Analiza Matematyczna - laboratorium. Maxima.
9. Funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne  nieśmiało
zaglądamy do świata finansów.
O funkcjach potęgowych mówiliśmy już trochę przy okazji omawiania funkcji kwadra-
towej  wspominaliśmy tam o liczeniu pierwiastków oraz o wpływie dziedziny (domain)
na sposób obliczania takich funkcji. Teraz przyjrzyjmy się funkcjom potęgowym od tro-
chę innej strony. Popatrzmy jak Maxima radzi sobie z upraszczaniem pewnych wyrażeń:
(%i) ratsimp( x^(-3/2)+x^(4/5) );
(%i) factor( x^(-3/2)+x^(4/5) );
Jak widać znane nam polecenia działają i w takich sytuacjach.
Sprawdz
my jak Maxima radzi sobie z rozwiązywaniem równań zawierających pier-
wiastki kwadratowe.
(%i) solve( 1 = sqrt(x^2+x+3), x);
Tu radzi sobie bardzo dobrze. Ale:
(%i) solve( x = sqrt(x^2+x+3), x);
jest już za trudne... W zasadzie przykład jest łatwy - wiadomo jak sobie z nim poradzić.
Ale jak zmusić do tego Maximę? Standardowo dostępne metody z przykładem tym nie
dadzą sobie rady. Może wydawać się to dosyć zaskakujące - w końcu wystarczy podnieść
rówanie stronami do kwadratu i już jest OK... ale to przecież nie takie proste! Dla tego
typu równań nie ma reguły  spróbujmy bowiem rozwiązać równanie
"
2x2 + x = x
Po podniesieniu obu stron do kwadratu mamy
2x2 + x = x2
czyli x = -1 lub x = 0. Jednak to pierwsze rozwiązanie nie może być poprawne  przecież
po lewej stronie równania jest pierwiastek, a po prawej liczba ujemna. Wydaje nam się,
że ten przykład usprawiedliwia Maximę  samo rozwiązanie nie wystarcza, trzeba jeszcze
sprawdzać czy ma sens  pamiętajmy również, że jeśli rozwiązujemy równanie w sposób
przybliżony, to wszystkie wyniki obarczone są błędem i wszystko robi się strrrasznie
skomplikowane...
Mamy jednak do dyspozycji pakiettopolysolver a w nim polecenie topolysolve,
które z takimi równaniami sobie radzi:
load( "topolysolver" )
topolysolve(sqrt( 2*x^2 + x) = x, x)
1
Jest super, prawda?
No dobrze  pora jednak przejść do funkcji wykładniczych. Zatrzymamy się tu na
chwilę. W pierwszej kolejności warto przypomnieć sobie jak wyglądają ich wykresy.
Zadanie 9.1 Naszkicować, we wspólnym układzie wsółrzędnych, wykresy funkcji f, g, h :
[-6, 6] R danych wzorami f(x) = 2x, g(x) = 3x, f(x) = ex. LiczbÄ™ Eulera e zapisu-
jemy w Maximie jako%e.
Zobaczmy jeszcze jak Maxima radzi sobie z pewnymi prostymi równaniami wykład-
niczymi.
Zadanie 9.2 Przy pomocy poleceniasolverozwiązać równania
2
a) 2x -3x+2 = 4;
b) 4 " 2x - 2x = 3;
c) 4x - 2x = 0.
Równania są rzeczywiście bardzo proste. Pierwsze z nich rozwiązuje się bez najmniej-
szego problemu. Następne jednak... hmm... jakoś nie. W ostatnim przykładzie proble-
mem jest to, że Maxima nie wykonuje odpowiedniego podstawienia  myślę, że tego
można było się spodziewać. Ale skąd problemy w przykładzie drugim? Dlaczego nie wy-
konuje tu odpowiedniej redukcji? Przecież każde polecenie uproaszczające (np.ratsimp)
przerobi wyrażenie 4 · 2x - 2x na 3 · 2x... No cóż  tak po prostu jest.
Popatrzmy na trudniejszy przykład:
(%i) solve(2^x = 4*x+2)
Tutaj Maxima nic nie zdziała  co więcej sami też raczej nic nie wymyślimy... Tego
równania nie da się po prostu rozwiązać symbolicznie. Nie ma wzoru z którego mogliby-
śmy skorzystać, czy podstawienia które nam to równanie istotnie uprości. Nic. Bieda.
Skoro jednak nie możemy rozwiązać tego dokładnie, to może znajdą się jakieś metody
przybliżone? Jak zwykle Maxima przychodzi z pomocą  gdy niknie nadzieja na powo-
dzenie, gdy rozwiązanie problemu zdaje się oddalać z coraz większą prędkością, okazuje
się, że jednak można! Mamy do dyspozycji bardzo ogólną metodęfindroot, która szu-
ka miejsc zerowych dowolnej funkcji. Jasne, ze nie jest to tak piękne jak wygląda na
pierwszy rzut oka, ale w sumie jest OK. Popatrzmy:
(%i) findroot( 2^x - 4*x-2, x, 0, 10 )
Podaje nam rozwiązanie równania. No dobrze  dwa pierwsze argumenty podanej tu
procedury są jasne  ale co oznaczają dwa następne? Dwa ostatnie argumenty to począ-
tek i koniec przedziału, w którym procedura ma szukać miejsca zerowego funkcji. Tak,
tak... niestety to my sami musimy wiedzieć! A skąd? No, to zależy  można zgadywać,
można narysować wykresy, można zbadać własności funkcji... Zwykle wiele powie nam
wykres:
2
oraz znajomość własności funkcji (np. monotoniczności czy zbioru wartości)  w ten spo-
sób często możemy uzasadniać, że rozwiązania zidentyfikowane graficznie są jedynymi.
Popatrzmy na przykład:
(%i) findroot( 2^x - 4*x-2, x, -10, 10 )
Otrzymujemy następującą odpowiedz
:
function has same sign at endpoints [f(-10.0)=38.0009765625,f(10.0)=982.0]
To sytuacja, z którą często możemy się spotkać. Otóż wskazany przez nas przedział
musi spełniać jeden podstawowy warunek: jeżeli szukamy miejsc zerowych funkcji f,
to na krańcach tego przedziału funkcja ta musi przyjmować wartości różnych znaków.
Jeżeli funkcja f jest ciągła na podanym przedziale, to daje nam to gwarancję istnienia
miejsca zerowego (na mocy tzw. własności Darboux)  i na tym opiera się pomysł na
metodęfindroot. Ciągłość funkcji, której miejsc zerowych szukamy jest konieczna dla
powodzenia metody  popatrzmy na przykład:
(%i) findroot(1/x,x,-10,10);
Jeszcze jedna ważna uwaga: procedurafindrootzwraca nam zawsze jedno miejsce
zerowe  niezależnie od tego ile miejsc zerowych rzeczywiście znajduje sie w podanym
przedziale. Niech potwierdzeniem będzie przykład:
(%i) findroot((x+1)*x*(x-2),x,-10,10);
Uzbrojeni w powyższe informacje możemy zająć się kolejnymi zadaniami:
Zadanie 9.3 Znalez
ć wszystkie rozwiązania równania 2x = x2 - x - 3.
Zadanie 9.4 Znalez
ć wszystkie rozwiązania równania 2x = x3 - 4x2.
3
Przejdz
my teraz do funkcji logarytmicznych. Przede wszystkim musimy wspomnieć,
że Maxima oferuje nam tylko jedną funkcję logarytmicznąlog. Jest to logarytm natu-
ralny  sprawdz
my:
(%i) log(%e)
Innych predefiniowanych funkcji nie ma  ale w razie potrzeby można je podefiniować.
Zadanie 9.5 Zdefiniować funkcjęlog10(x)zwracającą log10 x.
Zadanie 9.6 Zdefiniować funkcjęlogab(a,b)zwracającą loga b.
Warto powiedzieć kilka słów o upraszczaniu wyrażeń z logarytmami. Otóż Maxima
może traktować wyrażenia log(xy), log(x/y) czy log(xy) w różny sposób  przekształcać
je zgodnie ze znanymi wzorami  lub nie. Steruje tym zmienna globalnalogexpand.
Sprawdz
my jak Maxima zachowa się po wprowadzeniu podanych niżej wzorów dla
ustawieńlogexpand:true(to jest ustawienie domyślne),falseorazall.
(%i) log(x*y)
(%i) log(x/y)
(%i) log(x^y)
Możemy teraz przyjrzeć się ważnym zastosowaniom logarytmów. Przede wszystkim
warto wiedzieć, że w świecie finansów logarytmy są czymś bardzo ważnym i naturalnym
 jeżeli interesują nas zmiany wartości ekonomicznych, to zwykle patrzymy nie tyle na
zmiany bezwzględne (np. ceny w złotych) ile na zmiany względne (procentowe).  Wzrost
cen akcji o 10% jest dużo bardziej istotną (precyzyjną) informacją niż  Wzrost cen
akcji o 2,50 złotych . I tutaj okazuje się, że wygodnie jest patrzeć nie tyle na wartości
bezwzględne (np. cenę, wartość obrotu, wartość indeksu giełdowego) ile na ich logarytmy.
Mam nadzieję, że o sensowności takiego spojrzenia przekona nas następujący przykład:
Zadanie 9.7 Wygenerujmy listę 100 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o
ilorazie 1.1 oraz pierwszym wyrazie a1 = 10. Następnie wygenerujmy listę logarytmów
dziesiętnych tych wartości. Uzasadnić, że wygenerowany ciąg jest ciągiem arytmetycz-
nym.
Cóż możemy zauważyć? Tak, tak  pierwszy ciąg pokazuje nam stały wzrost o 10%
 każda następna liczba jest większa od poprzedniej o 10%. Z kolei drugi ciąg pokazuje
nam stały wzrost o wartość log10 11 - 1.
I podobnie  jeżeli funkcja jest postaci y = b · ax, to zÅ‚ożenie tej funkcji z funkcjÄ…
logarytmiczną jest już funkcją liniową.
Stały procentowy wzrost (spadek) jest zjawiskiem występującym w bardzo wielu mo-
delach ekonomicznych. Ze względu na to, że takie modele prowadzą do wykładniczego
wzrostu (spadku) analizowanych wartości okazuje się, że dosyć trudno jest tego typu
dane analizować i przedstawiać na wykresie w dłuższym okresie czasu (na długich prze-
działach). Wykresy stają się nieczytelne ze względu na olbrzymią rozpiętość wartości
4
na osi OY. Dlatego bardzo często stosuje się tzw. skalę logarytmiczną  odpowiada to
temu, że oś OY na wykresie nie jest pokazana w zwykly sposób tylko tak, jakby war-
tości pokazywanej funkcji były dodatkowo złożone z funkcją logarytmiczną (o ustalonej
podstawie). Niech za przykład posłużą nam wykresy:
(%i) plot2d( [2^x,3^x,%e^(-x)], [x,-6,6] );
(%i) plot2d( [%e^(x^2)], [x,-6,6] );
(%i) plot2d( [2^x,3^x,%e^(-x)], [x,-6,6], [logy] );
(%i) plot2d( [%e^(x^2)], [x,-6,6], [logy] );
Dwa pierwsze wykresy pokazane są w tradycyjny sposób, dwa kolejne z uwzględnie-
niem na osi OY skali logarytmicznej.
A co świat finansów ma jeszcze wspólnego z funkcjami wykładniczymi i logaryt-
mami? Oj dużo, dużo! Przede wszystkim ze względu na składanie procentów. Co to
znaczy? Załóżmy, że na rachunek bankowy wpłacono jednorazowo kwotę A złotych oraz
po upływie każdego roku od chwili wpłaty dopisuje się p% odsetek. Załóżmy dodatkowo,
że z konta nie wypłaca się żadnych pieniędzy. W tej sytuacji kwota znajdująca się na
rachunku po upływie n lat dana jest wzorem
n
p
an = A · 1 + .
100
Zadanie 9.8 Wygenerować listę ze stanem rachunku bankowego oprocentowanego na
6, 78% w skali roku w pierwszych 10 latach przy założeniu, że
a) pieniądze nie są wypłacane;
b) całość odsetek jest wypłacana od razu po naliczeniu.
Ciekawe wyniki osiągniemy, kiedy zastanowmy się nad tym, jak sytuacja wyglądać
będzie kiedy odsetki kapitalizowane będą częściej niż raz do roku. Popatrzmy  jeżeli
odsetki dopisywane będą co 6 miesięcy, to po pół roku na koncie pojawi się połowa odse-
tek należnych za cały rok. Czyli stan rachunku bankowego po roku (czyli po dwukrotnej
kapitalizacji) wyglądać będzie następująco:

p/2 2
a1 = A · 1 + .
100
I ogólnie, jeżeli założymy, że kapitalizacja ma miejsce k razy w ciągu roku, to stan
rachunku po roku wyglÄ…da tak:
k
p/k
a1 = A · 1 + .
100
Zadanie 9.9 Porównać kwoty zgromadzone po roku, jeżeli na rachunek wpłacono 100
złotych, rachunek oprocentowany jest na 10% w skali roku, dla kapitalizacji rocznej,
półrocznej, kwartalnej, miesięcznej oraz dziennej.
5
Uzyskane wyniki są bardzo interesujące, prawda? Kwota zdaje się rosnąć  im częściej
odsetki są kapitalizowane, tym więcej mamy na koncie po roku. Jednak ten wzrost jest
coraz wolniejszy... A co stanie się, jeżeli liczba kapitalizacji w roku (czyli k) będzie dążyła
do +"? Zauważmy, że wówczas
p
100
a1 = Ae .
Oczywiście mamy tu do czynienia z procesem fizycznie niewykonalnym  nie da się
kapitalizować nieskończenie często. Jest to jednak dosyć wygodna abstrakcja  na tyle
wygodna, że powszechnie stosowana w przeróżnych modelach ekonomicznych. Nazywa
się to cudo kapitalizacją ciągłą i pozwala nam zakładać, że inwestowane pieniądze mogą
być wycofane w dowolnym momencie czasu przy wypłaceniu odpowiednich odsetek. Przy
takim podejściu nie musimy na osi czasu wyróżniać żadnych specjalnych punktów (w
których bank dopisuje odsetki)  wyróżnienie takich momentów bardzo mocno kompli-
kowałoby model matematyczny. A tak możemy każdą chwilę traktować tak samo. Któż
by się spodziewał, że liczba Eulera trafi do banków? A jednak  kolejny raz widzimy, że
życie jest pełne niespodzianek.
Na zakończenie policzmy sobie trochę finansowych zadanek:
Zadanie 9.10 Wpłacamy złotówkę do banku, który oferuje oprocentowanie w wysokości
100% w skali roku  i to kapitalizowane w sposób ciągły. Ile otrzymamy po roku?
Zadanie 9.11 Jeżeli do banku wpłacono 100 złotych zaś rachunek oprocentowany jest
na 8% w skali roku, to po ilu latach saldo na rachunku przekroczy 100000 złotych?
Zadanie 9.12 Bank A oferuje konto oprocentowane 4, 5% w skali roku z kapitaliza-
cją miesięczną. Bank B oferuje kapitalizację roczną. Jakie powinno być oprocentowanie
rachunku w banku B, aby ofety były jednakowo atrakcyjne (zakładamy, że nie są wy-
płacane żadne pieniądze)?
Zadanie 9.13 Bank A oferuje konto oprocentowane 4, 5% w skali roku z kapitalizacjÄ…
miesięczną. Bank B oferuje kapitalizację kwartalną. Jakie powinno być oprocentowa-
nie rachunku w banku B, aby ofety były jednakowo atrakcyjne (zakładamy, że nie są
wypłacane żadne pieniądze)?
6