2
Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC
t=0 L
R
i U - uR - uL - u = 0
z
Podstawy elektrotechniki
di
U - Ri - L - u = 0
z
Uz C u
dt
du
i = C
dt
i(0)= 0 u(0) = 0
du d du
�łC �ł
U - RC - L
�ł �ł - u = 0
z
dt dt dt
�ł łł
2
d u du
LC + RC + u = U
z
2
dt
dt
du du i(0)
i(0+)= C = = 0
dt dt C
t =0+ t=0+
3 4
Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC
2
t=0 L
U d Ń U dŃ
R 2
z
i
T + T� z +ŃU = U
z z
2 2
T d�
T d�
2
Uz C u
d Ń T� dŃ
+ +Ń = 1
2
T d�
d�
2 bezwymiarowe warunki początkowe:
d u du
2
T + T� + u = U T = LC
u(0)
z
2
Ń(0)= = 0
dt
dt
U
z
T� = RC
2
u(0)= 0 u (0)= 0
dŃ T du
du U dŃ dŃ T du
z
= =
=
wprowadzamy zmienne bezwymiarowe:
d� U dt
dt T d� d� U dt
z z t=0
� =0
t u
� = Ń =
T
T U
2 2
Ń (0)= u (0)= 0
z
U
2 2
z
du U dŃ d u U d Ń
z z
= =
2 2 2
dt T d�
dt T d� Ń(� )= Ńp(� )+Ńw(� ) Ńw(� )= 1
5 6
Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC
Postać Ńp zależy od współczynnika �
Ń(0)= A1 + A2 +1 = 0
1 T� = 1 RC R dŃ
= A1ą1 + A2ą2 = 0
= = (A1ą1eą1� + A2ą2eą2� )
� =
� =0
2 d�
2 T
LC L
� =0
2
ą2
C
A1 =
ą1 -ą2
L ą1
� > 1
1) R > 2 A2 = -
C ą1 -ą2
ą2 ą1
2 Ń(� )= eą1� - eą2� +1
2
ą1 = -� - � -1 ą2 = -� + � -1
ą1 -ą2 ą1 -ą2
t t
t ą2 ą1
Ńp(� )= A1eą1� + A2eą2�
rozwiązanie aperiodyczne
u(t)= U Ń�ł �ł eT1 -U eT2 +U
�ł �ł = U
z z
T
�ł łł ą1 -ą2 z ą1 -ą2 z
T T
Ń(� )= A1eą1� + A2eą2� +1
T1 = T2 =
ą1 ą2
7 8
Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC
dŃ
L
= -�A1 + �A2
2) 0 < � < 1 0 < R < 2 = 0
d�
C
� =0
2
� �
ą1 = -� - j� ą2 = -� + j� � = 1- �
A2 = A1 = -
� �
�
Ńp(� )= e-�� (A1 cos�� + A2 sin �� ) rozwiązanie oscylacyjne �ł
Ń(� )= e-�� �ł cos�� - sin �� +1
�ł-
�ł
tłumione
�
�ł łł
t
Ń(� )= e-�� (A1 cos�� + A2 sin �� )+1
-
�
�ł �ł
T0
u(t)= U e cos�0t - sin�0t +U
�ł-
�ł
z z
�
�ł łł
A1 = -1
Ń(0)= A1 +1 = 0
T �
dŃ
T0 = �0 =
= -�e-�� (A1 cos�� + A2 sin �� )
� T
d�
+ e-�� (- A1� sin �� + A2� cos�� )
9 10
Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC
�
3) � = 0 R = 0
- cos�0t - sin �0t = � sin(�0t +ą)
�
� = 1
2
2 2
1
� + �
�
�ł �ł
rozwiązanie oscylacyjne
= Ńp(� ) = A1 cos� + A2 sin�
� = (-1)2 + =
�ł �ł
2
�
� � nietłumione
�ł łł
Ń(� )= A1 cos� + A2 sin� +1
�ł �ł
�ł �ł
-1 �
A1 = -1
Ń(0)= A1 +1 = 0
ą = arctg�ł �ł = Ą - arctg�ł �ł
�ł �ł
�
�ł �ł �
�ł łł
-
�ł �ł
dŃ
�
�ł łł
= (- A1 sin� + A2 cos� )� =0 = A2 = 0
d�
t
� =0
-
U �ł � łł
�ł
T0
z
u(t)= e sin�ł�0t + Ą - arctg�ł - �łśł z
�ł +U
Ń(� ) = - cos� +1
� �
�ł łł
�ł �ł
1 1
�0 = =
u(t) = -U cos�0t +U
z z
T
LC
11 12
Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC Włączenie napięcia stałego do gałęzi RLC
L
4) � = 1 R = 2
2Uz u(t)
C
�=1,25
Ńp(� )= (A1 + A2� )e-� rozwiązanie aperiodyczne �=1
o tłumieniu krytycznym
�=0,25
Ń(� )= (A1 + A2� )e-� +1
Uz
�=0
A1 = -1
Ń(0)= A1 +1 = 0
dŃ
= A2
= 0
= [A2e-� -(A1 + A2� )e-� ] - A1
� =0
d�
� =0
A2 = A1 = -1
t
Ń(� )= (-1-� )e-� +1
t
t
�ł1+ �łe-
T
u(t)= -U +U
�ł �ł
z z
T
�ł łł
13 14
Wyłączenie odbiornika prądu stałego Wyłączenie odbiornika prądu stałego
2
d u du
L t=0 2
R
i T + T� + u = U
z
2
dt
dt
i(0) I
Uz u C R0 u(0) = U u (0)= =
2
C C
zmienne bezwymiarowe:
2
t u
d u du
2
� = Ń =
T + T� + u = U T = LC
z
2
T U
dt
dt z
2
T� = RC
przeskalowane d Ń T� dŃ
+ +Ń = 1
Warunki początkowe
2
równanie
T d�
d�
t<0
U
z u(0) U R0
R
I = i(0)
I =
Ń(0)= = =
przeskalowane
R + R0
U U R + R0 U
L
z z z
warunki
R0U T LC I L R + R0 C
Uz U R0 początkowe
z
2 2 = =
U = R0I = = u(0) Ń (0)= u (0) =
C U R + R0
R + R0 U U C
z z z
15 16
Wyłączenie odbiornika prądu stałego Wyłączenie odbiornika prądu stałego
dŃ
0,8 + �A1
przykładowe wartości liczbowe:
= -�A1 + �A2 = 0,8 A2 = = 0,781
d�
�
R=2,5 &!, R0 =10 &!, L=0,2 mH, C=2 �F, Uz=120 V
� =0
Ń(� )= e-0,125� (- 0,2cos 0,992� + 0,781sin 0.992� )+1
T=20 �s, T� =5 �s, I=9,6 A, U=96 V
= 0,806e-0,125� sin(0,992� -14,36o)+1
u(0)=96 V, u (0)=48�105 V/s
u(t) = 96,72e-6250t sin(49600t -14,36o)+120 [V]
Ń(0)=0,8, Ń (0)=0,8
T�
u[V]
2
� = = 0,125 < 0 � = 1- � = 0,992
2T
120
Ń(� )= e-�� (A1 cos�� + A2 sin�� )+1
96
Ń(0)= A1 +1 = 0,8 A1 = -0,2
0.1 0.5
t[ms]
17 18
Wyłączenie zwarcia Wyłączenie zwarcia
Warunki początkowe
L t=0 L t<0
t=0
R R
uz - uR - uL - u = 0
2
i i i(0) i (0)
di
uL di uL(0+)
uz - Ri - L - u = 0
=
dt
dt L
R0 R0 t=0+
uz(t) u C uz(t) u C
d
uz(0+)= Ri(0+)+ uL(0+)+ u(0+)
dt
du
i = C
uz = Um sin(�t +�) uz = Um sin(�t +�)
dt
uz(0+)= Um sin� i(0+)= i(0) u(0+)= 0
2
duz di d i du
�L
uL(0+)= Um sin� - Ri(0)
R
t<0
- R - L - = 0 I
dt dt dt
dt2
U
z
2
I =
duz di d i i
Uz
R + j�L
- R - L - = 0
2 � L �ł
dt dt C
dt �ł
Um j�ł� -arctg R �ł
�ł łł
= e
j�
U = Ume
2
R2 + �2L2
z
d i di duz = Um�C cos(�t +�)
LC + RC + i = C
Um � L Um
dt dt �ł � L �ł
dt2
i(t)= sin�ł�t +� - arctg �ł i(0)= sin�ł� - arctg �ł
�ł �ł
2 2
R
łł
R2 + � L2 �ł R2 + � L2 �ł R łł
19 20
Wyłączenie zwarcia Wyłączenie zwarcia
�L
równanie bezwymiarowe
� = 0
R =
Przykładowe wartości arctg = 60o 1 L
2
R 20 C
d Ń RC dŃ
+ +Ń = cos� LC�
2
d�
d� LC
�L
= 3
R
3 Um
Um � L �ł
3 Um
-
i(0)= sin�ł - arctg �ł
�ł
= -
3 1
i(0)
2 4 R
4 R
� L2 �ł R łł Ń(0)= = = -
R 1+ 4 �RC
Um�C Um�C
R2
LC 3 Um 3 1
dŃ LC di
di - Ri(0) Um
3
= =
=
= =
Um�C 4 L 4
d� Um�C dt � LC
dt L 4 L
� =0+ t=0+
t=0+
2
d i di
1 d�
du d(Um� ) d�
LC + RC + i = U �C cos�t
m Ń =
i = C ŃUm�C = C
2
dt
dt
d�
dt d� dt � LC
zmienne bezwymiarowe
�L 3
= 3 � LC =
R 20
t i
u
� = Ń =
� =
Um�C 1 L 3
LC Um
R = �RC =
20 C 400
21 22
Wyłączenie zwarcia Wyłączenie zwarcia
2 I j
w j90
d Ń 1 dŃ 3
Św = = H" j1 = 1e
+ +Ń = cos �
2 Um�C
3 3
20 d� 20
d�
1- + j
400 400
2
Ń(0) = -100 Ń (0) = 5
�ł �ł �ł �ł
3 3
�ł
Ńw(� ) = sin�ł � + 90�ł = cos�ł �
20 d� �ł �ł �ł �ł
20 20
Ń = �ł łł �ł łł
d�
3
�
- �ł �ł
3
1 1 1
40
�ł
2 Ń(� )= e (A1 cos� + A2 sin� )+ cos�ł �
� = =
1- � H" 1
�ł �ł
20
2 20 40
�ł łł
� Ń(0)= A1 +1 = -100
A1 = -101
-
40
Ńp(� )= e (A1 cos� + A2 sin� )
1
2
Ń (0)= - A1 + A2 = 5 A2 = 7,525
40
składowa wymuszona
�
R
Iw �L
- �ł �ł
3
Um j�C
U 40
�ł
z Ń(� ) = e (-101cos� + 7.525sin� )+ cos�ł �
=
I =
�ł �ł
w 20
1 �ł łł
1-�2LC + j�RC
R + j�L + 1 .
�
- �ł �ł
j�C Uz U
3
Um j�C 40
�ł
�C = 101,3e sin(� - 85,7o)+ cos�ł �
=
�ł �ł
20
�ł łł
3 3
1- + j
400 400
23 24
Wyłączenie zwarcia Wyłączenie zwarcia
20 d�
Ń =
d�
3
� �
�
przebieg prądu - �ł �ł
3 3
3
40
� = )d� + �(0)=
+"101,3e sin(� - 85,7o)+ cos�ł � �łd� + 0
�ł �ł
100 100 +"Ń(�
20 20
20
�ł łł
0
0
�
- �ł �ł
3
40
�ł
= 8,77e sin(� -177,1o)+ sin�ł �
50 50
�ł �ł
20
�ł łł
przebieg napięcia
0 0
0 50 100 150 0 100 200 300 10
10
� �
-50 -50
5
5
-100 -100
0
0
0 100 200 300
0 50 100 150
�
�
-5
-5
-10
-10