Sienicki Artur I7X6S1 Modelowanie Matematyczne
TREŚĆ ZADANIA:
Firma Intel pracuje nad procesorem nowej generacji. LZ zespołów składających się z LP
pracowników jest odpowiedzialnych za wytworzenie X elementów procesora. Do zespołów
przydzielani są specjaliści posiadający określone kwalifikacje. Aby praca przebiegała bez
\
adnych przeszkód \
aden z pracowników nie mo\
e pracować w więcej ni\
jednym zespole.
Czas wykonania poszczególnego komponentu przez zespół wynosi Tij, a czas wykonania
całego procesora szacuje się na Trz. Firma Intel podkreśliła fakt, i\
prace nad ka\
dym
komponentem procesora nie będą trwały jednocześnie. Dopiero kiedy jeden element zostanie
wykonany, mo\
na rozpocząć pracę nad drugim  ze względu na fakt, i\
pracownicy biorÄ…
udział równie\
w innym projekcieWyznaczono równie\
bud\
et, który mo\
na przeznaczyć na
produkcję procesora  Kmax. Zatem koszt wykonania poszczególnego elementu procesora
przez zespół będzie wynosił Kij, a rzeczywisty koszt projektu wyniesie Krz. A
Ä…czny czas pracy
nad procesorem nowej generacji nie mo\
e przekroczyć Tmax. Nale\
y tak zorganizować prace
nadnowym procesorem, by czas wykonania był jak najmniejszy oraz koszty poniesione przez
korporacje były minimalne i tym samym nie przekroczyły dostępnego bud\
etu.
LP  liczba zatrudnionych pracowników
LZ  liczba zespołów pracujących nad nowym procesorem
LPD  liczba komponentów
X  zbiór numerów komponentów do wykonania X ‚" 2N , X {i " Ni : i< Z}
Xi  zbiór numerów podzespołów do wykonania przez zespół i
PR  zbiór numerów wszystkich pracowników pracujących nad projektem
Pi  zbiór numerów pracowników z zespołu i
Zz  zbiór numerów wszystkich zespołów
NKW  zbiór numerów kwalifikacji potrzebnych do pracy nad procesorem
NKWi  zbiór numerów kwalifikacji i-tego pracownika
NKPi  zbiór numerów kwalifikacji potrzebnych do wykonania i-tego elementu
Tij  czas wykonania i-tego elementu przez j-ty zespół
Trz  rzeczywisty czas wykonania całego procesora
Tmax  maksymalny czas przeznaczony na wykonanie całego procesora
Kmax  bud\
et przeznaczony na produkcjÄ™ procesora
Kij  koszt wykonania i-tego komponentu przez j-ty zespół
Krz  rzeczywiste koszty poniesione podczas produkcji procesora
OBJAŚNIENIE KOLORÓW:
Na czerwono zaznaczono zbiory mo\
liwych (fizycznie) do uzyskania wartości. Decydent w chwili
podejmowania decyzji będzie znał wartości danych, rozkład ich prawopodobieństw, stopień
przynale\
ności jej wartości do zbioru, ale znane będzie jedynie przybli\
enie zbioru.
Na zielono zaś te cechy, na których wartości zale\
y decydentowi i na które nie ma wpływu przez co
posiada niepełna znajomość danych.
1
Sienicki Artur I7X6S1 Modelowanie Matematyczne
OPIS CECH:
Å„Å‚ üÅ‚
LZ LZ
ôÅ‚ ôÅ‚
LP, N , LZ, N , LPD, N , X ,2N ,{X ,2N i=1}, PR,2N ,{Pi ,2N i=1}, Z ,2N , NKW ,2N ,
i z
ôÅ‚ ôÅ‚
O
LZ
LP LPD LPD
ôÅ‚ ôÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚,
= {NKWi ,2N i=1},{NKWPi ,2N i=1 }, {Tij , R+ i=1 } Trz , R+ , Tmax , R+ , Kmax , R+ , Krz , R+ ,żł
òÅ‚ òÅ‚ żł
X
j=1
ół þÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
LZ
ôÅ‚Å„Å‚ ôÅ‚
LPD
üÅ‚
{Kij , R+ i=1 }
ôÅ‚òÅ‚ żł ôÅ‚
j=1
ół þÅ‚
ół þÅ‚
OPIS ZWI
ZKÓW:
O
= { Z1,Y1, R1 , Z2 ,Y2 , R2 , Z3,Y3, R3 , Z4 ,Y4, R4 , Z5,Y5, R5 , Z6 ,Y6 , R6 }
R
Z1: jeden pracownik mo\
e pracować w jednym zespole
LZ
Y1 = LZ, Z ,{Pi}
z
i=1
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚
lz
R1 = lz, zz ,{pi} " N × (2N )1+lz : za )" zb = "ôÅ‚
òÅ‚ żł
i=1 "
a,b"Zz
ôÅ‚ ôÅ‚
a`"b
ół þÅ‚
Z2: rzeczywisty czas wykonania całego projektu
LZ
LPD LZ
Y2 = LZ , LPD , Z ,Trz ,{{Tij} } ,{X }
z i
i=1
i=1
j =1
Å„Å‚ lz üÅ‚
lpd lz
2 N 2 N
R2 = lz,lpd , z ,trz ,{{t } } ,{xi} " N × 2 × R+ × (2 )lz : trz = tij żł
òÅ‚
z ij " "
i=1
i=1
j =1
j"Zz i"Xj
ół þÅ‚
Z3: ograniczenie na czas wykonania całego procesora
Y3 = Trz ,Tmax
2
R3 = {trz ,tmax " R+ : trz d" tmax}
Z4: rzeczywisty koszt poniesiony przy produkcji nowego procesora
LZ
LPD LZ
Y4 = LPD, LZ, Z ,Trz ,{{Tij} } ,{X }
z i
i=1
i=1
j=1
Å„Å‚ lz üÅ‚
lpd lz
2 2
R4 = lpd,lz, zz ,trz ,{{tij} } ,{xi} " N × 2N × R+ × (2N )lz : krz =
òÅ‚ żł
" "kij
i=1
i=1
j=1
j"Zz i"Xj
ół þÅ‚
Z5: ograniczenie na koszt  nie mo\
na przekroczyć dostępnego bud\
etu
Y5 = Krz , Kmax
2
R5 = {krz , kmax " R+ : krz d" kmax}
2
Sienicki Artur I7X6S1 Modelowanie Matematyczne
Z6: powodzenie wykonania ka\
dego elementu
LZ LP LPD LZ
Y6 = LP, LPD, LZ, Z ,{Pi} ,{NKWi} ,{NKWPi} ,{X }
z i
i=1 i=1 i=1 i=1
Å„Å‚ üÅ‚
lz lp lpd lz
3
R6 = lp,lpd,lz, zz ,{pi} ,{nkwi} ,{nkwpi} ,{xi} " N × (2N )1+lz+lp+lpd +lz : nkwi ƒ" nkwpi żł
òÅ‚
U U
i=1 i=1 i=1 i=1 "
j"Pz
i"Pj k"Xj
ół þÅ‚
LZ LZ
LZ LP LPD LPD LPD
a = LP, LZ, LPD, X , PR,{Pi} , Z , NKW ,{NKWi} ,{NKWPi} ,{{Tij} } ,Tmax , Kmax ,{{Kij} }
z
i=1 i=1 i=1
i=1 i=1
j=1 j=1
w = Trz , Krz
LZ
x = {X }
i
i=1
gdzie:
a  lista danych
w  lista wskaz
ników
x  lista zmiennych decyzyjnych
LZ LZ
LZ LP LPD LPD LPD
Å„Å‚ üÅ‚
LP, LZ, LPD, X , PR,{Pi} , Z , NKW ,{NKWi} ,{NKWPi} , {{Tij} } ,Tmax , Kmax ,{{Kij} }
z
i=1 i=1 i=1
i=1 i=1
j=1 j=1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
3 +2+LP+LPD 4
× R+ :
ôÅ‚" N × (2N )2+LZ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
A =
òÅ‚ Z z = LZ, PR = LP, X = LPD, NKWi ‚" NKW , żł
i
" "NKWP ‚" NKW ,
ôÅ‚ ôÅ‚
i"PR i"X
ôÅ‚ ôÅ‚
" "
ôÅ‚i,m"Zz Zi )" Zm = ", i"Zz Pi ‚" PR ôÅ‚
ôÅ‚i`"m ôÅ‚
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
2
W (a, x) = Trz , Krz " R+ : Trz = , Krz =
òÅ‚ żł
" "Tij " "Kij
j"Zz i"Xj j"Zz i"Xj
ół þÅ‚
LZ
Å„Å‚
{X } " (2N )LZ : d" Kmax , d" Tmax , X ‚" X , üÅ‚
i " "Kij " "Tij j
i=1 "
ôÅ‚ ôÅ‚
j"Zz
j"Zz i"Xj j"Zz i"Xj
&!(a) =
òÅ‚ żł
NKWPi ‚" NKWk
ôÅ‚ ôÅ‚
U U
"
j"Zz
i"Xj k"Zj
ół þÅ‚
3
Sienicki Artur I7X6S1 Modelowanie Matematyczne
SFORMUA
OWANIE ZADANIA OPTYMALIZACJI:
*
Dla danych a" A nale\
y wyznaczyć takie x "&!(a) aby "y* "W (a, x) : Ea ( y*) = 1:
* *
Å„Å‚
minT min
ôÅ‚1 gdy y = x"&!(a) rz (x) oraz Ea (y*) = Å„Å‚
ôÅ‚1 gdy y = x"&!(a) Krz (x)
Ea (y*) =
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół0 w p.p ół0 w p.p
gdzie:
Trz (x) =
" "Tij
j"Zz i"Xj
Krz (x) =
" "Kij
j"Zz i"Xj
SFORMUA
OWANIE ZADANIA EKSTREMALIZACJI:
*
Dla danych a" A nale\
y wyznaczyć takie x "&!(a) aby Krz (x*) = Krz (x) oraz
min
x"&!(a)
Trz (x* ) =
rz
minT (x)
x"&!(a)
4