kul Amarantowych, 10 kul Białych i 10 kul Czarnych.
Losujemy bez zwracania 12 kul. Niech
" A oznacza liczbÄ™ wylosowanych kul Amarantowych,
" B oznacza liczbę wylosowanych kul Białych,
" C oznacza liczbÄ™ wylosowanych kul Czarnych.
Oblicz współczynnik korelacji zmiennych losowych A i B ,
corr(A, B)
1
(A)
2
1
(B) -
2
12
(C) -
30
24
(D)
30
24
(E) -
30
Wskazówka: Var(A + B + C) = 0 .
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 3
Wykonujemy 4 rzuty kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek
otrzymane w kolejnych rzutach tworzą ciąg ściśle rosnący.
4
(A)
6
2
(B)
6
6
1 ëÅ‚ öÅ‚
(C) Å"ìÅ‚
÷Å‚
64 ìÅ‚4÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
4!
(D)
64
4!
(E)
6!
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 4
Dysponujemy danymi o liczbie szkód zgłoszonych przez klientów 1,2,...,k w ciągu n
lat. Niech Si(n) oznacza sumaryczną liczbę szkód dla klienta numer i w ciągu n lat.
Wiemy, że S1(n),...,Sk (n) są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie Poissona. Mamy
też pewne przypuszczenia dotyczące intensywności pojawiania się szkód, czyli
wartości oczekiwanych tych zmiennych, ale nie jesteśmy ich pewni.
Weryfikujemy hipotezÄ™ statystycznÄ…
H0 : dla każdego i = 1,...,k , zmienna losowa Si(n) ma rozkład Poissona z
parametrem n .
i
Hipotetyczne intensywności 1,...,k są danymi, ustalonymi liczbami dodatnimi.
Używamy pewnej odmiany testu chi-kwadrat: obliczamy statystykę
k
2
i i
Ç = .
"(S (n) - n )2
n
i =1
i
2
Jaki jest rozkÅ‚ad graniczny tej statystyki Ç , jeÅ›li H0 jest prawdziwa i n " ?
2
(A) rozkÅ‚ad Ç z k -1 stopniami swobody
2
(B) rozkÅ‚ad Ç z k stopniami swobody
(C) pewien rozkład prawdopodobieństwa mający gęstość, nie należący do rodziny
2
rozkÅ‚adów Ç .
(D) zdegenerowany rozkład prawdopodobieństwa, skupiony w punkcie 0
2
(E) rozkÅ‚ad Ç z n stopniami swobody
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 5
Rozważamy model K obiektów obserwowanych przez T okresów czasu, gdzie
zarówno K jak i T są dużymi liczbami. Przyjmujemy następujące założenia:
" dla każdego k = 1,2,..., K oraz t = 1,2,...,T warunkowy rozkład zmiennej losowej
X przy danej wartoÅ›ci zmiennej µk jest rozkÅ‚adem normalnym o wartoÅ›ci
t,k
2
oczekiwanej i wariancji (µk ,Ã );
" dla każdego k = 1,2,..., K rozkÅ‚ad zmiennej losowej µk jest rozkÅ‚adem
normalnym o wartoÅ›ci oczekiwanej i wariancji (µ,a2).
Przyjmijmy typowe oznaczenia dla średnich obiektowych i średniej ogólnej:
T T
1 1
X = X , k = 1,2,..., K , oraz X = X .
k " t,k " k
T K
t=1 t=1
Międzyobiektową i wewnątrzobiektową sumę kwadratów odchyleń oznaczmy:
K T K
2 2
SSB = (X - X ) , SSW = (X - X )
" k "" t,k k
k =1 t =1 k =1
Wiadomo, że zmienne losowe SSB i SSW są niezależne,
2
öÅ‚
Ã
2
ìÅ‚ ÷Å‚
E{SSB}= (K -1)ëÅ‚a2 + , E{SSW}= K(T -1)Ã
ìÅ‚ ÷Å‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚
Dobierz stałą const tak, aby wartość oczekiwana wyrażenia:
2
SSW Ã
const Å" wyniosÅ‚a .
2
SSB a2T + Ã
K - 3
(A) const =
TK(T -1)
K - 2
(B) const =
TK(T -1)
K -1
(C) const =
TK(T -1)
K - 2
(D) const =
T(K +1)(T -1)
K -1
(E) const =
T(K +1)(T -1)
Uwaga (dopisana po egzaminie):
Wynik stanowi podstawę konstrukcji nieobciążonego estymatora współczynnika
credibility z, a dokładniej jego dopełnienia (1- z). Wynik ten prowadzi do wniosku,
że na zwiÄ™kszenie precyzji predykcji µk na drodze uwzglÄ™dnienia danych o
pozostałych grupach (collateral data) możemy liczyć dopiero wtedy, gdy liczba grup
K wyniesie co najmniej 4.
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 6
2
Załóżmy, że X1,..., X jest próbkÄ… z rozkÅ‚adu normalnego N(µ,à ) o nieznanej
4
wartości oczekiwanej i nieznanej wariancji, zaś X5 jest zmienną losową z tego
samego rozkładu, niezależną od próbki. Interpretujemy zmienną X5 jako kolejną
obserwację, która pojawi się w przyszłości, ale obecnie jest nieznana. Zbuduj
,,przedział ufności 
[L,U ] = [L(X1,..., X4),U (X1,..., X4)]
oparty na próbce X1,..., X taki, że
4
Pr{L(X1,..., X4) d" X5 d" U (X1,..., X4)}= 0.95 ,
1
przy tym żądamy, żeby przedział był symetryczny, tzn. (L +U ) = X . Używamy
2
tutaj oznaczeń:
1 4 1 4
X = Xi, S2 = (Xi - X )2.
" "
i=1 i=1
4 3
(A) L = X - 3.558Å" S , U = X + 3.558Å" S
(B) L = X -1.591Å" S , U = X +1.591Å" S
(C) L = X - 3.182 Å" S , U = X + 3.182 Å" S
(D) L = X - 3.104 Å" S , U = X + 3.104 Å" S
(E) L = X - 0.558 Å" S , U = X + 0.558 Å" S
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 7
Niech X1, X2,..., X9 bÄ™dzie próbkÄ… z rozkÅ‚adu normalnego N(µ,1) o nieznanej
2
wartości oczekiwanej i znanej wariancji à = 1. Rozpatrzmy zadanie testowania
hipotezy H0 : µ = 0 przeciwko alternatywie H1 : µ = 0.5. Należy zbudować taki test,
dla którego suma prawdobodobieństw błędów I i II rodzaju, oznaczanych
odpowiednio przez Ä… i ² jest najmniejsza. Oblicz tÄ™ najmniejszÄ… wartość Ä… + ² .
(A) 0.1000
(B) 0.2266
(C) 0.1336
(D) 0.0500
(E) 0.4533
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 8
Wektor losowy (X ,Y ) ma łączny rozkład prawdopodobieństwa dany następującą
tabelkÄ…:
Y = 1 Y = 2
1 1
(1-¸ ) ¸
X =1
4 4
3 3
¸ (1-¸ )
X = 2
4 4
gdzie ¸ " (0,1) jest nieznanym parametrem. Na podstawie 25-elementowej próbki z
tego rozkładu, (X1,Y1),...,(X25,Y25) obliczono estymator największej wiarogodności
¸Ć . Oblicz wariancjÄ™ estymatora, Var(¸Ć) .
¸ (1-¸ )
(A) Var(¸Ć) =
5
3
(B) Var(¸Ć) =
20
¸ (1-¸ )
(C) Var(¸Ć) =
20
¸ (1-¸ )
(D) Var(¸Ć) =
25
¸
(E) Var(¸Ć) =
5
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 9
Niech X1,..., Xn,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie wykładniczym o gęstości
Å„Å‚ Ä… e-Ä… x dla x > 0;
f (x) =
òÅ‚
ół0 w przeciwnym przypadku.
Niech N będzie zmienną losową niezależną od X1,..., Xn,..., o rozkładzie Poissona z
parametrem  . Niech
min{X1,..., X }, gdy N > 0;
Å„Å‚
N
Y =
òÅ‚
0 gdy N = 0.
ół
Oblicz E(N | Y = y) przy założeniu, że y > 0 .
(A) 1+ e-Ä… y
(B) 1-Ä…e- y
(C) e-Ä… y
(D) 1- e-Ä… y
(E) Ä…e-Ä… y
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Zadanie 10
Rozważmy trzy zdarzenia losowe E,C1,C2 w pewnej przestrzeni probabilistycznej
2 2 2
&! . Niech E ,C1,C2 oznaczają zdarzenia przeciwne. Wiemy, że
" Zdarzenia C1,C2 są niezależne i Pr(C1) = Pr(C2 ) = p ;
" Pr(E | C1) = Pr(E | C2 ) = Pr(E | C1 )" C2 ) = r ;
2 2 2
" Pr(E | C1 )" C2 ) = 1.
Oblicz Pr(C1 | E) .
1
(A)
2 - p
(B) p
r
(C)
2 - p
1
(D)
1+ p
r
(E)
1+ p
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r.
Egzamin dla Aktuariuszy z 17 maja 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko ...........................K L U C Z O D P O W I E D Z I...........................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 C
2 B
3 C
4 B
5 A
6 A
7 E
8 D
9 A
10 A
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11