Temat 4
ILOCZYN KARTEZJAC
SKI, PRZESTRZEC
R n
Przy opisie zbioru kolejność wymienianych elementów nie jest istotna i ka\
dy element wymieniamy tylko
jeden raz. Bardzo często zachodzi potrzeba rozwa\
ania układów elementów danego zbioru, w których kolejność
wymienianych elementów jest istotna i elementy mogą się powtarzać.
DEFINICJA 4.1 (para uporządkowana, układ uporządkowany elementów).
1. Parą uporządkowaną elementów niepustego zbioru nazywamy układ (a, b), w którym a jest elementem
pierwszym, natomiast b jest elementem drugim.
2. Układem uporządkowanym n-elementowym z elementów niepustego zbioru nazywamy układ postaci
(a1, a2, a3,K, an ) ,
w którym ak, k = 1, 2, ... , n, znajduje się na pozycji o numerze k.
3. Równość układów uporządkowanych definiujemy następująco:
df
[(a1, a2,K, an ) = (b1,b2 ,K,bn )] Ô! " k = 1,2,K, n; ak =bk . f&
DEFINICJA 4.2 (iloczyn kartezjański).
1. Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A oraz B nazywamy zbiór
df
A × B = {(a, b) : a " A, b " B}.
2. Iloczyn kartezjaÅ„ski A1 × A2 ×K× An definiujemy nastÄ™pujÄ…co:
df
A1 × A2 ×K× An = {(a1,a2,K,an ) : a1 " A1, a2 " A2, K,an " An}. f&
PRZYKA
AD 4.1 (iloczyny kartezjańskie zbiorów skończonych).
Dla zbiorów A = {5, 2}, B = {b, a, d}, C = {2} mamy:
a) A × B = {(5, b), (5, a), (5, d), (2, b), (2, a), (2, d)}, B × A = {(b, 5), (b, 2), (a, 5), (a, 2), (d, 5), (d, 2)},
b) A × B × C = {(5, b, 2), (5, a, 2), (5, d, 2), (2, b, 2), (2, a, 2), (2, d, 2)}, f&
Z Def. 4.1 i 4.2 otrzymujemy (patrz Prz. 4.1)
WNIOSEK 4.1 (nieprzemienność iloczynu kartezjańskiego).
Iloczyn kartezjaÅ„ski nie jest dziaÅ‚aniem przemiennym: A × B `" B × A. Analogicznie dla iloczynu kartezjaÅ„-
skiego więcej ni\
dwóch zbiorów. f&
UMOWA 4.1 (potęga kartezjańska zbioru).
Dla danego zbioru A oraz n " N stosujemy następujące oznaczenia i nazewnictwo:
oz
A A × = An , n-ta potÄ™ga kartezjaÅ„ska zbioru A. f&
1×42K×3
4 44A
n -czynników
Szczególne znaczenie mają potęgi kartezjańskie zbioru liczb rzeczywistych R.
dr Dymitr SÅ‚ezion 1
Matematyka
UMOWA 4.2 (przestrzeń rzeczywista n-wymiarowa Rn ).
Zbiór Rn = R R ×44 = {(x1, x2 ,K, xn ) : xi " R, i =1,2,K, n}
R
1×42K×3
4
n-czynników
nazywamy n-wymiarowÄ… przestrzeniÄ… arytmetycznÄ… albo przestrzeniÄ… rzeczywistÄ… n-wymiarowÄ…. Element
(x1, x2,K, xn ) " Rn nazywamy punktem tej przestrzeni, a liczby x1, x2,K, xn współrzędnymi tego punktu.
Będziemy stosowali oznaczenia:
X = X (x1, x2 ,K, xn ) = (x1, x2,K, xn ) " Rn.
Punkt O(0,0,...,0) nazywamy punktem poczÄ…tkowym przestrzeni Rn.
f&
Dla n = 1, 2, 3 przestrzeniom R1 = R , R2 i R3 mo\
emy nadać realną interpretację geometryczną. W tych
przypadkach zamiast numeracji współrzędnych punktu wygodniej jest u\
ywać ró\
nych liter, najczęściej x, y, z.
UWAGA 4.1 (interpretacja geometryczna przestrzeni R1, R2, R3 ).
1. Obrazem geometrycznym przestrzeni jednowymiarowej R1 = R jest oÅ› liczbowa Ox.
2. Obrazem geometrycznym przestrzeni dwuwymiarowej R2 jest płaszczyzna z kartezjańskim układem
współrzędnych. pisy: X = X(x, y) = (x, y).
3. Obrazem geometrycznym przestrzeni trójwymiarowej R3 jest otaczająca nas  realna przestrzeń z karte-
zjańskim układem współrzędnych, który, analogicznie jak w przypadku R2 , tworzą trzy wzajemnie prostopadłe
osie liczbowe Ox, Oy, Oz, o identycznej jednostce i wspólnym punkcie O.
Ka\
dej trójce liczb (x, y, z) " R3 odpowiada więc jeden punkt X przestrzeni Oxyz i odwrotnie, ka\
demu punk-
towi X przestrzeni Oxyz odpowiada jedna trójka liczb (x, y, z), które nazywamy współrzędnymi tego punktu.
Stosujemy zapisy: X = X(x, y, z) = (x, y, z). f&
PRZYKA
AD 4.2 (interpretacja geometryczna iloczynów kartezjańskich).
Z Uw. 4.1 wynika, \
e ilustracją geometryczną iloczynu kartezjańskiego dwóch (trzech) zbiorów liczbowych
będzie odpowiedni zbiór płaszczyzny Oxy (przestrzeni realnej Oxyz).
Oy
Oy
2
(-2,2) (1,2) (x,2)
2
1
(-2,1) (1,1)
1
Ox
O
1
Ox
(x,-1)
O
-1
-2 1
Rys. 4.1 Rys. 4.2
A = {-2, 1}, B = {2, 1}; A × B = {(-2, 2), (-2, 1), (1, 2), (1, 1)}, Rys. 4.1.
C = R, D = {-1, 2}; C × D = {(x, y): x " R, y " {-1,2}}, Rys. 4.2.
dr Dymitr SÅ‚ezion 2
Matematyka
E = )#2;4), F = (1;3*# ; E × F = {(x, y): x " )#2;4), y " (1;3*#}, Rys. 4.3.
G = )#-3;-1), H = R ; G × H = {(x, y): x " )#-3;-1), y " R}, Rys. 4.4. f&
Oy
Oy
3
Ox
O
-1
-3
1
Ox
O
4
2
Rys. 4.3 Rys. 4.4
ZADANIA 4
4.1. Dane sÄ… zbiory: A = {1}, B = {-2, 3}, C = (-3;1*#, D = )#2;4*#.
a) Zapisać definicje i podać ilustracje graficzne zbiorów: A×B, B×A, B×C, C×B, A×D, A2, B2, C2, D×R, R×B,
R×{0}, {0}×R.
b) Zapisać definicje i podać (opisać) ilustracje graficzne zbiorów: R×R×{0}, R×{0}×R, {0}×R×R, R×{0}×{0},
{0}×R×{0}, {0}×{0}×R, A×B×R, C×D×R, {0}× C×D.
Odpowiedzi, wskazówki.
4.1. a) A × B = {(x, y): x " {1}, y " {-2, 3}} = {(1, -2), (1, 3)}, C × D = {(x, y) : x " (-3;1*#, y " )#2;4*#},
A2 = A× A = {(x, y) : x, y "{1}} = {(1, 1)}, R ×{0} = {(x, y) : x " R, y = 0} - oÅ› Ox, {0}×R  oÅ› Oy.
b) R × R ×{0} = {(x, y, z) : x, y " R, z = 0} - Oxy, R×{0}×R - Oxz, {0}×R×R - Oyz,
R ×{0}×{0} = {(x, y, z) : x " R, y = z = 0} - Ox, {0}×R×{0} - Oy, {0}×{0}×R - Oz.
WYMAGANE WIADOMOÅšCI I UMIEJ
TNOÅšCI
1. Definicje układu uporządkowanego elementów i iloczynu kartezjańskiegoi zbiorów.
2. Potęga kartezjańska zbioru, przestrzeń R n.
3. Wyznaczanie iloczynów kartezjańskich zbiorów liczbowych i ich ilustracja graficzna.
4. Zapisy osi układu współrzędnych w R2 i R3 oraz płaszczyzn układu współrzędnych w R3 za pomocą iloczy-
nów kartezjańskich.
dr Dymitr SÅ‚ezion 3
Matematyka