Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach
pojawią się ,,reszki  . Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 6
Wskazówka: jeśli w rzucie numer n jest orzeł to przyjmijmy, że  układ jest w stanie
0 . Jeśli w rzucie numer n jest reszka a w rzucie n -1 był orzeł, to  układ jest w
stanie 1 . Kończymy, gdy  układ znajdzie się w stanie 2 . W ten sposób definiujemy
łańcuch Markowa. Rozpatrz wartość oczekiwaną liczby rzutów w zależności od stanu
układu.
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 2. Rozważmy niezależne zmienne losowe W0 ,W1,...,Wn ,... o jednakowym
rozkÅ‚adzie wykÅ‚adniczym z wartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… µ . Niech N bÄ™dzie zmiennÄ…
losową o rozkładzie Poissona wartością oczekiwaną  , niezależną od
W0 ,W1,...,Wn ,... Oblicz dystrybuantę rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej
losowej
Y = min{W0 ,W1,...,WN }.
(A) Pr(Y d" y) = 1- exp[(e- y / µ -1)- y µ]
(B) Pr(Y d" y) = 1- exp[(e- y / µ -1)]
(C) Pr(Y d" y) = 1- exp[-  y µ]
(D) Pr(Y d" y) = 1- exp[- y (µ)]

(E) Pr(Y d" y) = 1-
 + y µ
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 3. Rozpatrzmy standardowy model jednokierunkowej analizy wariancji.
Niech X będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych
ij
2
(i = 1,...,k; j = 1,...ni ) , przy czym E[X ] = µi i Var[X ] = Ã . Przyjmijmy typowe
ij ij
oznaczenia:
ni ni
k k
SSW = - X )2 , SST = - X )2 ,
" "(X ij i " "(X ij
i=1 j=1 i=1 j=1
gdzie
ni ni
k k
1 1
X = X , X = X , n = .
i " ij " " ij "ni
ni j=1 n
i=1 j=1 i=1
Przy zaÅ‚ożeniu, że hipoteza o jednorodnoÅ›ci jest prawdziwa, czyli że µ1 = ... = µk ,
oblicz
SSW
E .
SST
k
ni2
"
i=1
(A)
k
k + ni2
"
i=1
k
ni2
"
i=1
(B)
n2
n - k -1
(C)
n -1
n - k
(D)
n -1
n - k
(E)
n
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 4. Niech W1,W2 ,...,Wn ( n > 1) będzie próbką z rozkładu wykładniczego o
wartoÅ›ci oczekiwanej µ . Rozważmy estymatory parametru µ postaci
n
Ć
µ = aS , gdzie S = .
"Wi
i=1
Znajdz
liczbę a , dla której błąd średniokwadratowy estymatora, czyli wielkość
Ć
E(µ - µ)2
jest najmniejszy.
1
(A) a =
n
1
(B) a =
n -1
1
(C) a =
n +1
1
(D) a =
n + n
(E) nie istnieje liczba a dla której błąd średniokwadratowy odpowiadającego jej
estymatora jest jednostajnie najmniejszy (najmniejszy przy każdej wartoÅ›ci µ )
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 5. Załóżmy, że U1,U2 ,...,Un ,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,1]. Rozważmy ciąg średnich
n
geometrycznych U1U2...Un . Wybierz prawdziwe stwierdzenie.
1
öÅ‚
(A) lim PrëÅ‚n U1U ...Un d" = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2
n"
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
öÅ‚
(B) lim PrëÅ‚n U1U ...Un d" = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2
n"
3
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
öÅ‚
(C) lim PrëÅ‚n U1U ...Un d" =
ìÅ‚ ÷Å‚
2
n"
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
öÅ‚
(D) lim PrëÅ‚n U1U ...Un d" = 1
ìÅ‚ ÷Å‚
2
n"
e
íÅ‚ Å‚Å‚
1
öÅ‚
(E) lim PrëÅ‚n U1U ...Un d" = 1
ìÅ‚ ÷Å‚
2
n"
3
íÅ‚ Å‚Å‚
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 6. Zakładamy, że każda pojedyncza szkoda, niezależnie od pozostałych, jest
likwidowana:
" W roku, w którym zostaÅ‚a zgÅ‚oszona  z prawdopodobieÅ„stwem ¸ ;
" W drugim roku po zgÅ‚oszeniu  z prawdopodobieÅ„stwem ¸ (1-¸ ) ;
" W trzecim roku lub póz
niej  z prawdopodobieÅ„stwem (1-¸ )2 .
Dane, którymi dysponujemy dotyczą n szkód. Wiemy, że spośród nich:
" n1 zostało zlikwidowanych w roku, w którym zostały zgłoszone;
" n2 zostało zlikwidowanych w drugim roku po zgłoszeniu;
" n3 zostało zlikwidowanych w trzecim roku lub póżniej,
gdzie n1 + n2 + n3 = n .
Podaj estymator najwiÄ™kszej wiarogodnoÅ›ci parametru ¸ na podstawie tych danych.
n1 + n2
(A) ¸Ć =
n + n3
n1 + n2
(B) ¸Ć =
2n - n1
n1 + n2
(C) ¸Ć =
2n - n3
n1
(D) ¸Ć =
n
2
n1 ëÅ‚ n3 öÅ‚ n2 + n3
ìÅ‚1- ÷Å‚
(E) ¸Ć = +
÷Å‚
n2 ìÅ‚ n n
íÅ‚ Å‚Å‚
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 7. Rozpatrzmy następujący schemat losowania. Mamy sześć urn,
ponumerowanych liczbami 1,2,3,4,5,6.
W urnie nr. i znajduje się i kul czarnych i 7 - i kul białych (i = 1,2,3,4,5,6 ).
Najpierw rzucamy kostką do gry. Jeśli otrzymamy i oczek, to wybieramy urnę
oznaczonÄ… numerem i . Losujemy z tej urny kolejno, bez zwracania, 2 kule. Niech B1
oznacza zdarzenie losowe polegające na wyciągnięciu białej kuli w pierwszym
losowaniu, zaś B2 - zdarzenie polegające na wyciągnięciu białej kuli w drugim
losowaniu.
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe Pr(B2 | B1) .
(A) Pr(B2 | B1) = 5 / 9
(B) Pr(B2 | B1) = 4 / 9
(C) Pr(B2 | B1) = 1/ 2
(D) Pr(B2 | B1) = 20 / 41
(E) Pr(B2 | B1) = 5 / 7
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 8. X1, X ,..., X10 jest próbką z rozkładu normalnego o znanej wartości
2
2
oczekiwanej µ i nieznanej wariancjià . Rozważmy test hipotezy
2
H0 :Ã d" 4
przeciwko alternatywie
2
H1 :Ã > 4 ,
który jest najmocniejszy na poziomie istotności ą = 0.05 . Dla jakich wartości
wariancji moc tego testu jest niemniejsza, niż 0.95? Podaj zbiór
2
M = {Ã : moc testu e" 0.95}
(A) M = [9.29,")
(B) M = [4.46,")
(C) M = [18.58,")
(D) M = [20.35,")
(E) M = [31.08,")
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 9. Zakładamy, że X1,..., X10 są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładach normalnych, przy czym :
E[X ] = µ - wartość oczekiwana wszystkich zmiennych jest jednakowa i nieznana;
i
2
Ã
2
Var[X ] = - wariancje zmiennych sÄ… różne; wagi wi sÄ… znane a à jest
i
wi
nieznanym parametrem.
2 2 2
Ć Ć
Należy zbudować przedziaÅ‚ ufnoÅ›ci [Ã1 ,à ] dla à na poziomie ufnoÅ›ci 1- Ä… = 0.90 .
2
Dla którego z poniższych przedziałów prawdziwa jest równość
2 2 2
Ć Ć2
Pr(Ã1 d" Ã d" Ã ) = 0.90 ?
10 10 10
îÅ‚
wi (X - X )2 wi (X - X )2 Å‚Å‚ X
" i " i "
2 2 i=1 i=1
ïÅ‚ śł, gdzie X = i=1 i
Ć Ć
(A) [Ã1 ,Ã ] = ,
2
16.9190 3.3251 10
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
10 10 10
îÅ‚
wi (X - X )2 wi (X - X )2 Å‚Å‚ wi X
" i w " i w "
2 2 i=1 i=1
ïÅ‚ śł, gdzie X w = i=1 i
Ć Ć
(B) [Ã1 ,Ã ] = ,
2
10
16.9190 3.3251
ïÅ‚ śł
wi
"
ðÅ‚ ûÅ‚ i=1
10 10 10
îÅ‚
wi (X - X )2 wi (X - X )2 Å‚Å‚ wi X
" i w " i w "
2 2 i=1 i=1
ïÅ‚ śł, gdzie X w = i=1 i
Ć Ć
(C) [Ã1 ,Ã ] = ,
2
10
18.3070 3.9403
ïÅ‚ śł
wi
"
ðÅ‚ ûÅ‚ i=1
10 10 10
îÅ‚
(X - X )2 (X - X )2 Å‚Å‚ wi X
" i w " i w "
2 2 i=1 i=1
ïÅ‚ śł, gdzie X w = i=1 i
Ć Ć
(D) [Ã1 ,Ã ] = ,
2
10 10 10
ïÅ‚
18.3070 wi 3.9403 wi śł wi
" " "
ðÅ‚ i=1 i=1 ûÅ‚ i=1
10 10 10
îÅ‚
wi (X - X )2 wi (X - X )2 Å‚Å‚ wi X
" i w " i w " i
2 2 i=1 i=1 i=1
ïÅ‚
Ć Ć
(E) [Ã1 ,Ã ] = X = ,
2 w
10 10
ïÅ‚Å‚ 0.95 10 wi / 2; 1/ 2), śł
(" ł (" wi / 2; 1/ 2)śł, gdzie wi
0.05 "
ðÅ‚ i=1 i=1 ûÅ‚ i=1
zaś symbol ł (ą,) oznacza kwantyl rzędu p rozkładu Gamma z parametrem
p
kształtu ą i parametrem skali 
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
Zadanie 10. Załóżmy, że U0 ,U1,...,U są niezależnymi zmiennymi losowymi o
n
jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,1]. Oblicz warunkową wartość
oczekiwanÄ…
E(max{U0,U1,...,U } U0).
n
n
(A) E(max{U0,U1,...,Un} U0)=
n +1
n
n + U0
(B) E(max{U0,U1,...,Un} U0)=
n +1
n+1
n + U0
(C) E(max{U0,U1,...,Un} U0)=
n +1
n + U0
(D) E(max{U0,U1,...,Un} U0)=
n +1
n
(E) E(max{U0,U1,...,Un} U0)=
n +U0
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r.
XXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko .................. K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 E
2 A
3 D
4 C
5 B
6 B
7 A
8 C
9 B
10 C
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11