2
Stan ustalony i stan przejściowy
Stan ustalony
Podstawy elektrotechniki
W obwodzie prądu stałego
" Wartości prądów i napięć nie ulegają zmianie
W obwodzie prądu zmiennego
" Wartości średnie i skuteczne prądów i napięć nie ulegają zmianie
" Prądy i napięcia są funkcjami okresowymi o takiej samej
częstotliwości, jak częstotliwość wymuszenia
Stan nieustalony (przejściowy)
" Prądy i napięcia są nieokresowymi funkcjami czasu
3 4
Stan ustalony i stan przejściowy Stan przejściowy (nieustalony)
Prąd w stanie
i(t) = ip (t) + iw (t)
Czynniki wywołujące stan nieustalony
przejściowym
" Procesy łączeniowe (zmiana struktury obwodu, komutacja)
Składowa
Składowa
zmiany pozycji łączników,
przejściowa
wymuszona
występowanie zwarć i przerw w obwodzie (uszkodzenia, praca
"
bezpieczników),
ip (t) �łt�ł0
�ł
inne czynności łączeniowe,
"
i(t) �łt�łiw (t)
�ł
wyładowania atmosferyczne.
W obwodzie prądu stałego lub sinusoidalnego:
" Zmiany parametrów elementów obwodu
Składowa ustalona
z
ródła: zmiana napięcia, częstotliwości , fazy
iw (t) = iu (t)
elementy bierne: zmiana rezystancji, indukcyjności, pojemności,
zmiana charakterystyki
Stan nieustalony jest przejściem obwodu z dotychczasowego stanu
ustalonego do nowego stanu ustalonego
5 6
Warunki ciągłości Włączenie napięcia stałego do gałęzi RL
t=0
Energia zawarta w polu magnetycznym cewki lub polu elektrycznym
R
i U - uR - uL = 0
z
kondensatora nie może ulec zmianie w sposób skokowy.
di
U - Ri - L = 0
L
z
i Uz L
Li2 Dla t=t0: dt
lim i(t) = lim i(t)
- +
E =
tt0 tt0
di R U
2 równanie różniczkowe I rzędu
z
+ i =
liniowe o stałych współczynnikach
dt L L
Prąd indukcyjności jest funkcją
- +
i(t0 ) = i(t0 )
i = ip + iw
ciągłą
całka ogólna równania całka szczególna równania
C
jednorodnego niejednorodnego
Cu2
Dla t=t0: lim u(t) = lim u(t) R R
E =
- +
tt0 t t0 Równanie charakterystyczne: r + = 0 r = -
2
L L
u
R
- t
L
całka ogólna: ip = Ae  stała całkowania
A
- +
u(t0 ) = u(t0 )
Napięcie kondensatora jest
funkcją ciągłą
iw = I
przewidywana całka szczególna:
7 8
Włączenie napięcia stałego do gałęzi RL Włączenie napięcia stałego do gałęzi RL
U
U U
z z
z rozwiązania ogólnego: 0 = Ae0 + A = -
dI R U U
L
R R
po podstawieniu I do równania: + I = I = =
R
dt L L R
t t
- �ł - �ł
U U U
z z z
L T
�ł1- T �ł
Rozwiązanie: - e + = e
i(t)=
U
�ł �ł
R R R
iw =
�ł łł
R
t
U U
z z
- e- T +
R
- t
U
R R
L U
z
rozwiązanie ogólne: i = Ae +
R
R
L t
U
z
= T - stała czasowa przebiegu
t e- T
-
U
R
przejściowego
T R
i = Ae +
R
t
T
t
i(0- ) = i(0+ ) U
Z ciągłości prądu w indukcyjności:
z
- e- T
U
z
R
= i(0) -
i(0- ) = 0 i(0+ ) = 0
R
warunek początkowy: i(0) = 0
0=
9 10
Włączenie napięcia stałego do gałęzi RL Włączenie napięcia stałego do gałęzi RL
t t
L
di R U
�ł
z U - �ł �ł - �ł
z
+ i =
�ł1- T �ł �ł1- T �ł
uR = Ri = R e = U e
z
R
dt L L �ł �ł �ł �ł
R
�ł łł �ł łł
t t t
L di U
�łU z - �ł
łł
z �ł -
d
di
+ i =
�ł1- e T �łśł = L U z 1 e-T T
= L
uL = L �ł
R dt R
�ł �łśł R T = U ze
dt R
dt
iw �ł
�ł łł
�ł �ł
T
stała czasowa przebiegu składowa wymuszona w
przejściowego obwodzie prądu stałego
t
Uz
-
T
Ae ip
uR
składowa przejściowa
w obwodzie I rzędu
uL
t
T
11 12
A
adowanie kondensatora A
adowanie kondensatora
du
i = C
t =0 U - Ri - u = 0 t t t
du d -1 U
R
z
i
dt = = e-T
i = C = C (-U e-T +U ) -CU e-T z
z z z
dt dt RC R
du
U - RC - u = 0
z t
dt
Uz C u
u(t) = -U e-T +U
z z
du
RC + u = U
z
u, i
dt
u(0) = 0
T
uw
u = u + uw
p U
z
t
U
u (t) = Ae-T
Składowa przejściowa: z
p
R
t
rozwiązanie ogólne:
u(t) = Ae-T +U
z
A = -U
z warunków początkowych: u(0) = Ae0 +U = 0
z
z
0
t
t
T
u(t) = -U e-T +U
z z
13 14
Wyłączenie napięcia zasilającego Wyłączenie napięcia zasilającego
t=0 L
Warunek początkowy stan ustalony
i
di
L + R1i + R2i = 0
(obwód prądu stałego)
dt
t<0
L
i
i = I = const.
Uz R1 R2
di
L + (R1 + R2)i = 0
di
uL
dt
uL = L = 0
Uz R1 u1 u2 R2
dt
L di
R1 = ąR2
+ i = 0
u1 = u2 = U
z
T
R1 + R2 dt
U
z
L L i(0- ) =
T = =
R2
R1 + R2 (1+ą)R2
z ciągłości prądu w indukcyjności:
U
t
z
i(0+ ) = i(0- ) =
ip (t) = Ae- T
iw (t) = 0
R2 A = U z
0 R2
t
- U
z
t
T
i(t) = e- T
i(0+)= Ae
i(t) = Ae- T
R2
15 16
Włączenie odbiornika
Wyłączenie napięcia zasilającego
t =0
R
t
L
U
i
u1(t) = R1i(t) = ąR2 z e- T
R2
u0 uL
t
Uz C u R0
Uz R1 u1 R2 u1(t) = ąU e- T
z
t
=
u0 (t) = u1(t) +U ąU e- T +U
z z
z
R = ąR0
Zastosowanie tw. Thevenina
dla ą=10
t
di U -1
z
u0(t) uL(t)
11U
uL (t) = L = L e- T
z
R
10U R0 1
dt R2 T
z
u1(t)
UT = U = U
z
Uz UT R0
R + R0 z ą +1
t
U -1
z
= L e- T
U
R2 L
z
t (1+ą)R2
T
R
RR0 ąR0
t
RT = =
uL (t) = -(1+ą)U e- T RT R0
z
R + R0 ą +1
-11U
z
17 18
Włączenie odbiornika Włączenie odbiornika
t
U
z
Schemat zastępczy dla te"0
Rozwiązanie ogólne: u(t) = Ae- T +
ą +1
RT
du
U
RTC + u = UT z
u(0) = A + = U
z
dt
ą +1
UT C u
ą
ąR0 du U
z
A = U
C + u = z
ą +1
ą +1 dt ą +1
uw
T
t
ą U
z
Rozwiązanie końcowe: u(t) = U e- T +
z
Warunek początkowy
ą +1 ą +1
Schemat dla t<0
R i0
R
u
i0 (t) =
u(0-)= U
z
R0
Uz C u R0
Uz C u u(0- ) = u(0+ )
Z ciągłości napięcia: t
ą U 1 U
z z
= e- T +
u(0) = U
ą +1 R0 ą +1 R0
z
19 20
Włączenie odbiornika Włączenie odbiornika
dla ą=0,25
t t
U -
du ą -1 t
z
T
t
=
i(t) = C = U e- T ą U z ą +1 e- T - e U U
z = -
z z
i0 = 0,2 e- T + 0,8
dt ą +1 T R0
ą +1 R0 ą
U
R0 R0
z
i0
R0
U
t t t
z
ą U 1 U U U
0,8
z z z z
iR = i + i0= e- T + - e- T i = - e- T R0
ą +1 R0 ą +1 R0 R0 R0
iR
U
t t z �ł1- t �ł
1 U 1 U 1 U
iR = 0,8 e- T �ł
z z z �ł1- e- T
�ł �ł
= - e- T + =
�ł �ł
�ł łł
R0
�ł łł
ą +1 R0 ą +1 R0 ą +1 R0
t
T
R iR i0 R iR i0 i
U
z
Uz C u R0 Uz C u R0 -
R0
i i