Iloczyn kartezjański zbiorów
Ze słowem para spotykamy się w \
yciu codziennym; np. mówimy para skarpetek, para
rękawiczek, dzieci ustawcie się parami. W matematyce mówi się o nieuporządkowanych oraz
uporządkowanych parach elementów. Nas interesują głównie te drugie.
Definicje
Parę uporządkowaną elementów a, b zapisujemy następująco (a, b) wskazując w ten
sposób, \
e a traktujemy jako element pierwszy, b  jako drugi tej pary.
Pary porządkowane (a, b) i (c, d) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.
Z tej definicji wynika, \
e pary (1, 2) i (2, 1) są ró\
ne. Wiem ju\
, \
e {1, 2} = {2, 1}.
Zatem zbiór {1, 2} i para (1, 2) to ró\
ne obiekty.
Parę (a, b) graficznie przestawiamy rysując strzałkę od a do b.
a b
Przykład
Rozwa\
my dwa zbiory A = { 1, 2, 3} i B = {a, b}. Tworzymy zbiór wszystkich par, w któ-
rych pierwszym elementem jest liczba ze rozbioru A i drugim elementem obiekt ze zbioru B.
a) Pary te mo\
na wypisywać kojarząc odpowiednie elementy zbiorów:
(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b).
b) Mo\
na to uczynić posługując się tabelką:
B
a b
1 (1, a) (1, b)
A 2 (2, a) (2, b)
3 (3, a) (3, b)
Otrzymujemy zbiór par Z = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
Zbiór Z mo\
emy przedstawić grafem strzałkowym:
Z
a
1
2
3 b
PrzyjmujÄ…c oznaczenia: 1  ser \
ółty, 2  szynka, 3  kiełbasa, a- pieczywo białe, b- pieczy-
wo ciemne, wtedy zbiór Z reprezentuje (jest modelem teoretycznym) mo\
liwych rodzajów
kanapek, które mo\
na zrobić dysponując dwoma rodzajami pieczywa i trzema rodzajami do-
datków.
Definicja
Iloczynem kartezjaÅ„skim zbiorów A i B (symbol A × B) nazywamy zbiór wszystkich
par uporządkowanych, których pierwszy element nale\
y do zbioru A i drugi element na-
le\
y do zbioru B.
Czyli
A × B = {(a, b): a " A i b " B} .
Wiemy, \
e w danym prostokątnym układzie współrzędnych ka\
dy punkt płaszczyzny
ma dwie współrzędne x, y. Ka\
demu punktowi odpowiada więc para liczb (x, y), a tak\
e od-
wrotnie ka\
dej parze liczb (x, y) odpowiada dokładnie jeden punkt płaszczyzny.
Wykorzystując tę własność układu współrzędnych mo\
emy otrzymać wykres kartezjań-
ski iloczynu A × B, gdzie A = { 1, 2, 3, 4}, B = {b: 1 d" b d" 3 } . Przedstawia go poni\
szy
rysunek.
3
2
1
1 2 3 4
Twierdzenie
Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzi:
a) (A *" B ) × C = (A × C) *" (B × C),
b) (A )" B) × C = (A × C) )" (B × C).
Odniesienia do nauczania
W nauczaniu szkolnym spotkamy się z omawianymi treściami w sytuacjach dydaktycz-
nych zwiÄ…zanych z mno\
eniem liczb naturalnych. W szczególności, je\
eli mamy dwa skoń-
czone zbiory A i B liczące odpowiednio n i m elementów, to liczba elementów iloczynu kar-
tezjaÅ„skiego A × B wynosi n " m. Uzasadniamy to wyobra\
ajÄ…c sobie elementy zbioru A × B
uło\
one w prostokÄ…tnej tabelce.
Podobnie zbiór B × A ma liczebność równÄ… m " n.
Na ogół zbiory A × B, B × A nie sÄ… równe, natomiast sÄ… one tak samo liczne (równo-
liczne). Zwykle sytuacja konkretna związana z wyznaczeniem iloczynu liczb n " m jest ró\
na
od sytuacji wymagajÄ…cej wyznaczenia iloczynu m " n. Np. rozwa\
my: 2 koszyczki jabłek po 5
sztuk oraz 5 koszyczków po 2 jabłka; to odmienne sytuacje, chocia\
w obu przypadkach jest
tyle samo jabłek. Ta ró\
nica między sytuacjami a liczebnością iloczynu bywa z
ródłem wielu
nieporozumień i trudności posługiwania się mno\
eniem liczb przez dzieci.
Nieprzemienność iloczynu kartezjańskiego jest ściśle związana z ró\
nÄ… rolÄ… mno\
nej i
mno\
nika w iloczynie n " m, zaÅ› równoliczność zbiorów A × B, B × A odpowiada przemien-
ności mno\
enia liczb.
Literatura
Nauczanie poczÄ…tkowe matematyki (red. Z. Semadeni), t. 3, WSiP. Warszawa 1984; s.
258  276.
T. Sawicki, R. Reclik, J. Nowik, Matematyka, Wydawnictwo Nowik, Opole 1997;
s. 41 - 46.
Ćwiczenia
1. Dane sÄ… zbiory A = { 1, 3, 5}, B = { 2, 4, 5}.
a) Wyznacz oba iloczyny A × B, B × A ,
b) Narysuj grafy strzałkowe tych iloczynów.
c) Wyznacz wykresy kartezjańskie obu iloczynów kartezjańskich.
2. Dany jest iloczyn kartezjański zbiorów A i B. Określ zbiory A, B.
3
2
1
0 1 2 3 4
3. Zapisz swój tygodniowy rozkład zajęć w postaci iloczynu kartezjańskiego odpowied-
nio dobranych zbiorów.
4. Niech A = {n " N: 3 < n < 10}. Wyznacz iloczyny:
a) " × A, A × " ,
b) {0} × A, A × {0} ,