1
Funkcja wykładnicza
Definicja Niech a będzie daną liczbą rzeczywistą taką, że a > 0
i a = 1. Funkcję postaci y = ax nazywamy funkcją wykładniczą.

Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych
( x " R ), przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
( y " R+ ).
2
Spośród nieskończenie wielu funkcji wykładniczych najważniejszą
rolÄ™ odgrywajÄ… dwie: y = 10x i y = ex, gdzie liczba
e = 2, 7182818284590452353602874713526624977572470936999 . . .
jest niewymierna ( e H" 2, 72 ). Liczba e nosi nazwÄ™ liczby Eulera
(Nepera).
Własności funkcji wykladniczej
" Funkcja wykładnicza jest funkcją różnowartościową. Oznacza to,
że dla a > 0 i a = 1

ax1 = ax2 Ð!Ò! x1 = x2.
" Dla a > 1 funkcja wykładnicza y = ax jest funkcją rosnącą, bo
3
dla dowolnych x1, x2 " R
x1 < x2 =Ò! ax1 < ax2.
" Dla 0 < a < 1 funkcja wykładnicza y = ax jest funkcją
malejÄ…cÄ…, bo dla dowolnych x1, x2 " R
x1 < x2 =Ò! ax1 > ax2.
Przykład Dla jakich wartości zmiennej x funkcje f i g mają
równe wartości:
ëÅ‚ öÅ‚
3x2
5
1
ìÅ‚ ÷Å‚
-4x
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4
a) f(x) = 2 , g(x) =
íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
6x2
1
4
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3
b) f(x) = 0, 75x- , g(x) =
íÅ‚ Å‚Å‚
3
4
Przykład Dla jakich wartości zmiennej x funkcja
f(x) = 52x+1 - 5x
przyjmuje wartości dodatnie?
PrzykÅ‚ad Dane sÄ… funkcje f(x) = 4x+1 - 7 · 3x i g(x) =
3x+2 - 5 · 4x. RozwiÄ…zać nierówność f(x) g(x).
5
Logarytm
Definicja Logarytmem liczby rzeczywistej x > 0 przy podstawie
a ( a > 0 i a = 1 ) nazywamy wykładnik potęgi y, do której

należy podnieść liczbę a , żeby otrzymać x, tj.
loga x = y Ð!Ò! ay = x.
Na przykład: log2 8 = 3, bo 23 = 8.
Logarytm log10 x nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy
krótko log x.
Logarytm loge x nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy
krótko ln x.
6
Własności logarytmu
" loga 1 = 0
" loga ay = y
" loga a = 1 " aloga x = x,
gdzie a > 0 i a = 1 oraz x > 0 i y " R.

Twierdzenie (Własności działań na logarytmach)
Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x, y, a, b ( a = 1 ,

b = 1 ) i p " R zachodzÄ… wzory:

" loga (x · y) = loga x + loga y
" loga x = loga x - loga y
y
" loga xp = p · loga x
logb x 1
" loga x = , w szczególności loga b = .
logb a logb a
7
Przykład Obliczyć:
"
3
a) log"2 0, 25
c) log 3 3
1
9
"
3
1
b) 10003-log 3 d) 92 log3 2+4 log81 2
Przykład Obliczyć log35 28 , jeżeli wiadomo, że log14 2 = a i
log14 5 = b.
8
Funkcja logarytmiczna
Definicja Niech a będzie daną liczbą rzeczywistą taką, że
a > 0 i a = 1. FunkcjÄ™ postaci y = loga x nazywamy funkcjÄ…

logarytmicznÄ….
Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych doda-
tnich (x " R+), przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych (y " R).
9
Własności funkcji logarytmicznej
" Funkcja logarytmiczna jest funkcją różnowartościową. Oznacza to,
że dla dowolnych x1 > 0 i x2 > 0 zachodzi:
loga x1 = loga x2 Ð!Ò! x1 = x2.
" Dla a > 1 funkcja logarytmiczna y = loga x jest funkcjÄ…
rosnÄ…cÄ…, bo dla dowolnych x1, x2
0 < x1 < x2 =Ò! loga x1 < loga x2.
" Dla 0 < a < 1 funkcja logarytmiczna y = loga x jest funkcjÄ…
malejÄ…cÄ…, bo dla dowolnych x1, x2
0 < x1 < x2 =Ò! loga x1 > loga x2.
10
" Funkcja logarytmiczna y = loga x jest funkcjÄ… odwrotnÄ… do
funkcji wykładniczej y = ax.
Przykład Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a) f(x) = log7 log0,5(x2 - 7x + 12) + 1

b) f(x) = log3 log0,5(x + 2) + 2
Przykład Wykazać, że wykresy funkcji y = ln x i y = ln2 x
przecinają się w dwóch punktach. Znalez
ć te punkty.
x - 3
Przykład Dane są funkcje f(x) = log6 i
x
ëÅ‚ öÅ‚
5
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
g(x) = log6 + 1 . Dla jakich wartości x zachodzi nierówność
íÅ‚ Å‚Å‚
2x
f(x) < g(x)?
11
Przykład Rozwiązać równanie:
"
"
x x
x = x
Przykład Rozwiązać nierówność:
log(2x+3) x2 < 1