Ruch obrotowy bryły sztywnej
Bryła sztywna - ciało, w którym
odległości między poszczególnymi
punktami ciała są stałe
Ruch obrotowy  ruch po okręgu
dÄ…
É =
dt
dÉ d2Ä…
µ = =
2
dt dt
l = Ä… r
Å„Å‚
ôÅ‚
v = É r
òÅ‚
ôÅ‚
a = µ r
ół
É v 1
f = = =
2Ä„ 2Ä„ r T
Ruch obrotowy  ruch po okręgu
dÄ…
É =
dt
dÉ d2Ä…
µ = =
2
dt dt
l = Ä… r
Å„Å‚
ôÅ‚
v = É r
òÅ‚
ôÅ‚
a = µ r
ół
É v 1
f = = =
2Ä„ 2Ä„ r T
Moment bezwładności
Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się
po okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu
odległości od osi obrotu:
2
I = mr
I = miri2
"
i
M
2
I =
+"r dm
0
Momenty bezwładności wybranych brył
Twierdzenie Steinera
I0 - moment bezwładności
bryły o masie m względem osi
przechodzącej przez środek jej
masy. Moment bezwładności I
tej bryły względem osi obrotu
równoległej do osi
przechodzącej przez środek
masy i przesuniętej o d równy
jest:
2
I = I0 + md
2 2
2
I = [ ]dm
+"r dm = +"( x - a) + ( y - b)
2
I = (x2 + y2)dm - 2a (
+" +"xdm - 2b+"ydm + +"a + b2)dm
Twierdzenie Steinera
I0 - moment bezwładności
bryły o masie m względem osi
przechodzącej przez środek jej
masy. Moment bezwładności I
tej bryły względem osi obrotu
równoległej do osi
przechodzącej przez środek
masy i przesuniętej o d równy
jest:
2
mr
2
I0 =
I = I0 + md
2
2
mr 3
2 2 2
I = I0 + mr = + mr = mr
2 2
Ruch obrotowy: moment siły
rð rð
rð
rð
M = r ×F
rð
dL
M =
M = r F siną = F rĄ"
dt
Ruch obrotowy: moment siły
Ruch obrotowy: równowaga
Ruch obrotowy: moment siły, moment pędu
rð
rð rð
rð
rð
dL
M = r ×F
M =
dt
M = r F siną = F rĄ"
rð
rð rð
L = r × p
2
L = r p = r m v = r m rÉ = mr É = I É
dL dÉ dI
M = = I + É
dt dt dt
Ruch obrotowy: II zasada dynamiki
dL dÉ dI
M = = I + É
dt dt dt
Moment pędu
rð
rð rð
L = r × p
Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych
(układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu
jest stały.
rð rð
Lc = Li = const.
"
L = I É = const.
i
Zasada zachowania momentu pędu
Zasada zachowania momentu pędu
Zasada zachowania momentu pędu
Ruch bryły sztywnej - energia kinetyczna
dW = F d x
Ä…
k
W =
+"M dÄ…
Ä…
p
dÉ dÄ…
dW = M dÄ… = I dÄ… = I dÉ = I É dÉ
dt dt
É
2
IÉ
Eo = W = É dÉ =
+"I
2
0
2
MvSM 2
IÉ
EK = +
2 2
Energia kinetyczna jest sumą energii ruchu postępowego i obrotowego
Ruch obrotowy: energia kinetyczna
Ruch obrotowy a postępowy
Analogies Between Translational and Rotational Motion
Translational Motion Rotational Motion
x "! ¸
v "! É
a "! Ä…
v = v0 + at "! É = É + Ä… t
0
at2 Ä… t2
x = xo + v0t +
"! ¸ = ¸ + É t +
0 0
2 2
2 2 2
v2 - v0 = 2a x - xo "! É - É = 2Ä… ¸ - ¸
( ) ( )
0 0
2
mv2 IÉ
K = "! K =
2 2
m "! I
F = ma "! Ä = IÄ…
F "! Ä
P = Fv "! P = Ä É
Moment bezwładności
Moment bezwładności
Ruch obrotowy: toczenie się ciał
Ruch obrotowy: toczenie się ciał
Åšrodek masy
W jednorodnym polu grawitacyjnym środek
masy pokrywa się ze środkiem ciężkości
Swobodna oś obrotu bryły sztywnej pokrywa
się ze środkiem masy.
* Środek masy: układy dwu i wielu ciał
Ruch obrotowy
dÄ…
É =
dt
dÉ d2Ä…
µ = =
2
dt dt
l = Ä… r
Å„Å‚
ôÅ‚
v = É r
òÅ‚
ôÅ‚
a = µ r
ół
Ruch obrotowy
Ruch obrotowy
Ruch po okręgu
Ruch roweru
Utrzymanie stałej prędkości ok.15 km/h
wymaga pokonania siły równej 8N, tzn.:
4N = tarcie łożysk + tarcie opon
4N = opór powietrza
czyli praca wykonana na odcinku 1km
wynosi:
W = 1000m * 8N = 8000J
Ta sama wielkość w przypadku biegu
wynosi:
100000J
" Przymocowanie drugiego koła do przedniego widelca 
efekty żyroskopowe się znosiły ale rower nie stracił
stabilności,
" Zupełnie inny wynik przyniosła próba z samym tylko
rowerem  swobodnie pchnięty rower, pozbawiony efektu
żyroskopowego, natychmiast się przewracał.
WNIOSEK
Efekt ten jest istotny dla lekkiego, nieobciążonego roweru,
podczas gdy dla roweru obciążonego rowerzystą
można go w pierwszym przybliżeniu zaniedbać.
Ruch roweru
Utrzymanie stałej prędkości ok.15 km/h
wymaga pokonania siły równej 8N, tzn.:
4N = tarcie łożysk + tarcie opon
4N = opór powietrza
czyli praca wykonana na odcinku 1km
wynosi:
W = 1000m * 8N = 8000J
Ta sama wielkość w przypadku biegu
wynosi:
100000J