Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech (X1,Y1),( X ,Y2 ),K,(X ,Yn ) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym
2 n
samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością
1
oczekiwaną EXi = EYi = m , wariancją VarX = VarYi = 1 i współczynnikiem
i
4
1
korelacji Corr(Xi ,Yi ) = . Osobno na podstawie prób losowych X1, X ,K, X i
2 n
2
Y1,Y2,K,Yn zbudowano dwa przedziały ufności dla wartości oczekiwanej m, każdy
na poziomie ufności 0,8. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak zbudowane przedziały
okażą się rozłączne.
(A) 0,15
(B) 0,05
(C) 0,03
(D) 0,12
(E) 0,08
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Zakładamy, że zależność czynnika Y od czynnika x (nielosowego) opisuje model
regresji liniowej Yi = ²0 + ²1xi + µi . Obserwujemy 20 elementowÄ… próbkÄ™, w której
x1 = x2 = K = x10 = 1 i x11 = x12 = K = x20 = 3. Zmienne losowe Y1,Y2 ,K,Yn sÄ…
niezależne i błędy mają rozkłady normalne o wartości oczekiwanej 0, przy czym
2 2
Varµi = Ã , gdy i = 1,2,K,10 , i Varµi = 4Ã , gdy i = 11,12,K,20 . Wyznaczono
Ć Ć
estymatory ²0 i ²1 parametrów ²0 i ²1 wykorzystujÄ…c metodÄ™ najmniejszych
2
20
kwadratów, czyli minimalizujÄ…c wielkość - ²0 - ²1xi ) . Wyznacz staÅ‚e z0 i
"(Yi
i=1
Ć Ć
z1 tak, aby P(| ²0 - ²0 |< z0Ã)= 0,95 i P(| ²1 - ²1 |< z1Ã)= 0,95. SpoÅ›ród podanych
odpowiedzi wybierz odpowiedz
będącą najlepszym przybliżeniem.
(A) z0 = 0,98 i z1 = 0,69
(B) z0 = 0,93 i z1 = 0,69
(C) z0 = 0,93 i z1 = 0,54
(D) z0 = 1,18 i z1 = 0,69
(E) z0 = 1,18 i z1 = 0,54
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech ( X ,Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
6x gdy x > 0 i y > 0 i x + y < 1
Å„Å‚
f (x, y) =
òÅ‚
0 w przeciwnym przypadku.
ół
1
öÅ‚
Niech S = X + Y i V = Y - X . Wyznacz VarëÅ‚V | S =
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
(A)
18
1
(B)
24
1
(C)
48
1
(D)
12
1
(E)
16
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech A, B, C będą zdarzeniami losowymi spełniającymi warunki
P(C - B) > 0 i P(B - C) > 0 i P(B )" C) > 0 i P( A | C - B) > P(A | B) . Wtedy
(A) P( A | B *" C) < P( A | C)
(B) P(A | B )" C) < P(A | B)
(C) P(A | B - C) > P(A | C - B)
(D) P( A | B *" C) > P(A | B)
(E) żadna z podanych wyżej nierówności nie jest prawdziwa
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Obserwujemy n niezależnych zmiennych losowych X1,X ,K,X o tym samym
2 n
Å„Å‚
ôÅ‚2x
gdy x " (0;¸ )
2
rozkÅ‚adzie o gÄ™stoÅ›ci f¸ (x) =
òÅ‚
¸
ôÅ‚
ół0 w przeciwnym przypadku,
gdzie ¸ > 0 jest nieznanym parametrem. Rozważmy test jednostajnie najmocniejszy
dla weryfikacji hipotezy H :¸ = 1 przy alternatywie H1 :¸ > 1 na poziomie istotnoÅ›ci
0
0,1. Jak najmniej liczną próbą należy dysponować, aby moc otrzymanego testu przy
3
alternatywie ¸1 = byÅ‚a nie mniejsza niż 0,9.
2
(A) n e" 10
(B) n = 8
(C) n = 6
(D) n = 4
(E) n = 3
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech X1 i X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym
na przedziale 0, 1 . Rozważmy zmienną losową równą bezwzględnej wartości różnicy
[ ]
2
pierwotnych zmiennych X1 i X2 . Wartość oczekiwana µ oraz wariancja Ã
zmiennej X1 - X2 wynoszÄ…:
1 1
2
(A) µ = Ã =
3 36
1 1
2
(B) µ = Ã =
2 12
1 1
2
(C) µ = Ã =
2 24
1 1
2
(D) µ = Ã =
3 18
1
1
2
(E) µ = Ã =
6
3
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Niech X1, X ,K, X ,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
2 n
rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 3. Niech N będzie zmienną
losową niezależna od zmiennych X1, X ,K, X ,K, o rozkładzie Poissona z wartością
2 n
oczekiwanÄ… 2. Niech
N
Å„Å‚ 1
ôÅ‚ gdy N > 0
"iXi
ZN =
òÅ‚ N + 1
i=1
ôÅ‚
0 gdy N = 0.
ół
Oblicz VarZN .
(A) 9
(B) 9,75 - 0,75e-2
(C) 6,75 + 0,75e-2
(D) 14,25 - 0,75e-2
(E) 5,25 + 1,5e-2
n(n +1)(2n +1)
Wskazówka: 12 + 22 +K+ n2 =
6
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X1, X ,K, X10 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
2
prawdopodobieństwa o gęstości
Å„Å‚
¸x¸ -1 gdy x " (0,1)
p¸ (x) =
òÅ‚
0 w przeciwnym przypadku,
ół
a Y1,Y2,K,Y10 niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie prawdopodobieństwa
o gęstości
Å„Å‚
2¸x2¸ -1 gdy x " (0,1)
f¸ (x) =
òÅ‚
0 w przeciwnym przypadku,
ół
gdzie ¸ > 0 jest nieznanym parametrem. Wszystkie zmienne losowe sÄ… niezależne.
Dobierz stałą a tak, aby
T
P¸ ëÅ‚ > aöÅ‚ = 0,9
ìÅ‚ ÷Å‚
¸
íÅ‚ Å‚Å‚
wiedzÄ…c, że T jest estymatorem najwiÄ™kszej wiarogodnoÅ›ci parametru ¸ otrzymanym
na podstawie zmiennych losowych X1, X ,K, X10 ,Y1,Y2,K,Y10 .
2
(A) 1,377
(B) 0,772
(C) 1,408
(D) 0,704
(E) 0,626
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Wykonujemy n niezależnych doświadczeń, z których każde może się zakończyć
jednym z czterech wyników: A1, A2, A3, A4. Niech Ni oznacza liczbę doświadczeń, w
których uzyskano wynik Ai, a pi prawdopodobieństwo uzyskania wyniku Ai w
1 4
pojedynczym doświadczeniu, gdzie i = 1,2,3,4 . Wiadomo, że p1 = i p2 = . Jaka
15 15
jest wartość p3 , jeżeli zmienne losowe N1 + N2 i N2 + N3 - N4 są nieskorelowane.
45
(A)
75
1
(B)
75
31
(C)
75
30
(D)
75
(E) nie istnieje p3 spełniające warunki zadania
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Niech X1, X ,K, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
2 n
2 2
N (m,à ) , z nieznanymi parametrami m i à . Rozważamy problem testowania
hipotezy H0 : m = 0 przy alternatywie H1 : m `" 0 za pomocą testu, który odrzuca
n
| X | 1
2
H0 jeśli > t , gdzie Z = X . Dobierz stałą t tak, aby prawdopodobieństwo
" i
Z n
i=1
błędu pierwszego rodzaju testu było równe 0,05, jeśli wiadomo, że n = 9 .
(A) 0,769
(B) 0,569
(C) 0,754
(D) 0,399
(E) 0,632
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko : ....................... K L U C Z O D P O W I E D Z I .........................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 C
2 D
3 A
4 D
5 E
6 D
7 B
8 B
9 A
10 E
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11