2
Układy wielofazowe
Układ n-fazowy
Zbiór n obwodów elektrycznych (faz), w których działają napięcia z
ródłowe sinusoidalne o
Podstawy elektrotechniki
jednakowej częstotliwości, przesunięte w fazie i wytwarzane przeważnie w jednym z
ródle
energii  generatorze wielofazowym
Dla n=3  układ trójfazowy
n-fazowy symetryczny układ napięć
u1 = U1m sin(�t + �1)
UNm = Um
u2 = U2m sin(�t + �2) N = 1,2Kn
2Ą
�N = -(N -1)
u3 = U3m sin(�t + �3)
n
Trójfazowy symetryczny układ napięć zasilających
W postaci zespolonej
uA = Um sin �t
UA = Uf ej0
2Ą
�ł
2Ą
2Ą
uB = Um sin�ł�t - �ł
- j - j
�ł
3
3
= UAe
3 UB = Uf e
�ł łł
2Ą
2Ą
j
4Ą 2Ą j
�ł �ł
3
3
uC = Um sin�ł�t - �ł �ł �ł = UAe
= Um sin�ł�t +
�ł
UC = Uf e
3 3
�ł łł �ł łł
3 4
Symetryczny układ napięć 3-fazowych Układ trójfazowy
Układ 3-fazowy nieskojarzony
UA
uA uB uC
IA =
IA ZA
UC
UA ZA
UB
IB =
2Ą
ZB
ZB
UA UC
2Ą
3
�t UC
3
2Ą
ZC IB IC =
IC UB
3 ZC
Układ 3-fazowy skojarzony
IN = IA + IB + IC
UB IA
UA
ZA
1) UA, UB, UC - symetryczny
IN
układ napięć
uA + uB + uC = 0 UA + UB + UC = 0
UC
ZB 2) ZA=ZB=ZC
ZC
UB
IB
IC Obwód 3-f symetryczny
5 6
Obwód 3-fazowy skojarzony symetryczny Układ gwiazda-gwiazda
j�
Zf = Zf e
IA IA Układ 4-przewodowy
UA UA
Zf Zf
UA = UA = UA ej(-�)
IN IA = IN
UC UC
Zf Zf ej� Zf
Zf Zf
IN = 0
UA
Zf Zf
UB UB
IA =
IA = IAej(-�)
IB IB
Zf
IC IC
2Ą UC
- j
2Ą
IC
3
�ł -�- �ł - Układ 3-przewodowy
UB UAe
UA j�ł �ł j2Ą
3 IA
�ł łł 3
IB = = = IAe -�
= e
UA
Zf Zf ej�
Zf
Zf
UA
2Ą
j
2Ą
UC
3 2Ą
�ł -�+ �ł -�
UC
UAe UA j�ł �ł j
Zf
3
�ł łł
IC = 3
= = e
= IAe
Zf IB -� IA
Zfej� Zf
Zf
UB
IB
IA + IB + IC = 0
IC
UB
IN = 0
7 8
Układ gwiazda-gwiazda Napięcia przewodowe
IA + IB + IC = 0
UA IA Zf
UA - V UB - V UC - V Ą
- UCA
+ + = 0
U0A
2
Zf Zf Zf
UAB UCA
5Ą
UC
UB
Zf
UA + UB + UC - 3V = 0
UA 6
V
IB U0B
UBC Ą
UA + UB + UC
UBC
6
V = = 0 Ą
Zf
UC
UB UAB = 2UA cos
3 = UA 3
6
UAB
IC U0C
Ą
U = Uf 3
UCA
6
Napięcia przewodowe
UC
Ą
Napięcia fazowe
(międzyprzewodowe, j
6
UA
UAB = Ue
międzyfazowe)
UBC
Ą
2Ą
Ą 2Ą
U0A = UA UAB = UA - UB �ł
- j
j�ł - �ł - j
�ł
2
3
6 3
�ł łł
UBC = Ue
= UABe
= Ue
UB
U0B = UB UBC = UB - UC
UAB 5Ą
2Ą
Ą 2Ą �ł
j
j
j�ł +
U0C = UC UCA = UC - UA �ł �ł
6
3
6 3
�ł łł
UCA = Ue
= UABe
= Ue
9 10
Układ gwiazda-trójkąt y
ródło połączone w trójkąt
Prądy przewodowe (liniowe)
UA IA
IA IA Zf
IA, IB, IC IA = IB = IC = I
ICA
ICA
UA
UAB UCA Z Prądy fazowe
Z
UAB
UAB
UB
Zf
IAB
UAB IAB
Z
IAB = Z
UCA
UCA
IB
IB IB
Z
2Ą
Z
- j
UBC Z
UBC UBC
UC
UBC = UABe 3 IABe- j2Ą
Zf
IBC 3
IBC
=
IBC =
Z
Z
IC
2Ą IC IC
j
2Ą
3
j
UCA UABe
3
UAB UA
UAB - jĄ 1
IA = IABe
ICA = =
6
IAB = IA =
= e
Z Z
Z Zf 3
Zf
ICA
2Ą 2Ą
- j j
IAB
IAB = IBC = ICA = If
3 3
IBC = IABe ICA = IABe
IC
Ą
IA = IAB - ICA
- j
6
IBC IA = IAB 3e
IB = IBC - IAB
IB 2Ą 2Ą
- j j
3 3
I = If 3 IC = ICA - IBC IB = IAe IC = IAe
11 12
Moc chwilowa odbiornika 3-fazowego Moc chwilowa odbiornika 3-fazowego
iA Zf p = pA + pB + pC iA Zf pA pC pB
= Ufm sin(�t + �u ) Ifm sin(�t + �i )
pA = uAiA
uA uA
cos(ą - �) - cos(ą + �)
iB Zf iB Zf
sin ą sin � =
2
uB uB
uA
cos(�u - �i ) - cos(2�t + �u + �i )
pA = UfmIfm
iC Zf iC Zf
2
�t
0
= Uf If [cos(�u - �i ) - cos(2�t + �u + �i )]
2Ą
uC uC
2Ą 2Ą
pB = uBiB= Ufm sin(�t + �u - ) Ifm sin(�t + �i - )
p = 3Uf If cos(�u - �i ) -
3 3
4Ą
= Uf If �łcos(�u - �i ) - cos(2�t + �u + �i - )łł 4Ą
�ł śł
Uf If [cos(2�t + �u + �i )]- Uf If �łcos(2�t + �u + �i - )łł -
3
�ł �ł
�ł śł
3
�ł �ł
2Ą 2Ą
pC = uCiC= Ufm sin(�t + �u + ) Ifm sin(�t + �i + ) =0
4Ą
3 3
Uf If �łcos(2�t + �u + �i + )łł
4Ą �ł śł
3
�ł �ł
= Uf If �łcos(�u - �i ) - cos(2�t + �u + �i + )łł
�ł śł
3
�ł �ł
13 14
Moc chwilowa odbiornika 3-fazowego Moc pozorna odbiornika 3-fazowego
IA Zf
iA Zf
S = UA I* + UBI* + UC I*
A B C
2Ą 2Ą
2Ą 2Ą
- j j
j - j
p = 3Uf If cos � = P
uA 3 3
UAB UCA UA 3 3
S = UA I* + UAe I* e
A A + UAe I* e
A
IB Zf
iB Zf
u
Ufm Ifm � = �u - �i = 3UA I* = 3Uf ej� If e- j�i = 3Uf If ej�
A
If =
Uf =
UB
uB
2
2 UBC
U
IC Zf
Uf = If = I
iC Zf S = 3UIej�
3
UC
uC
IA
S = UABI* + UBC I* + UCA I*
AB BC CA
ICA
2Ą 2Ą 2Ą 2Ą
UAB UCA Z - j j j - j
3 3 3 3
IB IAB S = UABI* + UABe I* e + UABe I* e
AB AB AB
Z
u
= 3UABI* = 3Uf ej� If e- j�i = 3Uf If ej�
AB
Z
UBC
IC IBC
I
S = 3UIej�
If = Uf = U
3
15 16
Moc pozorna odbiornika 3-fazowego Schemat zastępczy odbiornika 3-fazowego
Dane znamionowe
S = 3UIej� = 3UI(cos� + jsin �) = P + jQ
Pn  znamionowa moc czynna
Sn  znamionowa moc pozorna
Un  znamionowa napięcie zasilające (przewodowe)
P = 3UIcos� Q = 3UIsin �
cos�n  znamionowy współczynnik mocy
Un
Ufn Ufnej0 3Ufn j�n Ufn =
3Unf = 2
impedancja fazy odbiornika 3
Zf = = e-
�"
połączonego w gwiazdę n
3UfnIfn
Ifn Ifnej� 3Unf
Sn
�n = arccos(cos�n )
U2
n Pn
Zf = e- j�n
Sn =
Sn
cos�n
Charakter Charakter
U2 cos�n j�n
indukcyjny pojemnościowy n
Zf = e-
Pn
�n<0 �n>0
Pn
Ufn UfnSn Sn
n n
n
ej�
znamionowy prąd zasilający: In = = ej� = ej� =
Zf n 3Un 3Un cos�n
U2
17 18
3-fazowy układ elektroenergetyczny Schemat zastępczy układu 3-fazowego
L1
4
L2
1
L1
L3
L2
<" <" <"
Sn, Un1/Un2, xz%
L3
N
L1
<" <" <"
I=0
L2
G
2 L3
odb2
I=0
Sn, Un, eG, x% odb1 Qn, Un <" <" <"
Pn, Un, cos�n N
L1
L2
<"
L3
3
<" <" <" schemat zastępczy 1-fazowy
N
19 20
Pole wirujące Pole wirujące
B = BA + BB + BC = Bm sin �t +
BA = Bm sin �t
iA = Im sin �t
BA BB BC
Bm[cos(-120�)+ jsin(-120�)]�"[sin(�t)cos(-120�)+ cos(�t)sin(-120�)]+
BB = Bm sin(�t -120�)
iB = Im sin(�t -120�)
BC = Bm sin(�t +120�) Bm[cos(120�)+ jsin(120�)]�"[sin(�t)cos(120�)+ cos(�t)sin(120�)]=
iC = Im sin(�t +120�)
iA iB iC
3 3
BA + BB + BC = 0 -�t)
Bm[sin(�t) + jcos(�t)]= Bmej(90�
Im
2 2
Im
90�-�t
B
BB
BA = Bmej0� sin �t
Re
Re
BB = Bme- j120� sin(�t -120�)
BA 3
Bm
BC
2
BC = Bmej120� sin(�t +120�)