1
Pochodna logarytmiczna
Wzór
f (x)
( ln f(x) ) =
f(x)
nosi nazwÄ™ pochodnej logarytmicznej.
Przykład Oblicz, używając pochodnej logarytmicznej, pochodne
następujących funkcji:
" f(x) = u(x)v(x)




x3 sin2 x
3

"·
" f(x) =
x2+1
2
Różniczka funkcji
Definicja Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie
x0 . Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję df
zmiennej "x = x - x0 określoną wzorem
def
df = f (x0) "x.
Uwaga Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0 ,
to
f(x0 + "x) H" f(x0) + f (x0) "x.
Przykład Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:
"
102, 1 · log 10, 21.
3
Definicja (Różniczki wyższych rzędów)
Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu n - 1 w otoczeniu punktu
x0 oraz pochodną rzędu n w punkcie x0 , to
ëÅ‚ öÅ‚
def
íÅ‚ Å‚Å‚
dnf = d [ dn-1 f(x) ] .
x=x0
przy czym w każdym różniczkowaniu bierzemy ten sam przyrost
"x .
StÄ…d
dnf = f(n)(x0) "xn.
4
Wzór Taylora
Twierdzenie Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu n
włącznie w przedziale [a, b] oraz ma skończoną pochodną rzędu
n + 1 w przedziale (a, b) , to dla każdych dwóch różnych punktów
x0, x " [a, b] istnieje co najmniej jeden punkt c " (x0, x) taki, że
f (x0) f (x0)
f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + . . .
1! 2!
f(n)(x0) f(n+1)(c)
. . . + (x - x0)n + (x - x0)n+1,
n! (n + 1)!
gdzie c = x0 + Åš(x - x0), 0 < Åš < 1 .
5
Uwaga
" Wyrażenie
f (x0) f (x0)
Tn(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + . . .
1! 2!
f(n)(x0) f(k)(x0)
n

. . . + (x - x0)n = (x - x0)k
n! k!
k=0
nazywamy wielomianem Taylora rzędu n .
" Wyrażenie
f(n+1)(c)
Rn(x) = (x - x0)n+1
(n + 1)!
nazywamy resztą Taylora rzędu n w postaci Lagrange a.
6
" Zatem wzór Taylora rzędu n zapiszemy krótko w postaci
f(x) = Tn(x) + Rn(x).
" Wzór Taylora dla x0 = 0 nazywamy wzorem Maclaurina.
Przykład
" Rozwiń wielomian f(x) = x3 + 3x2 - 2x + 4 względem potęg
dwumianu (x + 1).
" Napisz wzór Taylora rzÄ™du drugiego dla funkcji f(x) = x · sin2 x
Ä„
w punkcie x0 = .
2
"
" Oblicz e z dokładnością do 0, 0001.
7
Definicja (Uogólnione współczynniki Newtona)
Niech ą będzie stałą rzeczywistą i n " N Wówczas
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä…
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= 1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0
oraz dla n 1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä…
Ä…(Ä… - 1)(Ä… - 2) . . . (Ä… - (n - 1))
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= .
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n!
íÅ‚ Å‚Å‚
n
8
Przykład
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
- 1
1
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 3
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= = -
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2! 9
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
-1
-1(-1 - 1)(-1 - 2)(-1 - 3)
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= = 1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4!
íÅ‚ Å‚Å‚
4
Przykład Napisz wzór Maclaurina rzędu n dla funkcji
f(x) = (1 + x)Ä…
9
Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
Fakt Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0.
Wówczas:
" jeżeli f (x0) > 0 , to istnieje otoczenie punktu x0, takie że
funkcja f jest rosnÄ…ca w tym otoczeniu;
" jeżeli f (x0) < 0 , to istnieje otoczenie punktu x0, takie że
funkcja f jest malejÄ…ca w tym otoczeniu;
Twierdzenie (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale
[a, b] i różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b) oraz
f(a) = f(b) , to istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f (c) = 0.
10
Twierdzenie (Lagrange a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na
przedziale [a, b] i różniczkowalna w każdym punkcie przedziału
(a, b) , to istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f(b) - f(a)
f (c) = .
b - a
Przykład Na krzywej będącej wykresem funkcji f(x) = x3 wskaż
punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej przechodzącej
przez punkty A(-1, -1) i B(2, 8) .
11
Twierdzenie (de L Hospitala)
Załóżmy, że funkcje f i g są określone i różniczkowalne w pewnym
sąsiedztwie punktu x0 , przy czym g(x) = 0 dla każdego x z tego

sąsiedztwa. Wówczas jeżeli:
" lim f(x) = 0 = lim g(x) lub lim f(x) = (Ä…)" =
xx0 xx0 xx0
lim g(x) ;
xx0
" istnieje granica (skończona lub nie)
f (x)
lim ,
xx0
g (x)
f(x)
to istnieje granica lim , a ponadto
g(x)
xx0
f(x) f (x)
lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
12
Przykład Oblicz granice:
ln ln x sin x-x cos x
a) lim b) lim
x
x"
x3
x0
x-arctg x
"ln x
c) lim d) lim
x"
x3
x2-1
x0
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
e) lim - f) lim -
x ex-1 ln x x-1
x0 x1
1
g) lim xex h) lim xex
x-"
x0+
" Ä„x
i) lim x ln x j) lim (2 - x)tg 2
x1
x0+
13
Nieoznaczoność Stosowane przekształcenie Nowa nieoznaczoność
f g
0 "
0 · " f · g = =
1 1
0 "
g f
1
-1
g f 0
" - " f - g =
1
0
fg
1" "0 00 fg = eln fg = eg ln f e0·"
14
Asymptoty wykresu funkcji
Definicja Niech funkcja f będzie okreslona w sąsiedztwie punktu
a . Prosta x = a jest asymptotą pionową funkcji f , jeżeli
lim f(x) = Ä…".
xa
Uwaga Jeżeli powyższy warunek spełniony jest tylko dla granicy
prawostronnej (lewostronnej), to symptota pionowa jest asymptotÄ…
prawostronnÄ… (lewostronnÄ…).
Przykład Wyznacz asymptoty pionowe wykresu funkcji:
ln(4 - x)
f(x) = .
x - 2
15
Definicja Niech funkcja f będzie okreslona w sąsiedztwie +"
( -" ). Prosta y = mx + b jest asymptotą ukośną funkcji f w
+" - prawostronną (w -" - lewostronną), jeżeli
lim [ f(x) - (mx + b) ] = 0
x+"
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
lim [ f(x) - (mx + b) ] = 0 .
x-"
Ponadto wówczas:
f(x)
m = lim
xÄ…"
x
b = lim [ f(x) - mx ] .
xÄ…"
16
Uwaga
" Jeżeli prosta y = mx + b jest jednocześnie asymptotą ukośną
prawostronną i lewostronną, to nazywamy ją asymptotą ukośną
obustronnÄ….
" Jeżeli m = 0 , to prostą y = b nazywamy aymptotą poziomą.
Przykład Wyznacz asymptoty ukośne wykresu funkcji:
ln(4 - x)
f(x) = .
x - 2
Przykład Wyznacz asymptoty wykresu funkcji:
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
f(x) = x + arcctg x.
íÅ‚ Å‚Å‚
x + 2
17
Monotoniczność i ekstrema
Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i dla każdego x " (a, b) f (x) = 0 , to f jest funkcją stałą
w przedziale (a, b) .
Przykład Wykazać, że funkcja
2x
f(x) = 2arctg x + arcsin
1 + x2
jest stała w przedziale [1, +") . Znalez
ć wartość tej stałej.
Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i dla każdego x " (a, b) f (x) > 0 ( f (x) < 0 ), to f
jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ… (malejÄ…cÄ…) w przedziale (a, b) .
18
Definicja Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum)
lokalne, jeżeli
"U(x0) "x"U(x0) f(x) f(x0) ( f(x) f(x0) ) .
Maksima i minima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Twierdzenie (Fermata - warunek konieczny istnienia ekstremum)
Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 . Wówczas,
jeżeli ma ona w tym punkcie ekstremum lokalne, to f (x0) = 0 .
Uwaga
" Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.
" Twierdzenie powyższe jest równoważne formule: f (x0) = 0 , to

punkt x0 nie jest ekstremum lokalnym.
19
" Ekstremów funkcji różniczkowalnej poszukujemy wśród tych punktów,
dla których f (x0) = 0 . Punkty takie nazywamy punktami
stacjonarnymi.
Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x0 i
" f (x0) = 0 lub f (x0) nie istnieje,
" f zmienia w punkcie x0 znak z dodatniego na ujemny (z
ujemnego na dodatni),
to f ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne.
Przykład Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:
x2 - 3
2
a) f(x) = b) f(x) = 2tg x - tg x
x - 2
20
"
3
c) f(x) = (x - 6)2 · x2
Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia ekstremum dla funkcji
n-krotnie różniczkowalnej)
Załóżmy, że funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w otoczeniu
punktu x0 i f (x0) = · · · = f(n-1)(x0) = 0 a f(n)(x0) = 0 .

Wówczas jeżeli n jest liczbą parzystą, to f ma w punkcie x0
ekstremum lokalne. Ponadto:
f(n)(x0) > 0 =Ò! f(x0) - minimum lokalne,
f(n)(x0) < 0 =Ò! f(x0) - maksimum lokalne.
21
Ekstrema absolutne
Definicja Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą. Liczbę
m " R ( M " R ) nazywamy wartością najmniejszą - minimum
absolutnym - (wartością największą - maksimum absolutnym -)
funkcji f , jeżeli m " R ( M " R ) jest wartością funkcji f
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"x"[a,b] f(x) m "x"[a,b] f(x) M
Przykład Wyznacz ekstrema absolutne funkcji:
f(x) = 3|x| - x2 x " [-2, 2]
22
Wklęsłość i wypukłość. Punkty przegiecia
Definicja Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) . Funkcję f nazywamy wypukłą (wklęsłą), jeżeli dla każdego
x " (a, b) styczna do wykresu funkcji f w tym punkcie leży pod
(nad) wykresem f .
Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w
przedziale (a, b) i dla każdego x " (a, b) f (x) > 0 ( f (x) <
0 ), to f jest funkcją wypukłą (wklęsłą) w przedziale (a, b) .
Definicja Punkt, w którym funkcja przechodzi z wklęsłej w wypukłą
lub z wypukłej w wklęsłą, nazywa się punktem przegięcia.
23
Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Załóżmy, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
x0 . Wówczas, jeżeli ma ona w tym punkcie punkt przegięcia, to
f (x0) = 0 .
Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x0 i
" f (x0) = 0 lub f (x0) nie istnieje,
" f zmienia w punkcie x0 znak z dodatniego na ujemny (z
ujemnego na dodatni),
to f ma w punkcie x0 punkt przegięcia.
Przykład Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty
24
przegięcia wykresu funkcji:
x4 - 3
a) f(x) = b) f(x) = xe-4x
x
Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia
dla funkcji n-krotnie różniczkowalnej)
Załóżmy, że funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w otoczeniu
punktu x0 i f (x0) = · · · = f(n-1)(x0) = 0 a f(n)(x0) = 0 .

Wówczas jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to f ma w punkcie x0
punkt przegięcia.
Przykład Zbadaj, czy funkcja f(x) = sin 2x + 4 sin x + 2x ma
ekstremum w punkcie x = Ä„ ?
Przykład Zbadaj, czy funkcja f(x) = ex + e-x + cos2 x ma
punkt przegięcia w punkcie x = 0 ?
25
"
Przykład Narysuj wykres funkcji y = x ln x w otoczeniu o
1
promieniu punktu przegięcia.
2