Iloczyn kartezjański zbiorów
Rozważmy dwa zbiory A i B. Z dowolnych elementów a " A i
b " B możemy utworzyć parę (a, b). Zbiór wszystkich takich par
oznaczamy symbolem A×B i nazywamy iloczynem kartezjaÅ„skim
zbiorów A i B:
A × B = {(a, b); a " A, b " B},
przy czym
(a, b) = (a , b ) Ô! (a = a ) '" (b = b ).
Uwaga. Jeśli zbiory A i B są skończone i zbiór A ma m ele-
mentów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A × B ma m · n
elementów.
1
Kwadratem kartezjaÅ„skim zbioru A nazywamy zbiór A2 = A × A.
PrzykÅ‚ad. R2 = R×R  pÅ‚aszczyzna (z ukÅ‚adem współrzÄ™dnych),
[0, 3) × (1, 2] ‚" R2,
[0, 3) × (1, 2] = {(x, y); x " [0, 3), y " (1, 2]}.
2
Analogicznie określamy iloczyn kartezjański większej liczby zbio-
rów, na przykład
A × B × C = {(a, b, c); a " A, b " B, c " C},
przy czym
(a, b, c) = (a , b , c ) Ô! (a = a ) '" (b = b ) '" (c = c ).
Zbiór
An = A × A × . . . × A =
n
= {(a1, a2, . . . , an); a1, a2, . . . , an " A}
nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A, na przykład R3 to
przestrzeń trójwymiarowa (z układem współrzędnych) i ogólnie
Rn to przestrzeń n-wymiarowa.
3
Funkcje
 Jeżeli mamy dwa zbiory X i Y , i każdemu elementowi zbioru X
przyporzÄ…dkujemy jeden i tylko jeden element zbioru Y , to takie
przyporzÄ…dkowanie nazywamy funkcjÄ….
f: X Y , X  dziedzina funkcji f, Y  przeciwdziedzina funkcji f.
4
Przykłady:
" f: Z Z, f(n) = n + 1,
" gi: R R, g1(x) = ax + b, g2(x) = sin x, g3(x) = 2x,
g4(x) = anxn + . . . + a1x + a0,
" E(x) = [x], np. E: R R lub E: R Z,
" f: N1 × N1 N1, f(m, n) = NWD(m, n),
5
" g: R3 R, g(x, y, z) = xy + yz + zx,
" h: R R2, h(t) = (cos t, sin t),
" X  zbiór, IdX: X X, IdX(x) = x,
" T  zbiór trójkątów, P : T R, P (ABC)  pole trójkąta ABC,
" ciąg a1, a2, a3, . . . elementów zbioru A to funkcja
a: N1 A, a(n) = an.
6
Zbiorem wartości funkcji f: X Y nazywamy zbiór
f(X) = {f(x); x " X} = {y " Y : "x"X y = f(x)}.
Przykłady:
" f: R R, f(x) = xn, gdzie n " N1,
[0, +"), jeśli n jest parzyste,
f(R) =
R, jeśli n jest nieparzyste.
" g: R R, g(x) = ax + b, gdzie a, b " R,
R, jeśli a = 0,

g(R) =
{b}, jeśli a = 0.
7
" E: R R, f(x) = [x], E(R) = Z
" h: R R2, h(t) = (cos t, sin t), h(R) =?
Uwaga. Zbiór wartości jest podzbiorem przeciwdziedziny:
f(X) ‚" Y,
nie musi być równy całej przeciwdziedzinie!
8
Definicja. Funkcję f: X Y nazywamy różnowartościową lub
injekcją, jeśli różnym elementom zbioru X przyporządkowuje róż-
ne elementy zbioru Y :
"x1,x2"X x1 = x2 Ò! f(x1) = f(x2).

Warunek równoważny:
"x1,x2"X f(x1) = f(x2) Ò! x1 = x2.
9
Przykłady injekcji:
" f: R R, f(x) = ax + b, gdzie a = 0,

Ä„
" g: [-Ä„, ] R, g(x) = sin x,
2 2
" dowolna funkcja rosnÄ…ca f: R R.
Pytanie. Dla jakich n funkcja f: R R, f(x) = xn jest injekcjÄ…?
10
Definicja. FunkcjÄ™ f: X Y nazywamy funkcjÄ…  na lub surjek-
cją, jeśli każdy element zbioru Y jest przyporządkowany jakiemuś
elementowi zbioru X, czyli
"y"Y "x"X f(x) = y.
Funkcja jest  na , gdy jej przeciwdziedzina jest zbiorem wartości:
f(X) = Y .
11
Przykłady surjekcji:
" f: R R, f(x) = ax + b, gdzie a = 0,

" f: R [-1, 1], f(x) = sin x,
" f: R Z, f(x) = [x].
Pytanie. Dla jakich n funkcja f: R R, f(x) = xn jest surjekcjÄ…?
12
Definicja. FunkcjÄ™ f: X Y nazywamy wzajemnie jednoznacz-
ną lub bijekcją, jeśli jest różnowartościowa i  na (czyli jest in-
jekcjÄ… i surjekcjÄ…).
Przykłady bijekcji:
" f: R R, f(x) = ax + b, gdzie a = 0,

1
" f: R \ {0} R \ {0}, f(x) = ,
x
Ä„
" f: [-Ä„, ] [-1, 1], f(x) = sin x,
2 2
" f: R R+, f(x) = ax, gdzie a > 0 i a = 1.

13
Rozważmy funkcje f: X Y i g: Y Z. Dla x " X mamy y =
f(x) " Y , więc mamy również g(y) = g(f(x)) " Z. W ten sposób
określamy złożenie funkcji f i g:
g ć% f: X Z, (g ć% f)(x) = g(f(x)) dla x " X.
Przykład: f, g: R R, f(x) = x + 1, g(x) = x2,
f(g(x)) = x2 + 1, g(f(x)) = (x + 1)2.
14
Funkcja f: X Y jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy każdy
element y " Y jest przyporządkowany dokładnie jednemu ele-
mentowi x " X. Wówczas istnieje funkcja g: Y X taka, że
g(y) = x Ô! y = f(x) dla x " X, y " Y.
Funkcja g spełnia warunki:
"x"X g(f(x)) = x i "y"Y f(g(y)) = y,
czyli
g ć% f = IdX i f ć% g = IdY .
FunkcjÄ™ g nazywamy funkcjÄ… odwrotnÄ… do funkcji f i oznaczamy
symbolem f-1.
15
Przykłady funkcji odwrotnych:
" f: R R, f(x) = ax + b, gdzie a = 0,

x-b
f-1: R R, f-1(x) = ,
a
" g: [0, +") [0, +"), g(x) = xn, gdzie n " N, n 2
"
n
g-1: [0, +") [0, +"), g-1(x) = x,
" h: R (0, +"), h(x) = ax, gdzie a > 0, a = 1,

h-1: (0, +") R, h(x) = loga(x).
16