ROZDZIAA
4
Przestrzeń wektorowa
4.1. Wstęp
PrzestrzeÅ„ wektorowa - (V, F, +, ·)
(V, +) - grupa abelowa,
(F, +, ·, 0, 1) - ciaÅ‚o,
"a, b " F, "X, Y " V
a(X + Y ) = aX + aY
(a + b)X = aX + bX
(ab)X = a(bX)
1X = X
Własności:
(1) "X " V 0X = Åš
(2) "a " F aÅš = Åš
(3) "a " F, "X " V
(-a)X = a(-X) = -(aX)
(4) "a " F, "X, Y " V
a(X - Y ) = aX + a(-Y ) = aX - aY
(5) "a, b " F, "X " V
(a - b)X = aX + (-b)X = aX - bX
(6) "a " F, "X " V
aX = Åš Ô! a = 0 lub X = Åš
65
(V, F, +, ·) - przestrzeÅ„ wektorowa,
X1, . . . , Xk " V
k

aiXi = a1X1 + . . . + akXk
i=1
kombinacja liniowa wektorów X1, . . . , Xk
Wektory X1, . . . , Xk nazywamy:
(1) liniowo zależnymi, jeśli w ciele F istnieją elementy a1, . . . , ak
nie wszystkie równe zeru, takie że
k

aiXi = Åš
i=1
(2) liniowo niezależnymi, jeśli
k

aiXi = Åš Ô! a1 = . . . = ak = 0
i=1
Podzbiór A ‚" V nazywamy:
(1) zbiorem liniowo niezależnym, jeśli każdy skończony pod-
zbiór zbioru A jest liniowo niezależny
(2) zbiorem liniowo zależnym, jeśli istnieje skończony liniowo
zależny podzbiór zbioru A.
Jeśli wektory X1, ..., Xk są l.n. to "i1, . . . , in k
Xi , . . . , Xi l.n.
1 n
Każdy podukład układu liniowo niezależnych wektorów jest l.n.
Jeśli "i1, . . . , in k takie, że wektory Xi , . . . , Xi są l.z. to
1 n
X1, . . . , Xk l.z.
Åš - l.z.
X = Åš - l.n.

X1, . . . , Xk l.z. Ô! "j : Xj jest kombinacjÄ… pozostaÅ‚ych wektorów.
X1, . . . , Xk l.n. Ô! żaden wektor nie jest kombinacjÄ… pozostaÅ‚ych
wektorów.
4.2. Podprzestrzenie
(V, F, +, ·) - przestrzeÅ„ wektorowa,
" = U ‚" V- podprzestrzeÅ„ wektorowa,

jeśli "X, Y " U, "a " F
X + Y " U, aX " U,
lub "X, Y " U, "a, b " F
aX + bY " U.
U1, U2 podprzestrzeń, to U1 )" U2 też podprzestrzeń.
V i {Åš} - podprzestrzenie trywialne.
" = A Ä…" V

U(A) = {a1X1 + · · · + akXk :
ai " F, Xi " A, i = 1, . . . , k, k " N}
(U(A), F, +, ·) - podprzestrzeÅ„ (V, F, +, ·) generowana przez
zbiór A.
A Ä…" B Ä…" V Ò! U(A) Ä…" U(B).
A = {X1, . . . , Xk} - skończony zbiór, to
ozn
U(A) = U(X1, . . . , Xk)
= {a1X1 + · · · + akXk :
ai " F, i = 1, . . . , k}
podprzestrzeń rozpięta na wektorach X1, . . . , Xk.
X1, . . . , Xk - układ generatorów.
Podzbiór A generuje przestrzeń V jeśli
U(A) = V.
Zbiór A Ä…" V jest bazÄ… przestrzeni (V, F, +, ·), jeÅ›li generuje caÅ‚Ä…
przestrzeń i jest zbiorem wektorów l.n. Czyli
(1) U(A) = V
"X " V "X1, . . . , Xk " A,
"a1, . . . , ak " F :
k

X = aiXi
i=1
(2) A - l.n.
"X1, . . . , Xk " A,
X1, . . . , Xk - l.n.
A = {X1, . . . , Xk} - skończony,
to A baza wtw gdy:
" X1, . . . , Xk - l.n.
" "X " V "a1, . . . , ak " F :
k

X = aiXi.
i=1
" - baza przestrzeni {Åš}.
X1, . . . , Xk - baza przestrzeni V.
Dowolny wektor X " V ma jednoznaczny rozkład na wektory bazowe:
k

X = aiXi
i=1
a1, . . . , an " F - współrzędne rozkładu wektora X na bazę X1, . . . , Xk.
TWIERDZENIE 4.2.1. Równoważne są następujące warunki:
1 2 3
A- baza V Ô! A - maks zbiór l.n. Ô! A - min zbiór generujÄ…cy VÔ!
TWIERDZENIE 4.2.2. Dla dowolnej przestrzeni wektorowej ist-
nieje baza.
TWIERDZENIE 4.2.3. Przestrzeń wektorowa generowana przez
skończoną liczbę wektorów posiada skończoną bazę.
TWIERDZENIE 4.2.4. V = U(X1, . . . , Xk),
Y1, . . . , Ym - l.n. to m k
WNIOSEK 4.2.1. X1, . . . , Xk, Y1, . . . , Ym - dwie bazy tej samej
przestrzeni V, to k = m.
TWIERDZENIE 4.2.5. Przestrzeń V nie posiada bazy skończonej
wtw gdy "n " N " n - l.n. wektorów.
Jeżeli przestrzeń V posiada bazę skończoną, to ilość elementów tej
bazy nazywamy wymiarem przestrzeni V - dimV.
Jeżeli przestrzeń V nie posiada bazy skończonej, to dimV = ".
TWIERDZENIE 4.2.6. dimV = k < ".
U(X1, . . . , Xk) = V Ô! X1, . . . , Xk l.n.
TWIERDZENIE 4.2.7. (Steinitza)
X1, . . . , Xn - baza V,
Y1, . . . , Ys l.n.
to "Xi , . . . , Xi takie, że wektory
1 n-s
Y1, . . . , Ys, Xi , . . . , Xi
1 n-s
sÄ… bazÄ… V.
4.3. Suma prosta
PrzestrzeÅ„ (V, F, +, ·) jest sumÄ… prostÄ… podprzestrzeni (U, F, +, ·)
i (W, F, +, ·)
V = U •" W,
jeśli
"X " V "! Y1 " U, "! Y2 " W :
X = Y1 + Y2.
TWIERDZENIE 4.3.1. dimV = n < ".

U )" W = {Åš}
V = U •" W Ô!
dimV = dimU + dimW
4.4. Przestrzenie ilorazowe
(V, F, +, ·) - przestrzeÅ„ wektorowa,
(U, F, +, ·) - podprzestrzeÅ„.
W szczególności:
(U, +) podgrupa niezmiennicza (V, +).
(V/U, +) - grupa ilorazowa.
Relacja  <"U jest zgodna z mnożeniem zewnętrznym:
"X, Y " V, "a " F
def
X <"U Y Ô! X - Y " U Ò!
a(X - Y ) = aX - aY " U Ô!
aX <"U aY
(V/U, F, +, ·)
ilorazowa przestrzeń wektorowa.
TWIERDZENIE 4.4.1.
dimV = n < ", dimU = k n, to
dimV/U = n - k
dimV = dimU + dimV/U
V = U •" U , to
dimU = dimV/U = n - k.