Zastosowania do równań czastkowych

(1) Rozwiazania radialne

"u = f(u)
w zbiorze radialnie symetrycznym np. kuli B(0, R). Szukamy rozwiazań po-

staci
u(x) =v(||x||),
gdzie v : [0, ") R. Wtedy
xi x2 v 1 xi
ux = v � , ux xi = v i + - v � xi
i i
||x|| ||x||2 ||x|| ||x||2 ||x||
n - 1
"u = v + v ,
||x||
wiec równanie na funkcje v ma postać

n - 1
v (r) + v (r) =f(v).
r
Dodatkowe żadanie

v (0) = 0.
(2) Rozdzielanie zmiennych
utt - c2uxx =0, u(t, 0) = 0 = u(t, Ą),
u(0, x) =�(x), ut(0, x) =�(x).
Szukamy rozwiazań wpostaci u(t, x) =f(t) � g(x). Stad

f (t)g(t) =c2f(t)g (x),
wiec

f (t) g (x)
= =const.
c2f(t) g(x)
Szukamy g takiej, że
g (x) - g(x) =0, g(0) = 0 = g(Ą)
i g jest niezerowa (Zagadnienie Sturma-Liouville a). Stad  = n = n2 i

g = gn =sin nx. Odpowiednio fn(t) =an exp(ct) +bn exp(-ct).
1
Jeśli poszukamy rozwiazania w postaci

"

u(t, x) = fn(t)sinnx,
n=1
to wystarczy dobrać stale an, bn tak, by spe by warunki poczatkowe.
lnione ly

(3) Fale wedrujace

ut - uxx = ku(1 - u)
u(t, x) =v(x + ct)
v - cv + kv(1 - v) =0

v = w
w = -kv(1 - v) +cw
Dla c >0, k " (0, c/2) w punkcie (0, 0) jest weze niestabilny, a dla k >c/2
l

ognisko niestabilne. W punkcie (1, 0) jest siod bo sa dwie wartości w
lo, lasne
macierzy

0 1
k c
"
c ą c2 +4k
1,2 =
2
Podprzestrzeńwlasna odpowiadajaca ujemnej wartości w 2 jest rozpieta
lasnej

przez wektor [1, 2].
2
0.4
w
0.2
0
 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
v
 0.2
 0.4
3