Edukacja 2013, 1(121), 73-88
ISSN 0239-6858
Pomiar kompetencji nauczycieli matematyki
Monika Czajkowska*
W ostatnich latach w wielu krajach, również Polsce, w centrum uwagi znalazło się kształcenie przyszłych
kadr nauczycielskich i kompetencje czynnych nauczycieli zajmujących się edukacją matematyczną. Zaczęto
prowadzić badania, których celem było m.in. określenie związku między kompetencjami nauczyciela a wie-
dzą i umiejętnościami uczniów. Niniejszy artykuł stanowi przegląd badań w tym zakresie, prowadzonych
w różnych krajach europejskich.
SÅ‚owa kluczowe: nauczyciel matematyki, kompetencje nauczyciela
Kompetencje nauczycieli daczy tego tematu nie ma zgodności co do
a jakość nauczania tego, które kompetencje nauczyciela mają
największy wpływ na jakość jego pracy.
a efektywność nauczania ma wpływ Zdaniem Deborah Loewenberg Ball (2008)
Nwiele czynników. Do najważniejszych i współpracowników wiedza merytorycz-
należą: motywacja uczniów do uczenia się, na nauczyciela z przedmiotu, którego na-
szeroko rozumiana organizacja procesu ucza, w szczególności z matematyki, jest
nauczania  uczenia się, postawy rodziców, warunkiem koniecznym i fundamentem
kompetencje nauczyciela. W ciÄ…gu ostat- skutecznego nauczania. Nie jest bowiem
nich lat zaczęto poszukiwać odpowiedzi na możliwe, aby nauczyciel, który sam nie po-
pytania, jakie kompetencje powinien mieć siada wiedzy i umiejętności z nauczanego
nauczyciel zajmujący się edukacją matema- przedmiotu, mógł pomóc uczniom w ich
tyczną, czy istnieje związek między kom- opanowaniu. Mierzenie kompetencji mate-
petencjami nauczyciela a umiejętnościami matycznych jest możliwe za pomocą obser-
uczniów, jakie kompetencje nauczycie- wacji, rozmów, tekstów kompetencyjnych
la mają wpływ na umiejętności uczniów w powiązaniu z analizą programów kształ-
i w jaki sposób mierzyć kompetencje na- cenia nauczycieli. Pytania testowe powin-
uczycieli (Ball, Thames i Phelps, 2008; ny być tak skonstruowane, aby sprawdzały
Baumert i in., 2010; Davis, 2011; Hill, specjalistycznÄ… wiedzÄ™ nauczycieli, a nie
Schilling i Ball, 2004; Kersting, 2008; tylko znajomość szkolnej matematyki,
Krauss i in., 2008; Niss, 2004). Wśród ba- którą powinien posiadać każdy absolwent
szkoły średniej. W przykładzie 1 zamiesz-
Artykuł powstał w wyniku kwerendy bibliotecznej
przeprowadzonej przed rozpoczęciem Badania potrzeb
Wysoka jakość systemu oświaty, Poddziałanie 3.1.1 Two-
nauczycieli edukacji wczesnoszkolnej i matematyki w za-
rzenie warunków i narzędzi do monitorowania, ewalua-
kresie rozwoju zawodowego prowadzonego w Instytucie
cji i badań systemu oświaty
Badań Edukacyjnych. Badanie jest finansowane ze środ-
ków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach * Pracowania Matematyki Instytutu Badań Edukacyj-
Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki, Piorytet III: nych. E-mail: [e-mail]
Czajkowska
74
czono przykłady pytań, zaczerpniętych cieli matematyki jest to, że repertuar zabiegów
z jej artykułu (Ball i in., 2008), które nie dydaktycznych i sposobów wyjaśniania kon-
badają tej unikalnej wiedzy, ponieważ kretnych treści matematycznych w dużym
może na nie odpowiedzieć każdy, kto zna stopniu zależy od tego, jak głęboko i szeroko
matematykÄ™. zna je i rozumie sam nauczyciel. Ball (1990)
wykazała tę zależność dla mnożenia, zespół
Przykład 1 Hildy Borko (1992) i Martin A. Simon (1993)
dla dzielenia, Ruhama Even (1993), Mary Kay
a) Jaka liczba jest większa od 1,1 i mniejsza Stein i współpracownicy (Stein, Baxter i Le-
od 1,11? inhardt, 1990) dla funkcji, a Ralph Putnam
b) Czy każdy kwadrat jest prostokątem? i inni (Putnam, Heaton, Prawat i Remillard,
c) Czy prawdą jest, że 0 : 7 = 0? 1992) dla treści geometrycznych. Badania
d) Pani Dominguez pracowała z nowym prowadzone w tym zakresie ujawniły, że defi-
podręcznikiem i zauważyła, że poświę- cyt kompetencji matematycznych nauczyciela
cono w nim więcej uwagi liczbie 0, niż nie może być rekompensowany przez umie-
w podręcznikach, z którymi wcześniej jętności dydaktyczne i pedagogiczne.
pracowała. Znalazła stronę, na której
proszono uczniów o stwierdzenie, które Z drugiej strony same tylko kompetencje
z poniższych zdań są prawdziwe, a które matematyczne nie są warunkiem dostatecz-
fałszywe. Które zdania są prawdziwe? nym efektywnego nauczania. Co więcej, co-
raz częściej pojawiają się pytania, jak głęboko
i jak szeroko nauczyciel powinien znać za-
Zdanie Tak Nie
gadnienia z matematyki wyższej. Naukowcy
0 jest liczbÄ… parzystÄ…. oð oð
zajmujÄ…cy siÄ™ tym problemem nie sÄ… zgodni,
0 nie jest liczbÄ…. Jest to znak
w jakim stopniu wiedza matematyczna zdo-
pozwalajÄ…cy zapisywać duże oð oð
liczby. byta na studiach, czy znajomość najnowszych
Liczba 8 może być zapisana wyników badań w zakresie czystej matema-
oð oð
w postaci 008.
tyki, jest użyteczna dla nauczycieli szkół pod-
stawowych i średnich (Baumert i in., 2010).
Pytania w podpunktach a, b i c są sformu- Brent Davis (2011) w przeciwieństwie do Ball
łowane w takiej samej konwencji jak pyta- twierdzi, że największy wpływ na jakość na-
nia do uczniów. Mogłyby zostać użyte do uczania mają predyspozycje do wykonywania
sprawdzania ich wiedzy. Nie wystarczy jed- zawodu nauczyciela matematyki i talent pe-
nak osadzenie pytań w szkolnym kontekście dagogiczny, a także kompetencje dydaktycz-
(podpunkt d). Jeżeli zadanie, w którym nale- ne. Do nich zalicza takie umiejętności, jak:
ży ocenić prawdziwość zdań pochodzi z pod- stosowanie analogii, metafor, poszukiwanie
ręcznika szkolnego, to nie może sprawdzać praktycznych zastosowań, konkretyzowanie
specjalistycznej wiedzy nauczycielskiej. Aby pojęć i twierdzeń, tworzenie obrazów pojęć
odpowiedzieć na powyższe pytania, nie jest matematycznych. Efektywne nauczanie ma-
potrzebna wiedza i umiejętności z zakresu tematyki wymaga bowiem od nauczyciela
metodyki nauczania matematyki, czy spoj- umiejętnego przedstawiania treści matema-
rzenie na matematykę szkolną z punktu wi- tycznych, posługiwania się językiem (mówio-
dzenia matematyki wyższej. nym, symbolicznym, graficznym) dostosowa-
nym do poziomu rozwojowego i możliwości
Jednym z najważniejszych ustaleń badań ja- uczniów, doboru właściwych przykładów
kościowych dotyczących kompetencji nauczy- ukazujących praktyczne wykorzystanie ma-
Pomiar kompetencji nauczycieli matematyki
75
tematyki w rozwiązywaniu problemów życia Szempruch, 2000) podzielił kompetencje
codziennego. Istotne jest tu też dostrzeganie nauczycielskie na interpretacyjno-komuni-
przez nauczyciela powiązań między treściami kacyjne, kreatywne, współdziałania, prag-
(struktury treści matematycznych), właściwe matyczne i informatyczno-medialne.
organizowanie pracy uczniów tak, aby byli oni
zaangażowani intelektualnie i emocjonalnie Chociaż badania umiejętności nauczyciel-
w proces poznawczy, modyfikowanie i dosto- skich są skupione wokół innych kompe-
sowywanie zadań (łatwiejsze, trudniejsze) do tencji niż merytoryczne i dydaktyczne, to
możliwości uczących się, właściwe reagowanie w licznych artykułach autorzy badań pod-
na pytania i wątpliwości uczniów, rozumienie kreślają wagę tych kompetencji w kształce-
toku ich myślenia (często odbiegającego od niu przedmiotowym.
toku myślenia nauczyciela), a także szybka
ocena ich wypowiedzi, krytyczna ocena pod- Kształcenie przyszłych nauczycieli
ręczników i innych pomocy dydaktycznych.  przygotowanie do zawodu
Tę specjalistyczną wiedzę, z której nauczyciele
korzystają, ale która nie zawsze jest dostępna Różnice w kształceniu nauczycieli w różnych
ich świadomości, nazywa wiedzą ukrytą (tacit państwach wynikają m.in. z uwarunkowań
knowledge). historyczno-społeczno-gospodarczych, syste-
mu szkolnictwa, odmiennych systemów edu-
Dotychczas uwaga polskich naukowców kacyjnych, sposobu finansowania edukacji,
zajmujących się problemem kompetencji a także prestiżu zawodu nauczyciela w społe-
nauczycieli była skoncentrowana prze- czeństwie. Uprawnienia do nauczania można
de wszystkim na klasyfikacji kompetencji uzyskać w uniwersytetach, kolegiach nauczy-
nauczycieli lub badaniu kompetencji na- cielskich lub specjalnych instytucjach. W nie-
uczycielskich niezwiązanych bezpośrednio których państwach przyszli nauczyciele szkół
z matematyką. Na przykład Hanna Hamer podstawowych przygotowywani są do na-
(1994) wyróżnia kompetencje specjalistycz- uczania wszystkich przedmiotów. W innych
ne, dydaktyczne, psychologiczne; Stefan tylko w klasach poczÄ…tkowych (1 3 lub 1 4)
Dylak (1995) wymienia kompetencje ba- wszystkie lub prawie wszystkie przedmioty sÄ…
zowe, konieczne, pożądane; Wacław Stry- nauczane przez jednego nauczyciela, a w kla-
kowski (2003) pisze o kompetencjach me- sach wyższych szkoły podstawowej i w szko-
rytorycznych, dydaktyczno-metodycznych łach średnich każdy przedmiot jest prowa-
i wychowawczych; Robert Kwaśnica (2003) dzony przez specjalistę. W niektórych krajach
wyodrębnia dwie grupy kompetencji: prak- obowiązuje zasada specjalizacji nauczyciel-
tyczno-moralne (interpretacyjne, moralne skiej w zakresie dwóch lub trzech przedmio-
i komunikacyjne) i techniczne (postulacyj- tów. Przyszli nauczyciele muszą odbywać
ne, metodyczne i realizacyjne). Na posiedze- praktyki, lecz czas ich trwania i organizacja sÄ…
niu Komitetu Nauk Pedagogicznych PAN różne. Studenci, aby uzyskać uprawnienia do
w dniu 13 listopada 1997 roku, poświęcone- nauczania, muszą zdać egzaminy praktyczne
mu wymaganiom w zakresie wykształcenia lub teoretyczne. Mogą być one wewnętrzne
zawodowego nauczycieli, wydzielono kom- lub zewnętrzne, przeprowadzane przez nieza-
petencje: prakseologiczne, komunikacyjne, leżne instytucje. Na przykład na Tajwanie, aby
współdziałania, kreatywne, informatyczne, uzyskać uprawnienia do nauczania, należy
moralne; Zespół Przygotowania Pedago- zdać egzamin państwowy (Teacher Qualifi-
gicznego Nauczycieli przy Radzie ds. Kształ- cation Assessment). Składa się on z zagadnień
cenia Nauczycieli w MEN (na podstawie: kontrolujÄ…cych kompetencje merytoryczne
Czajkowska
76
z zakresu specjalności wybranej przez kandy- Badanie objęło bardzo zróżnicowane syste-
data na nauczyciela i zagadnień sprawdzają- my edukacyjne i zróżnicowane programy
cych jego kompetencje pedagogiczne i dydak- kształcenia nauczycieli. Aby ułatwić po-
tyczne (Tatto i in., 2012). równania międzynarodowe, poszczególne
programy występujące w krajach uczest-
Różne rodzaje systemów i programów kształ- niczących w badaniu podzielono na sześć
cenia nauczycieli mogą być powodem różnic grup. Podstawowym kryterium selekcji
w kompetencjach dydaktycznych i matema- był etap, na którym miał nauczać przy-
tycznych nauczycieli matematyki. Pierwszym szły nauczyciel oraz to, czy będzie on uczył
międzynarodowym badaniem, którego ce- kilku przedmiotów, czy też będzie jedynie
lem było porównanie kompetencji studentów specjalistą z matematyki. Polscy studenci
będących u progu wejścia do zawodu nauczy- znalez
li siÄ™ w czerech grupach (Sitek i in.,
ciela było Badanie kształcenia i doskonalenia 2010; Tatto i in., 2012). Podstawowym na-
zawodowego nauczycieli  Matematyka 2008 rzędziem badawczym były dwa testy kom-
(Teacher Education and Development Sur- petencyjne (Sitek i in., 2010; Tatto in., 2008;
vey  Mathematics 2008, w skrócie TEDS-M 2012). Jeden z nich rozwiązywali studenci
2008) (Tatto i in., 2012). Zostało ono prze-  przyszli nauczyciele szkół podstawo-
prowadzone z inicjatywy Międzynarodowe- wych, drugi  przyszli nauczyciele szkół
go Stowarzyszenia na rzecz Badań Osiągnięć średnich. Każdy z zeszytów testowych
Edukacyjnych (International Association for zawierał około 25 wiązek zadań mierzą-
the Evaluation of Educational Achievement, cych umiejętności z zakresu matematyki
IEA) i zrealizowane przez Michigan State i dydaktyki matematyki. Zadania mierzÄ…-
University (Stany Zjednoczone), Australian ce kompetencje matematyczne studenta
Council for Educational Research (Australia) zostały scharakteryzowane w trzech ob-
oraz Data Processing Center (DPC) (Niem- szarach: treści matematycznych (algebra,
cy). W Polsce za jego realizację odpowiadał geometria, nauka o liczbie, podstawy ra-
Instytut Filozofii i Socjologii PAN (Sitek i in., chunku prawdopodobieństwa i statystyki),
2010). Badaniem zostało objętych 21 185 kompetencji matematycznych (posiadanie
studentów ostatniego roku studiów1 uczelni wiedzy, stosowanie wiedzy, rozumowanie)
i innych instytucji przygotowujących do pra- i stopnia trudności zadania (niski, średni,
cy w zawodzie nauczyciela edukacji wczes- wysoki). Zadania mierzÄ…ce wiedzÄ™ i umie-
noszkolnej lub matematyki z 17 państw: jętności z zakresu dydaktyki matematyki
Botswany, Chile, Filipin, Gruzji, Hiszpanii, uporządkowano pod względem kompeten-
Kanady2, Malezji, Niemiec, Norwegii, Oma- cji dydaktycznych (znajomość powiązań
nu, Polski, Rosji, Singapuru, Stanów Zjedno- treści programowych, planowanie naucza-
czonych, Szwajcarii, Tajlandii i Tajwanu. nia, przekazywanie wiedzy i odbieranie jej
od uczniów) oraz stopnia trudności (niski,
1
Badaniem zostali objęci studenci również tych pro-
średni, wysoki).
gramów studiów, na które nabór nie był już prowadzony.
Dlatego w Polsce w badaniu uczestniczyli studenci III roku
Poniżej zamieszczono przykłady zadań
studiów pierwszego stopnia, II roku studiów drugiego stop-
badających kompetencje studentów wraz
nia oraz V roku  wygasających studiów jednolitych magi-
sterskich. Jednak ze względu na fakt, że studenci studiów z kluczem kodowym zadań otwartych. Za-
drugiego stopnia posiadają już kwalifikacje pedagogiczne,
dania w Przykładzie 2 pochodzą z testu dla
zostali oni wykluczeni z analiz międzynarodowych.
przyszłych nauczycieli szkół podstawowych,
2
Kanada nie jest uwzględniana w niektórych raportach,
w Przykładzie 3  dla przyszłych nauczycieli
ponieważ w badaniu wzięli udział studenci tylko z czte-
szkół średnich.
rech prowincji.
Pomiar kompetencji nauczycieli matematyki
77
Przykład 2 a) Jakim błędnym przekonaniem najpraw-
dopodobniej kieruje siÄ™ Jarek?
Jarek zauważył, że kiedy wykonuje na kal- b) Sporządz
rysunek obrazujący działanie
kulatorze dziaÅ‚anie 0,2 · 6, otrzymuje wynik 0,2 " 6 w taki sposób, by pomógÅ‚ on Jar-
mniejszy niż 6, a kiedy wykonuje działanie kowi zrozumieć, dlaczego wynik tego
6 : 0,2, otrzymuje liczbę większą niż 6. Jest działania jest właśnie taki, jaki otrzymał.
tym zdezorientowany i prosi nauczyciela
o nowy kalkulator!
Tabela 1
Klucz odpowiedzi do przykładu 2
Część a
Poprawność odpowiedzi
Poprawna Odpowiedzi, które sugerują, że uczeń sądzi, że iloczyn jest zawsze większy
od każdego czynnika oraz że iloraz jest zawsze mniejszy od dzielnej, np.:
Myśli, że przy mnożeniu wynik powinien być większy, a jak się dzieli wynik
powinien być mniejszy.
Częściowo poprawna Odpowiedzi, które sugerują, że uczeń sądzi, że iloczyn jest zawsze większy
od każdego czynnika albo że iloraz jest zawsze mniejszy od dzielnej, np.:
" Myśli, że przy mnożeniu wynik powinien być większy niż każda z liczb.
" Myśli, że wynik dzielenia powinien być mniejszy niż dzielna.
Odpowiedzi, które sugerują, że Jarek traktuje 0,2 jako liczbę naturalną.
" Myśli, że mnoży i dzieli przez 2, a nie przez 0,2.
Niepoprawna Odpowiedzi związane ze zrozumieniem liczb dziesiętnych, mnożeniem
i dzieleniem przez liczby dziesiętne lub użyciem kalkulatora.
" On nie rozumie mnożenia (lub dzielenia) przez liczby dziesiętne.
" On nie rozumie, jak używa się kalkulatora.
Część b
Poprawność odpowiedzi
Poprawna Odpowiedni rysunek, który przejrzyście przedstawia, w jaki sposób 0,2 " 6 daje wynik
1,2; np.:
Poprawna Odpowiedni rysunek, który przejrzyście przedstawia, w jaki sposób
0,2 " 6 daje wynik 1,2; np.:
więc 6 części 0,2 daje 1,2
5 części 0,2 daje 1
+
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0,2
0,2 0,2
0,2 0,2 0,2
5 " 0,2 = 1
Częściowo Rysunek, który przedstawia 6 części po 0,2, ale nie wyjaśnia dlaczego 0,2 " 6 daje
poprawna wynik 1,2:
0,2 0,2 0,2
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0,2
0,2 0,2
0,2 0,2 0,2
Czajkowska
0,2
0,2 0,2
78 0,2 0,2 0,2
5 " 0,2 = 1
Częściowo poprawna Rysunek, który przedstawia 6 części po 0,2, ale nie wyjaśnia dlaczego 0,2 "
Częściowo Rysunek, który
6 daje wynik 1,2: przedstawia 6 części po 0,2, ale nie wyjaśnia dlaczego 0,2 " 6 daje
5 " 0,2 = 1
poprawna wynik 1,2:
Częściowo Rysunek, który przedstawia 6 części po 0,2, ale nie wyjaśnia dlaczego 0,2 " 6 daje
0,2 0,2 0,2
poprawna wynik 1,2:
0,2 0,2 0,2
0,2 0,2 0,2
0,2 0,2 0,2
Rysunek, który przedstawia, jak 5 części po 0,2 tworzą całość, ale nie
Rysunek, który przedstawia, jak 5 części po 0,2 tworzą całość, nie wyjaśnia, w jaki
wyjaśnia, w jaki sposób 6 części po 0,2 równa się 1,2:
Rysunek, który przedstawia, jak 5 części po 0,2 tworzą całość, nie wyjaśnia, w jaki
sposób 6 części po 0,2 równa się 1,2:
sposób 6 części po 0,2 równa się 1,2:
0,2
0,2
W jednej całości mamy pięć części 0,2.
W jednej całości mamy pięć części 0,2.
Graficzne przedstawienie równości 0,2 " 6 = 1,2 bez wyjaśnienia, dlaczego dlaczego ona
Graficzne przedstawienie równości 0,2 6 1,2 wyjaśnienia, dlaczego ona
Graficzne przedstawienie równości " " 6 = bez bez wyjaśnienia,
0,2 = 1,2
ona zachodzi:
zachodzi:
zachodzi:
7
7
Niepoprawna Graficzne przedstawienie 6 części po 0,2 bez wyjaśnień:
Niepoprawna Graficzne przedstawienie 6 części po 0,2 bez wyjaśnień:
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
Niepoprawna Graficzne przedstawienie 6 części po 0,2 bez wyjaśnień:
Przykład słowny, sugerujący 0,2 0,2 po 0,2, np.:  Policz 6 części po 0,2 w
liczenie części
0,2 0,2 0,2 0,2
następujący sposób: 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0, 1,2. *
Przykład słowny, sugerujący liczenie części po 0,2, np.:  Policz 6 części po 0,2 w
Przykład słowny, sugerujący liczenie części po 0,2, np.:  Policz 6 części po
y
ródło: Opracowanie własne na podstawie: Teacher Education Study in Mathematics (TEDS-M) 2008. Released
następujący sposób: 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0, 1,2. *
items future teacher Mathematics Content Knowledge (MCK) and Mathematics Pedagogical Content
0,2 w następujący sposób: 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0, 1,2. *
Knowledge (MPCK)  Primary 2009. podstawie: Teacher Education Study in Mathematics (TEDS-M) 2008. Released
y
ródło: Opracowanie własne na
*
Autorzy future w uwagach podają, że sam sposób wyjaśnienia jest dobry, ale niezgodny z poleceniem w
testu
items teacher Mathematics Content Knowledge (MCK) and Mathematics Pedagogical Content
zadaniu  SporzÄ…dz
rysunek .
Knowledge (MPCK)  Primary 2009.
*
Autorzy testu w uwagach podają, że sam sposób wyjaśnienia jest dobry, ale niezgodny z poleceniem w
zadaniu  SporzÄ…dz
rysunek .
Przykład 3
y
ródło: opracowanie własne na podstawie: Teacher Education Study in Mathematics (TEDS-M) 2008. Released items
future teacher Mathematics Content Knowledge (MCK) and Mathematics Pedagogical Content Knowledge (MPCK)
Masz udowodnić następujące twierdzenie:
Przykład 3
 Primary 2009.
Jeśli kwadrat dowolnej liczby naturalnej podzielimy przez 3, wtedy resztą może być tylko 0 lub 1.
Masz udowodnić następujące twierdzenie:
* Autorzy testu w uwagach podają, że sam sposób wyjaśnienia jest dobry, ale niezgodny z poleceniem w zadaniu
Dla każdego z poniższych rozumowań ustal, czy opisuje matematycznie poprawny dowód.
 SporzÄ…dz
rysunek .
Jeśli kwadrat dowolnej liczby naturalnej podzielimy przez 3, wtedy resztą może być tylko 0 lub 1.
Zaznacz jednÄ…
Dla każdego z poniższych rozumowań ustal, czy opisuje matematycznie poprawny dowód.
Wariant odpowiedz
w
Uzasadnienie podane przez ucznia
rozwiązania każdym wierszu
Zaznacz jednÄ…
Tak Nie
Wariant odpowiedz
w
Uzasadnienie podane przez ucznia
A. każdym wierszu
rozwiązania Używam następującej tabeli:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tak Nie
żÿ żÿ
Pomiar kompetencji nauczycieli matematyki
79
Przykład 3 limy przez 3, wtedy resztą może być tylko 0 lub 1.
Dla każdego z poniższych rozumowań
Masz udowodnić następujące twierdzenie: ustal, czy opisuje matematycznie poprawny
Jeśli kwadrat dowolnej liczby naturalnej podzie- dowód.
Zaznacz jednÄ…
odpowiedz

Wariant
Uzasadnienie podane przez ucznia
w każdym wierszu
rozwiÄ…zania
Tak Nie
A. Używam następującej tabeli:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
oð oð
Reszta przy 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
dzieleniu przez 3
B. Pokazuję, że (3n)2 jest podzielne przez 3 i dla wszystkich innych liczb,
oð oð
(3n Ä…1)2 = 9n2 Ä… 6n + 1, co zawsze daje resztÄ™ 1 po podzieleniu przez 3.
C. Wybieram liczbę naturalną n, znajduję jej kwadrat n2, a następnie
oð oð
sprawdzam, czy twierdzenie jest prawdziwe, czy nie.
D. Sprawdzam twierdzenie dla kilku poczÄ…tkowych liczb pierwszych,
a nastÄ™pnie wyciÄ…gam wniosek oparty na podstawowym oð oð
twierdzeniu arytmetyki.
y
ródło: opracowanie własne na podstawie Teacher Education Study in Mathematics (TEDS-M) 2008. Released items
future teacher Mathematics Content Knowledge (MCK) and Mathematics Pedagogical Content Knowledge (MPCK)
 Secondary 2009.
Wyniki testu skalibrowano, wykorzystując pisali test dla przyszłych nauczycieli szkół
metodę Item Response Theory (IRT), tak średnich, mimo że osiągnęli wyższe wyniki
aby średnia była równa 500 punktów i od- niż średnia międzynarodowa, to ich umiejęt-
powiadała średniej wszystkich krajów, które ności były znacznie niższe niż umiejętności
spełniły wymogi dotyczące poziomu reali- studentów wiodących krajów: Rosji, Tajwanu
zacji badania, a 100 punktów odpowiadało i Singapuru. Wyniki polskich studentów nale-
wartości odchylenia standardowego. żały też do najbardziej zróżnicowanych; część
badanych osiągnęła bardzo wysokie wyniki,
Wśród przyszłych nauczycieli nauczania ale co czwarty student posiadał umiejętności
wczesnoszkolnego najlepsze wyniki osiągnęli poniżej średniej międzynarodowej.
studenci z Rosji i Szwajcarii, natomiast wy-
niki polskich przyszłych nauczycieli klas 1 3, Warto nadmienić, że w ramach kontynu-
zarówno w zakresie matematyki, jak i dydak- owania badań TEDS-M, przeprowadzono
tyki matematyki należały do najniższych spo- w Niemczech badania pod nazwą TEDS-FU,
śród wszystkich badanych państw. W grupie których celem było określenie skuteczności
przyszłych nauczycieli szkół podstawowych, kształcenia nauczycieli. Badaniem zostały ob-
specjalistów z matematyki, najlepsze wyniki jęte osoby, które uczestniczyły w badaniach
osiągnęli studenci z Polski i Singapuru. Na- TEDS-M i po ukończeniu studiów podjęły
tomiast polscy studenci matematyki, którzy pracę w szkole. Dążono m.in. do uzyskania
Czajkowska
80
odpowiedzi na następujące pytania badawcze: uczniowskich i ich przyczynach, a także
Czy kompetencje nauczycieli ujawnione w ba- sposobach rozumowania i tworzenia stra-
daniu TEDS-M są trwałe? Jakie uwarunkowa- tegii rozwiązywania zadań przez uczniów
nia szkolne sprzyjajÄ… rozwojowi kompetencji (knowledge of students and content). Za-
młodych nauczycieli? W jaki sposób zmierzyć dania zostały zamieszczone w trzech ro-
sukcesy zawodowe nauczycieli po trzech la- dzajach zeszytów testowych, przy czym
tach pracy? Czy istnieje związek między wy- autorzy starali się, aby w każdym z nich
nikami w badaniu TEDS-M a sukcesami za- znalazła się porównywalna liczba zadań
wodowymi nauczycieli? każdego typu, a testy nie różniły się mię-
dzy sobą stopniem trudności. Każdy ro-
Badania kompetencyjne czynnych dzaj zeszytu testowego składał się z około
nauczycieli matematyki siedmiu tematów i 11 15 zadań. Przykła-
dowe zadania zamieszczono poniżej (Hill,
Badania dotyczÄ…ce kompetencji nauczycieli Schilling i Ball, 2004, s. 29).
matematyki prowadzone na świecie w ubie-
głym stuleciu miały najczęściej formę stu- Przykład 4
dium przypadku. Uzyskanych wyników nie
można było uogólniać, ani wnioskować z nich 1. Pewnego poranka Allen, kiedy przygoto-
o kompetencjach tej grupy zawodowej. Nie wywał się do prowadzenia lekcji, poczuł
prowadzono natomiast badań ilościowych, się nieco zdezorientowany. Kiedy zdał so-
których celem byłoby zdiagnozowanie kom- bie sprawę, że dziesięć do potęgi drugiej
petencji czynnych nauczycieli matematyki. jest równe sto (102 = 100), wtedy zaczął się
Zasadniczym powodem był brak narzędzia, zastanawiać, do której potęgi należy pod-
które pozwoliłoby na rzetelną ocenę tych nieść liczbę 10, aby otrzymać 1. Zapytał
kompetencji. Jednak wzrost zainteresowania Berry mieszkajÄ…cÄ… obok. Co powinna mu
jakością edukacji matematycznej w ostatnim odpowiedzieć? Proszę zaznaczyć znakiem
dziesięcioleciu i czynników wpływających na (X) jedną odpowiedz
.
tę jakość spowodował podjęcie pionierskich a) 0
prób zbadania kompetencji matematycznych b) 1
i dydaktycznych ogółu nauczycieli matema- c) Nie można podnieść liczby dziesięć do
tyki. Najczęściej badania te były przeprowa- żadnej potęgi, tak aby wynik był równy 1.
dzane w kontekście wpływu kompetencji d) -1
nauczycieli na osiągnięcia uczniów (Ball, Tha- e) Nie jestem pewna.
mes i Phelps, 2008; Baumert i in., 2010; Hill,
Schilling i Ball, 2004; Hill i Lubienski, 2007). 2. Wyobraz
sobie, że pracujesz ze swoją kla-
są nad mnożeniem dużych liczb. Zauwa-
Jednym z pierwszych badań kompetencyj- żasz, że niektórzy uczniowie wykonali
nych nauczycieli matematyki było badanie mnożenie następująco:
przeprowadzone w Kalifornii (Hill, Schil-
ling i Ball, 2004). Każde z użytych w nim
Uczeń A Uczeń B Uczeń C
zadań zostało scharakteryzowane w dwóch
obszarach. Pierwszy dotyczył dziedziny
matematyki (content area): liczb, działań,
wzorów, funkcji, algebry, drugi  znajo-
mości treści matematycznych (knowledge
of content) lub wiedzy o typowych błędach
Pomiar kompetencji nauczycieli matematyki
81
Którzy uczniowie, Twoim zdaniem, zasto- Którzy uczniowie popełniają ten sam rodzaj
sowali metodę, która może zostać użyta do błędu? Zaznacz jedną odpowiedz
.
mnożenia każdych dwóch liczb całkowitych? a) I i II;
b) I i III;
Metoda Metoda nie
c) II i III;
może zostać może zostać
d) I, II i III.
użyta do użyta do Nie jestem
Metoda mnożenia mnożenia pewien/
Badanie przeprowadzono we współpracy
każdych każdych pewna
z California s Mathematics Professional Deve-
dwóch liczb dwóch liczb
całkowitych całkowitych lopment Institutes (MPDIs), który organizo-
wał letnie zajęcia mające na celu podniesienie
A oð oð oð
wiedzy matematycznej nauczycieli. Badani
B oð oð oð
zostali wybrani spośród nauczycieli szkół
C oð oð oð
podstawowych, słuchaczy MPDIs, zgodnie
3. Pan Fitzgerald pomaga swoim uczniom z kryterium, jakim był udział w określonych
porównywać ułamki dziesiętne. Obec- zajęciach. Do analizy wyników użyto metody
nie stara się wymyśleć zadanie, które IRT. Badanie wykazało, że na kompetencje
pozwoli mu sprawdzić, czy jego ucznio- nauczycieli matematyki ma wpływ znajomość
wie potrafią poprawnie ustawić ułamki specjalistycznej wiedzy, a nie tylko ogólna in-
w kolejności rosnącej. Który z poniż- teligencja, zdolności matematyczne czy zdol-
szych zestawów liczb będzie najlepszy ności pedagogiczne. Na tę specjalistyczną
w tym celu? wiedzę składa się kilka elementów, m.in. zna-
jomość konkretnych treści matematycznych,
A 0,5 7 0,01 11,4
ich reprezentacji, umiejętność analizowania
B 0,60 2,53 3,14 0,45
nietypowych rozwiązań zadań i algorytmów,
C 0,6 4,25 0,565 2,5
umiejętność wyjaśniania, prezentowania tre-
D Każdy z tych zestawów jest dobry w tym
ści matematycznych. Sama znajomość szkol-
celu. Wszystkie wymagają od uczniów
nej matematyki nie jest wystarczajÄ…ca. Nie
odczytywania i rozumienia ułamków
wystarczy również rozległa wiedza matema-
dziesiętnych.
tyczna. Badanie ujawniło, że na kompetencje
4. Pani Jackson przygotowuje się do egzami- nauczycieli ma wpływ dobra znajomość ma-
nu i planuje minilekcje skoncentrowane tematyki, przy czym nie ma wpływu to, jak
na trudnościach, które uczniowie mają dużo dana osoba wie, tylko jak korzysta z po-
z dodawaniem liczb sposobem pisem- siadanej wiedzy matematycznej, czy rozumie
nym. Aby jej wskazówki były bardziej jej sens, czy potrafi stworzyć jej praktyczną
efektywne, zamierza pracować z grupami reprezentację. Badanie jednak miało charak-
uczniów, którzy popełniają ten sam rodzaj ter pilotażowy, próba nie była losowa, więc, jak
błędu. Przegląda więc ostatni sprawdzian, piszą sami autorzy (Hill, Schilling i Ball, 2004),
aby zobaczyć, z czym mają oni trudności. jego wyniki należy traktować jako wstępne,
Zobaczyła następujące trzy błędy ucz- które wymagają dalszego sprawdzania.
niowskie:
Innym badaniem kompetencji nauczycieli
matematyki, przeprowadzonym na dużą
skalę, było badanie COACTIV (Professional
Competence of Teachers, Cognitively Activating
Instruction, and the Development of Students
Czajkowska
82
Mathematical Literacy). Zostało przeprowa- pach test był praktycznie nierozwiązywalny
Zostało przeprowa-
dzone w latach 2003 2004 z inicjatywy Ger- (Baumert i in., 2010). Część testu dotycząca
man Research Foundation w Niemczech jako wiedzy i umiejętności matematycznych na-
rozszerzenie badania PISA (Baumert i in., uczycieli składała się z 13 zadań obejmujących
2010; Krauss i in., 2008). Jego celem było okre- arytmetykę, algebrę, geometrię, funkcje i ra-
ślenie, w jakim stopniu kompetencje meryto- chunek prawdopodobieństwa. Natomiast każ-
ryczne (matematyczne) i dydaktyczne nauczy- de z zadań mierzących kompetencje dydak-
cieli mają wpływ na wyniki procesu uczenia tyczne nauczycieli zostało zakwalifikowane do
się  nauczania. Badaniem została objęta re- jednego z trzech obszarów: zadania, uczniowie,
prezentatywna próba klas uczniów piętnasto- nauczanie. Zadania pierwszej grupy dotyczyły
letnich (klasy 10) i ich nauczycieli matematy- różnych sposobów rozwiązywania zadań ma-
ki. Do badania kompetencji matematycznych tematycznych. Zadania z obszaru  uczniowie
i dydaktycznych nauczycieli użyto specjalnie kontrolowały umiejętności rozpoznawania ro-
skonstruowanego testu. Każde z zadań zostało zumowania i myślenia uczniów, przewidywa-
najpierw przetestowane w wywiadach indywi- nia trudności, jakie mogą oni napotkać, a także
dualnych i w pilotażu. Badaniu poddano rów- przewidywania typowych błędów uczniow-
nież cały test pod kątem jego właściwości psy- skich. Ostatnią grupę ( nauczanie ) tworzyły
chometrycznych i czasu potrzebnego na jego zadania mierzące umiejętności przedstawia-
rozwiązanie. Aby mieć pewność, że zadania nia, reprezentowania i wyjaśniania określo-
mierzą specjalistyczną wiedzę nauczycieli ma- nych treści matematycznych. Wszystkie zada-
tematyki, narzędzie przetestowano także na nia były zadaniami otwartymi. W trakcie ich
grupie uczniów szkół średnich, pobierających rozwiązywania zabronione było korzystanie
zaawansowany kurs matematyki i na gru- z kalkulatora (Baumert i in., 2010). Poniżej po-
pie nauczycieli nauk przyrodniczych, którzy dano przykłady zadań występujących w teście
nie studiowali matematyki. W obu tych gru- wraz z przykładami poprawnych odpowiedzi.
Przykład 5
Przykład 5
Rodzaj
Przykład 5
Rodzaj badanych
badanych Zadanie Przykłady poprawnych odpowiedzi
Zadanie Przykłady poprawnych odpowiedzi
kompetencji
Rodzaj badanych
kompetencji
Zadanie Przykłady poprawnych odpowiedzi
Kompetencje Czy prawdą jest, że: Niech 0,999& =a.
kompetencji
Kompetencje Czy prawdą jest, że: Niech 0,999& =a.
matematyczne 0,999999 . . . = 1? Wtedy 10a=9,99& , stÄ…d
matematyczne 0,999999 . . . = 1? Wtedy 10a=9,99& , stÄ…d
Kompetencje Czy prawdą jest, że: Niech 0,999& =a.
Odpowiedz
proszę uzasadnić.
Odpowiedz
proszÄ™ uzasadnić. żÿżÿżÿżÿżÿ = 9,99 & - żÿżÿżÿżÿżÿ
105ØNÜ - 5ØNÜ Å¼ÿżÿżÿżÿ
matematyczne 0,999999 . . . = 1? Wtedy 10a=9,99& , stÄ…d żÿżÿ0,999 &
żÿ
Odpowiedz
proszÄ™ uzasadnić. żÿżÿżÿżÿ-żÿ = 9,99 & - 0,999 &
105ØNÜ Å¼ÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿ
żÿżÿ5ØNÜ
Zatem a=1, czyli stwierdzenie jest
Zatem a=1, czyli stwierdzenie jest prawdziwe.
żÿżÿ żÿ
prawdziwe.
Zatem a=1, czyli stwierdzenie jest
Kompetencje Jak zmieni siÄ™ pole kwadratu, RozwiÄ…zanie algebraiczne:
Kompetencje Jak zmieni się pole kwadratu, jeśli Rozwiązanie algebraiczne:
prawdziwe.
dydaktdydaktyczne: długość boku zwiększymy Pole wyjściowego kwadratu: a2 .
yczne: jeÅ›li dÅ‚ugość boku zwiÄ™kszymy Pole wyjÅ›ciowego kwadratu: 5ØNÜżÿ.
Kompetencje Jak zmieni się pole kwadratu, jeśli Rozwiązanie algebraiczne:
zadania trzykrotnie? Przedstaw swoje Pole nowego kwadratu jest zatem równe:
zadania trzykrotnie? Przedstaw swoje Pole nowego kwadratu jest zatem równe:
dydaktyczne: dÅ‚ugość boku zwiÄ™kszymy Pole wyjÅ›ciowego kwadratu: 5ØNÜżÿ.
żÿ
rozumowanie. (35ØNÜ)żÿ = 2
rozumowanie. (3a)2 = 9a95ØNÜ , tzn. ma pole 9 razy wiÄ™ksze
, tzn. ma pole 9 razy większe od pola
zadania trzykrotnie? Przedstaw swoje Pole nowego kwadratu jest zatem równe:
od pola wyjściowego kwadratu.
rozumowanie. (35ØNÜ)żÿ = 95ØNÜżÿ, tzn. ma pole 9 razy wiÄ™ksze
Proszę przedstawić kilka wyjściowego kwadratu.
Proszę przedstawić kilka możliwych
możliwych sposobów rozwiązania od pola wyjściowego kwadratu.
Proszę przedstawić kilka
RozwiÄ…zanie geometryczne:
sposobów rozwiązania tego
tego problemu (i różne
możliwych sposobów rozwiązania Rozwiązanie geometryczne:
Dziewięć razy większe od pola
problemu (i różne rozumowania). Rozwiązanie geometryczne:
rozumowania).
tego problemu (i różne
Dziewięć razy większe od pola wyjściowego
wyjściowego kwadratu:
Dziewięć razy większe od pola
rozumowania).
kwadratu:
wyjściowego kwadratu:
a 3a
a 3a
Kompetencje Pole równoległoboku można
dydaktyczne: obliczyć, mnożąc długość
Kompetencje Pole równoległoboku można
uczniowie podstawy przez jego wysokość.
dydaktyczne: obliczyć, mnożąc długość
uczniowie podstawy przez jego wysokość.
wysokość
Uwaga: w odpowiedzi nauczyciela
wysokość kluczowe jest to, aby wysokość
matematyczne 0,999999 . . . = 1? Wtedy 10a=9,99& , stÄ…d
kompetencji
Odpowiedz
proszÄ™ uzasadnić. żÿżÿżÿżÿżÿ = 9,99 & - 0,999 &
105ØNÜ - 5ØNÜ Å¼ÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿ
Kompetencje Czy prawdą jest, że: Niech 0,999& =a.
Kompetencje Czy prawdą jest, że: Niech 0,999& =a.
żÿżÿ żÿ
matematyczne 0,999999 . . . = 1? Wtedy 10a=9,99& , stÄ…d
matematyczne 0,999999 . . . = 1? Zatem a=1, czyli stwierdzenie jest
Odpowiedz
proszÄ™ uzasadnić. żÿżÿżÿżÿżÿ = 9,99 & - 0,999 &
105ØNÜ -Wtedy 10a=9,99& , stÄ…d
5ØNÜ Å¼ÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿ
Odpowiedz
proszę uzasadnić. prawdziwe.
105ØNÜ - 5ØNÜ Å¼ÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿżÿ
żÿżÿżÿżÿżÿ = 9,99 & - 0,999 &
żÿżÿ żÿ
żÿżÿ żÿ
Kompetencje Jak zmieni się pole kwadratu, jeśli Rozwiązanie algebraiczne:
Zatem a=1, czyli stwierdzenie jest
Zatem a=1, czyli stwierdzenie jest
dydaktyczne: dÅ‚ugość boku zwiÄ™kszymy Pole wyjÅ›ciowego kwadratu: 5ØNÜżÿ.
prawdziwe.
prawdziwe.
trzykrotnie? Przedstaw swoje Pole nowego kwadratu jest zatem równe:
Kompetencje zadania
Jak zmieni się pole kwadratu, jeśli Rozwiązanie algebraiczne:
rozumowanie. (35ØNÜ)żÿ = 95ØNÜżÿ, tzn. ma pole 9 razy wiÄ™ksze
dydaktyczne: Kompetencje Jak zmieni się pole kwadratu, jeśli Rozwiązanie algebraiczne:
dÅ‚ugość boku zwiÄ™kszymy Pole wyjÅ›ciowego kwadratu: 5ØNÜżÿ.
dydaktyczne: dÅ‚ugość boku zwiÄ™kszymy Pole wyjÅ›ciowego kwadratu: 5ØNÜżÿ.
od pola wyjściowego kwadratu.
zadania trzykrotnie? Przedstaw swoje Pole nowego kwadratu jest zatem równe:
Proszę przedstawić kilka
zadania trzykrotnie? Przedstaw swoje Pole nowego kwadratu jest zatem równe:
rozumowanie. (35ØNÜ)żÿ = 95ØNÜżÿ, tzn. ma pole 9 razy wiÄ™ksze
możliwych sposobów rozwiązania
rozumowanie. (35ØNÜ)żÿ = 95ØNÜżÿ, tzn. ma pole 9 razy wiÄ™ksze
RozwiÄ…zanie geometryczne:
tego problemu (i różne od pola wyjściowego kwadratu.
Proszę przedstawić kilka
od pola wyjściowego kwadratu.
Dziewięć razy większe od pola
Proszę przedstawić kilka
rozumowania).
możliwych sposobów rozwiązania
wyjściowego kwadratu:
RozwiÄ…zanie geometryczne:
możliwych sposobów rozwiązania
tego problemu (i różne
RozwiÄ…zanie geometryczne:
tego problemu (i różne Dziewięć razy większe od pola
rozumowania).
Dziewięć razy większe od pola
Pomiar kompetencji nauczycieli matematyki
rozumowania). wyjściowego kwadratu:
a 3a
83
wyjściowego kwadratu:
a 3a
Kompetencje Pole równoległoboku można a 3a
Kompetencje Pole równoległoboku można
dydaktyczne: obliczyć, mnożąc długość
dydaktyczne: obliczyć, mnożąc długość jego
Kompetencje uczniowie podstawy przez jego wysokość.
Pole równoległoboku można
uczniowie podstawy i wysokość opuszczoną
dydaktyczne: Kompetencje Pole równoległoboku można
obliczyć, mnożąc długość
na tÄ™ podstawÄ™.
dydaktyczne: obliczyć, mnożąc długość
uczniowie podstawy przez jego wysokość.
uczniowie podstawy przez jego wysokość.
wysokość
Uwaga: w odpowiedzi nauczyciela
Uwaga: w odpowiedzi nauczyciela kluczowe
kluczowe jest to, aby wysokość
wysokość
 wychodziła poza narysowany
Uwaga: w odpowiedzi nauczyciela
jest to, aby wysokość  wychodziła poza
wysokość
Uwaga: w odpowiedzi nauczyciela
równoległobok.
kluczowe jest to, aby wysokość
narysowany równoległobok.
podstawa
kluczowe jest to, aby wysokość
 wychodziła poza narysowany
 wychodziła poza narysowany
Proszę podać przykład
równoległobok.
równoległobok.
podstawa
równoległoboku, w którym
podstawa
uczniowie mogą napotkać
Proszę podać przykład
Proszę podać przykład
Proszę podać przykład
trudności z zastosowaniem tej
równoległoboku, w którym
równoległoboku, w którym
formuły.
równoległoboku, w którym
uczniowie mogą napotkać
uczniowie mogą napotkać
Kompetencje Uczeń mówi: nie rozumiem Chociaż  stałość zasady nie jest dowodem
trudności z zastosowaniem tej
uczniowie mogą napotkać trudności
trudności z zastosowaniem tej
dydaktyczne: dlaczego (-1) " (-1) = 1 tego faktu, to może być wykorzystana do
formuły.
z zastosowaniem tej formuły.
logicznego wyjaśnienia mnożenia liczb
Kompetencje nauczanie formuły.
Uczeń mówi: nie rozumiem Chociaż  stałość zasady nie jest dowodem
Kompetencje Uczeń mówi: nie rozumiem Chociaż  stałość zasady nie jest dowodem tego
Proszę podać kilka różnych ujemnych, a tym samym sprzyjać jego
dydaktyczne: Kompetencje Uczeń mówi: nie rozumiem Chociaż  stałość zasady nie jest dowodem
dlaczego (-1) " (-1) = 1 tego faktu, to może być wykorzystana do
dydaktyczne: dlaczego (-1) " (-1) = 1 tego faktu, to może być wykorzystana do
dydaktyczne: dlaczego (-1) " (-1) = 1 faktu, to może być wykorzystana do logicznego
sposobów wyjaśnienia tego faktu rozumieniu:
nauczanie logicznego wyjaśnienia mnożenia liczb
nauczanie swoim uczniom. logicznego wyjaśnienia mnożenia liczb
nauczanie Proszę podać kilka różnych ujemnych, a tym samym sprzyjać jego
wyjaśnienia mnożenia liczb ujemnych, a tym
3 " ( 1) =  3
Proszę podać kilka różnych ujemnych, a tym samym sprzyjać jego
Proszę podać kilka różnych samym sprzyjać jego rozumieniu:
sposobów wyjaśnienia tego faktu rozumieniu:
2 " ( 1) =  2
sposobów wyjaśnienia tego faktu rozumieniu:
-1 +1
swoim uczniom.
sposobów wyjaśnienia tego faktu
1 " ( 1) =  1
3 " ( 1) =  3
swoim uczniom.
3 " ( 1) =  3
swoim uczniom.
0 " ( 1) = 0
2 " ( 1) =  2
-1 +1
2 " ( 1) =  2
( 1) " ( 1) = 1
1 " ( 1) =  1
-1 +1
1 " ( 1) =  1
( 2) " ( 1) = 2
0 " ( 1) = 0
( 1) " ( 1) = 1 0 " ( 1) = 0
( 2) " ( 1) = 2 ( 1) " ( 1) = 1
( 2) " ( 1) = 2 14
14
14
y
ródło: opracowanie i tłumaczenie własne na podstawie Baumert i in. (2010), s. 169.
Rozwiązanie każdego z zadań było oce- demickie wykształcenie i byli specjalistami
niane niezależnie przez dwóch, specjalnie w zakresie matematyki. Natomiast wyni-
wyszkolonych koderów. Podobnie jak w ba- ki nauczycieli, którzy nie legitymowali się
daniach TEDS-M i PISA do oceny zadań za- wyższym wykształceniem lub ukończyli
stosowano kodowanie dwucyfrowe. Pierw- kurs nauczania zintegrowanego w byłej Nie-
sza cyfra kodu wskazywała na poprawność mieckiej Republice Demokratycznej, były
rozwiązania (całkowicie poprawne, częścio- znacznie niższe. Również w obszarze kom-
wo poprawne, niepoprawne), druga na spo- petencji dydaktycznych nauczyciele posia-
sób rozwiązania zadania. Analizie poddano dający wyższe matematyczne wykształcenie
też zadania, które nauczyciele samodziel- okazali się lepsi od nauczycieli dwóch pozo-
nie przygotowali do kontrolowania wiedzy stałych grup, jednak tu różnice nie były aż
i umiejętności swoich uczniów. Średnio tak znaczące, jak w przypadku kompetencji
każdy z badanych przygotował 53 zadania. matematycznych.
Badanie ujawniło duże zróżnicowanie na- Celem badania COACTIV było również usta-
uczycieli pod względem posiadanych kom- lenie, które kompetencje: matematyczne czy
petencji matematycznych. Wysokie wyniki dydaktyczne mają większy wpływ na umiejęt-
uzyskali nauczyciele, którzy odebrali aka- ności matematyczne uczniów. Przyjęto założe-
Czajkowska
84
nie, że nie jest możliwe posiadanie kompeten- ankietowych nie uwzględniają kontekstu
cji dydaktycznych bez posiadania kompetencji i złożoności sytuacji pojawiających się na
matematycznych na odpowiednim poziomie, lekcjach matematyki. Dlatego do badań
ale kompetencje matematyczne nie mogą za- użyto dziesięciu nagrań, które badani mogli
stąpić kompetencji dydaktycznych i sama oglądać za pomocą interaktywnej platfor-
wiedza matematyczna nie jest wystarczająca, my w internecie. Każdy film trwał od 1 do
aby właściwie planować i realizować proces 3 minut i dotyczył albo indywidualnej pracy
nauczania. Badanie wykazało, że istnieje li- z uczniem, albo sytuacji w klasie w trakcie
niowa zależność pomiędzy kompetencjami lekcji matematyki. Pliki wideo były zróż-
dydaktycznymi nauczycieli a osiągnięciami nicowane pod względem pojawiających się
piętnastolatków. Poziom kompetencji dydak- na nich treści matematycznych (geometria,
tycznych nauczycieli w znacznym stopniu algebra) i stopnia ich złożoności, a także
wyjaśnia poziom wiedzy i umiejętności ucz- złożoności interakcji nauczyciel  uczeń. Do
niów. Wysokie kompetencje dydaktyczne są każdego filmu były dołączone informacje
szczególnie ważne w pracy z uczniami mają- dodatkowe o lekcji. Zadaniem nauczycieli
cymi trudności w nauce matematyki. Nato- było obejrzenie wszystkich filmów, a na-
miast kompetencje matematyczne nauczycieli stępnie udzielenie odpowiedzi na pytania
nie mają znaczącego wpływu na osiągnięcia dotyczące obserwowanych lekcji i napisanie
uczniów. Nauczyciele o wysokich wynikach własnego komentarza. Odpowiedzi zostały
w obszarze kompetencji matematycznych nie przeanalizowane pod kątem umiejętności
potrafili udzielać właściwego wsparcia ucz- nauczycielskich, takich jak rozpoznawanie
niom mającym trudności w nauce i aktywi- kluczowych momentów lekcji, treści ma-
zować ich do nauki matematyki. Nie oznacza tematycznych, oceny działań nauczyciela.
to jednak, że kompetencje matematyczne nie Do badania kompetencji matematycznych
mają żadnego znaczenia dla nauczania. Oso- nauczycieli zastosowano test składający się
by o wysokich kompetencjach matematycz- z 32 pytań wielokrotnego wyboru. Ich treść
nych lepiej dostrzegały powiązania między matematyczna była ściśle powiązana ze
treściami i dobierały materiał nauczania szkolną matematyką. Odpowiedzi nauczy-
(w tym zadania) pod kątem realizacji pro- cieli zostały ocenione przez specjalistów
gramu i stawianych celów edukacyjnych. Co  wykładowców uniwersyteckich. Uzupeł-
więcej, badanie ujawniło, że deficyty w wie- nieniem tych metod była ankieta, w której
dzy i umiejętnościach matematycznych na- pytano nauczycieli o ich wykształcenie, roz-
uczycieli hamują i blokują rozwój ich umie- wój zawodowy, doświadczenie zawodowe,
jętności dydaktycznych (Baumert i in., 2010; a także o to, jak często w swojej pracy np.
Krauss i in., 2008). zachęcają uczniów do rozwiązywania zadań
nietypowymi, nieznanymi metodami. In-
Inne interesujące badanie, w którym jednak teresującym, a jednocześnie zaskakującym
nie sprawdzano bezpośrednio kompetencji wynikiem opisanych badań jest to, że często
nauczycieli, tylko narzędzia do mierzenia stosowane wskaz
niki kompetencji nauczy-
kompetencji nauczycieli matematyki, opi- cieli, takie jak: staż pracy, stopień awansu
sano w artykule Nicole Kersting (2008). zawodowego czy stopień ukończonych
Wzięło w nich udział 62 nauczycieli ma- studiów (licencjat, magisterium) nie miały
tematyki o różnym stażu pracy i różnych istotnego związku z wynikami nauczycieli,
kwalifikacjach nauczycielskich. Autorzy uzyskanymi z oceny sytuacji dydaktycz-
badań wyszli z założenia, że dotychcza- nych przedstawionych na filmach, ani te-
sowe narzędzia badawcze w postaci pytań stu mierzącego wiedzę matematyczną.
Pomiar kompetencji nauczycieli matematyki
85
W 2008 roku z inicjatywy OECD po raz Czasami były częścią szerszych badań
pierwszy przeprowadzono międzynaro- dotyczących różnych aspektów pracy na-
dowe badanie nauczycieli TALIS (Tea- uczycieli (Grzęda, 2009). Poniżej zostaną
ching and Learning International Survey). krótko omówione dwa badania. Pierwsze
Chociaż nie było to badanie sprawdzają- przeprowadzone zostało w ramach pro-
ce kompetencje i obejmowało nauczycieli jektu TEDS-M. Drugie objęło nauczycieli
różnych przedmiotów, warto o nim wspo- wychowania przedszkolnego i edukacji
mnieć, ponieważ pozwoliło na porównanie wczesnoszkolnej, którzy również zajmują
warunków pracy i poglądów nauczycieli się edukacją matematyczną.
o szeroko pojętym środowisku szkolnym
w różnych państwach. Głównym jego ce- Badanie w ramach projektu TEDS-M ob-
lem było dostarczenie informacji społecz- jęło 1076 nauczycieli matematyki uczących
no-demograficznych o badanych nauczy- w szkołach podstawowych (39%) i w gim-
cielach, a także informacji dotyczących nazjach (61%) (Grzęda, 2009). Głównym
m.in. rozwoju zawodowego nauczycieli, ich celem była wszechstronna charakterystyka
przekonań o nauczaniu, praktyce pedago- tej grupy zawodowej poprzez opisanie jej
gicznej, roli i mechanizmie funkcjonowa- kluczowych aspektów, takich jak: droga do
nia przywództwa szkolnego. Uczestniczyło zawodu nauczyciela, czas poświęcany na
w nim około 73 500 nauczycieli gimnazjów obowiązki zawodowe, ścieżki awansu, spo-
i uczniów klas 7 9 (w Polsce 3100) z 24 kra- soby prowadzenia lekcji, warunki pracy.
jów (Piwowarski i Krawczyk, 2009). Należy Zwrócono w nim uwagę na poznanie moty-
jednak podkreślić, że TALIS było bada- wów wyboru zawodu, ocenę merytoryczną
niem ankietowym, a zatem jego wyniki przygotowania do wykonywania zawodu,
prezentujÄ… jedynie opinie, poglÄ…dy i prze- poznanie metod prowadzenia lekcji i ich
konania nauczycieli. skuteczności, problemów w pracy z ucz-
niami, poznanie poglądów na temat istoty
Badania w Polsce matematyki i zdolności matematycznych
uczniów. W opinii badanych nauczycieli
W Polsce przeprowadzono bardzo niewiele zdecydowanie najlepiej byli oni przygoto-
badań dotyczących kompetencji nauczy- wani do wykonywania zawodu nauczyciela
cieli, a w szczególności nauczycieli mate- matematyki pod względem wiedzy mate-
matyki. Zazwyczaj były to badania sonda- matycznej, umiejętności rozwijania rozu-
żowe, których celem było poznanie opinii mowania matematycznego uczniów oraz
nauczycieli na temat własnych umiejętno- umiejętności planowania lekcji. Natomiast
ści. Badani odpowiadali na wiele pytań an- czuli się znacznie gorzej przygotowani pod
kietowych, dokonując samooceny. Wyniki względem kompetencji interpersonalnych
miały zatem charakter deklaratywny i nie (umiejętności komunikowania się z rodzi-
świadczyły o rzeczywistych kompeten- cami i wciągania ich do współpracy, umie-
cjach nauczycieli. Dotychczasowe badania jętności kierowania klasą i rozwiązywania
koncentrowały się głównie na rozpoznaniu problemów związanych z zachowaniem ucz-
poziomu kwalifikacji i kompetencji diag- niów) i pracy z uczniem mającym trudności
nostycznych, organizacyjnych, metodycz- w nauce. Mimo że nauczyciele nie odczuwa-
nych i informatycznych ogółu nauczycieli li większych trudności z nauczaniem treści
lub nauczycieli określonych przedmiotów występujących w programach nauczania,
(Raport& , 2010; Sałata, 2007), znacznie to jednak zauważali, że rozwijanie takich
rzadziej merytorycznych (Grzęda, 2009). umiejętności, jak: rozumienie i interpreta-
Czajkowska
86
cja pojęć matematycznych, modelowanie formułowania wniosków i zaleceń do dal-
matematyczne oraz wyciąganie wniosków szej pracy, komunikowania wyników diag-
z kilku informacji podanych w różnej po- nozy, identyfikowania deficytów rozwojo-
staci, jest stosunkowo trudne. Należy zwró- wych i przyczyn trudności w uczeniu się.
cić uwagę, że na te problemy dydaktyczne Badani potrzebują wsparcia w nabywaniu
zwracali uwagę nauczyciele starsi i o więk- umiejętności rozwiązywania konfliktów
szym stażu zawodowym (Grzęda, 2009). z rodzicami, opracowania indywidualnego
planu pracy z dzieckiem oraz modyfikacji
W 2010 r. Mazowiecki Zespół ds. Systemowe- programu opiekuńczo-wychowawczego.
go Badania Potrzeb Doskonalenia Nauczycieli W opinii nauczycieli posiadajÄ… oni wyso-
na zlecenie Mazowieckiego Kuratora Oświaty kie kompetencje metodyczne i doskonale
przeprowadził badanie kompetencji nauczy- radzą sobie z planowaniem procesu kształ-
cieli wychowania przedszkolnego i edukacji cenia (wybór programu nauczania, w tym
wczesnoszkolnej. Jego celem było rozpozna- podręcznika i kart pracy), przygotowaniem
nie poziomu kwalifikacji i kompetencji diag- się do zajęć (analiza materiału kształcenia,
nostycznych, organizacyjnych, metodycznych operacjonalizacja celów kształcenia, różni-
i informatycznych nauczycieli wychowania cowanie poziomów wymagań, dobór metod
przedszkolnego i edukacji wczesnoszkolnej, nauczania, wybór środków dydaktycznych)
niezbędnych do wykonywania zadań wy- oraz realizacją procesu dydaktycznego
nikajÄ…cych z nowej podstawy programowej, wybranymi metodami, z wykorzystaniem
a także warunków, w jakich odbywa się rea- odpowiednich środków dydaktycznych.
lizacja nowej podstawy programowej oraz zi- DeklarujÄ… natomiast potrzebÄ™ wsparcia
dentyfikowanie potrzeb tej grupy nauczycieli w zakresie konstruowania i modyfikowa-
w zakresie rozwoju zawodowego. Badaniem nia programów nauczania, a także oceny
zostało objętych 588 nauczycieli i 174 dyrekto- strategii, metod i technik kształcenia oraz
rów przedszkoli i szkół podstawowych na Ma- środków dydaktycznych według kryteriów
zowszu. Główną metodą badawczą był sondaż ich przydatności i skuteczności w przygoto-
diagnostyczny. Podstawową techniką była waniu dziecka do przejścia od wychowania
interaktywna ankieta wypełniana przez na- przedszkolnego do nauczania szkolnego,
uczycieli. Składała się z 25 pytań (w większo- a następnie przedmiotowego.
ści zamkniętych), które zostały pogrupowane
w bloki tematyczne. Uzupełniającą techniką Należy jednak ponownie zwrócić uwagę, że
badawczą był wywiad grupowy prowadzony badanie miało charakter sondażowy, a za-
z dyrektorami wylosowanych placówek. tem jego wyniki odnoszą się jedynie do de-
klaracji i przekonań nauczycielskich o włas-
Z badań tych wynika, że w opinii nauczy- nych kompetencjach, co może, ale nie musi,
cieli najbardziej potrzebują oni wsparcia być odzwierciedleniem faktycznych kompe-
w zakresie organizacji współpracy z rodzi- tencji nauczycielskich.
cami, a także rozwoju umiejętności orga-
nizacyjnych i związanych z posługiwaniem Podsumowanie
siÄ™ technologiami informacyjno-komuni-
kacyjnymi. Odczuwają potrzebę dalszego W ostatnim dwudziestoleciu w wielu pań-
doskonalenia umiejętności poznawania stwach edukacja stała się przedmiotem
oraz zbierania informacji o dziecku, jego szczególnej troski. Przeprowadzone dotych-
rodzinie i środowisku, w szczególności czas badania wyraz
nie wskazywały, że na
w zakresie tworzenia narzędzi do diagnozy, osiągnięcia uczniów mają wpływ kompeten-
Pomiar kompetencji nauczycieli matematyki
87
cje nauczycieli. Jednak badań, których celem Literatura
byłaby diagnoza kompetencji nauczycieli,
przeprowadzono niewiele. JednÄ… z przyczyn Ball, D. L. (1990). The mathematical understan-
jest to, że nie wypracowano takich narzędzi, dings that prospective teachers bring to teacher
które w jednoznaczny sposób pozwalałyby education. The Elementary School Journal, 90(4),
wnioskować o kompetencjach nauczycie- 449 466.
li. Ankiety i testy tylko w pewnym stopniu Ball, D. L., Thames, M. H. i Phelps, G. (2008). Con-
umożliwiają określenie ich poziomu wie- tent knowledge for teaching. Journal of Teacher
dzy i umiejętności, nie uwzględniają jednak Education, 59(5), 389 407.
kontekstu i złożoności sytuacji pojawiają- Baumert, J., Kunter, M., Blum, W., Brunner, M.,
cych siÄ™ na lekcjach. Ponadto kompetencje Voss, T., Jordan, A., Klusmann, U., Krauss, S.,
nauczycieli dotyczą bardzo wielu obszarów. Neubrand M. i Tsai, Y. (2010). Teachers math-
W badaniach zazwyczaj nie mierzono ogółu ematical knowledge, cognitive activation in the
kompetencji nauczycielskich, tylko wybrane. classroom and student progress. American Edu-
Dlatego przedstawiając wyniki tych badań, cational Research Journal, 47(1), 133 180.
nie należy mówić o ogólnych kompetencjach Borko, H., Eisenhart, M., Brown, C., Under-
nauczycieli, ale o ich kompetencjach z dane- hill, R., Jones, D. i Agard, P. (1992). Learning
go obszaru. Należy również uwzględnić fakt, to teach hard mathematics: do novice teachers
że kompetencje z różnych obszarów łączą się and their instructors give up too easily? Jour-
ze sobÄ… i wzajemnie przenikajÄ…, zatem poja- nal for Research in Mathematics Education,
wia siÄ™ problem zbadania ich wzajemnych 23(3), 194 222.
powiązań i wpływu na proces nauczania. Na Davis, B. (2011). Mathematics teachers subtle, com-
przykład z dotychczasowych ustaleń wynika plex disciplinary knowledge. Educationforum. Po-
jednoznacznie, że kompetencje matematycz- brano z: www.sciencemag.org
ne i dydaktyczne są ze sobą powiązane, ale Dylak, S. (1995). Wizualizacja w kształceniu nauczy-
już nie ma wśród badaczy zgodności co do cieli. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM.
tego, które z nich mają większy wpływ na Even, R. (1993). Subject-matter knowledge and
osiągnięcia uczniów. Kolejną przyczyną nie- pedagogical content knowledge: prospective
wielu badań jest to, że diagnoza kompetencji secondary teachers and the function concept.
nauczycieli jest sprawą  drażliwą . Czasami Journal for Research in Mathematics Education,
nauczyciele traktujÄ… tego typu badania jako 24(2), 94 116.
podważanie ich kompetencji. Niektórzy, jak Hamer, H. (1994). Klucz do efektywności nauczania.
pokazuje pilotaż Badania potrzeb nauczycieli Poradnik dla nauczycieli. Wydawnictwo Veda.
edukacji wczesnoszkolnej i matematyki w za- Hill, H. C., Schilling, S. G. i Ball, D. L. (2004). Develo-
kresie rozwoju zawodowego3, obawiajÄ… siÄ™ ping measures of teachers mathematics knowl-
wskazania niedostatków ich wiedzy i obni- edge for teaching. The Elementary School Journal,
żenia samooceny. Blokady do udziału w tego 105(1), 11 30.
typu przedsięwzięciach są tym większe, im Hill, H. C. i Lubienski S. T. (2007). Teachers mathe-
nauczyciel odczuwa większy lęk przed perso- matics knowledge for teaching and school context.
nalnym ujawnieniem jego wyników i wyni- a study of California teachers. Educational Policy,
kajÄ…cymi z tego konsekwencjami. 21(5), 747 768.
Grzęda, M. (2009). Nauczyciele matematyki w Polsce
 raport z badania TEDS-M. Warszawa: Instytut
3
W kwietniu 2012 r. Instytut Badań Edukacyjnych uru-
Filozofii i Socjologii PAN. Pobrano z: http://www.
chomił pilotaż projektu Badanie potrzeb nauczycieli edu-
ifispan.waw.pl/pliki/raport_z_badania_nauczy-
kacji wczesnoszkolnej i matematyki w zakresie rozwoju za-
cieli.pdf
wodowego. Wyniki pilotażu są obecnie w opracowywaniu.
Czajkowska
88
Kersting, N. (2008). Using video clips of mathema- Sałata, E. (2007). Realizacja kompetencji nauczyciel-
tics classroom instruction as item prompts to me- skich w opinii badanych nauczycieli. W: J. Pavelka
asure teachers knowledge of teaching mathema- (red.), III. InEduTech 2007 Kl Å›%0Å„ové kompetencie
tics. Educational and Psychological Measurement, a technickié vzdelávanie. Presov, 75 80. Pobrano
68(5), 845 861. z: http://www.pulib.sk/elpub2/FHPV/Pavelka2/
Krauss, S., Brunner, M., Kunter, M., Baumert, J., index.html
Blum, W., Neubrand, M. i Jordan, A. (2008). Peda- Sitek, M., Czajkowska, M., Hauzer, M., Jasińska,
gogical content knowledge and content knowl- A., Laskowska, D. i Sikorska J. (2010). Kształcenie
edge of secondary mathematics teachers. Journal nauczycieli w Polsce. Wyniki międzynarodowego
of Educational Psychology, 100(3), 716 725. badania TEDS-M 2008. Warszawa: Instytut Filo-
Kwaśnica, R. (2003). Wprowadzenie do myślenia zofii i Socjologii PAN. Pobrano z: http://www.ifi-
o nauczycielu. W: Z. Kwieciński, B. Śliwerski span.waw.pl/pliki/raport_z_badania_teds-m.pdf
(red.), Pedagogika. Podręcznik akademicki. T. II, Simon, M. A. (1993). Prospective elementary teachers
PWN, Warszawa 2003. knowledge of division. Journal of Research in Math-
Niss, M. (2004). The Danish  KOM project and ematics Education, 24(3), 233 254.
possible consequences for teacher education. Stein, M. K., Baxter, J. A., Leinhardt, G. (1990).
W: R. Strässer, G. Brandell, B. Grevholm i O. He- Subject-matter knowledge and elementary in-
lenius (red.), Educating for the future. Proceedings struction: a case from functions and graphing.
of an international symposium on mathematics American Educational Research Journal, 27(4),
teacher education: preparation of mathematics 639 663.
teachers for the future (s. 179 190). Stockholm: Strykowski, W. (2003). Szkoła współczesna i zacho-
Royal Swedish Academy of Science. dzÄ…ce w niej procesy. W: W. Strykowski, J. Stry-
Piwowarski, R. i Krawczyk, M. (2009). TALIS Na- kowska i J. Pielachowski (red.), Kompetencje na-
uczanie  wyniki badań 2008. Polska na tle mię- uczyciela szkoły współczesnej. Poznań: eMPi2.
dzynarodowym, Warszawa: Ministerstwo Edukacji Szempruch, J. (2000). Pedagogiczne kształcenie na-
Narodowej, Instytut Badań Edukacyjnych. Pobra- uczycieli wobec reformy edukacji w Polsce. Rze-
no z: http://eduentuzjasci.pl/images/stories/bada- szów: WSP.
nia/talis/raport_talis.pdf Tatto, M. T., Bankov, K., Peck, R., Schwille, J., Senk,
Putnam, R. T., Heaton, R. M., Prawat, R. S. i Remi- S. L., Rodriguez, M., Ingvarson, L., Reckase,
llard, J. (1992). Teaching mathematics for under- M. i Rowley, G. (2012). Policy, practice, and readi-
standing: discussing case studies of four fifth- ness to teach primary and secondary mathematics
-grade teachers. The Elementary School Journal, in 17 countries. Pobrano z: http://www.iea.nl/file-
Pobrano z: http://www.iea.nl/file-
93(2), 213 228. admin/user_upload/Publications/Electronic_ver-
Raport z diagnozy potrzeb doskonalenia zawodowego sions/TEDS-M_International_Report.pdf
nauczycieli w województwie mazowieckim Kom- Tatto, M. T., Schwille, J., Senk, S., Ingvarson, L., Peck,
petencje nauczycieli wychowania przedszkolnego R. i Rowley G. (2008). Teacher education and de-
i edukacji wczesnoszkolnej (2010). Warszawa: Ma- velopment study in mathematics (TEDS-M): policy,
zowiecki Zespół ds. Systemowego Badania Potrzeb practice, and readiness to teach primary and sec-
Doskonalenia Nauczycieli. Pobrano z: http://www. ondary mathematics. Conceptual framework. Po-
kuratorium.waw.pl/files/f-1969-2-kompetencje_ brano z: http://tedsm.hu-berlin.de/publik/Down-
nauczycieli_wych_przedszkolnego.pdf loads/framework_juli08.pdf