2009-05-04
Proces Poissona -
model pojawiania się szkód
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
Semestr letni 2008/2009
R. A
ochowski
Rozkład wykładniczy  rozkład czasu
oczekiwania na 1. szkodÄ™
" Założenie: prawdopodobieństwo wystąpienia
[t,t + "],
szkody na odcinku czasu o ile nie
nastąpiła wcześniej, zależy tylko od długości
tego odcinka "
" Wniosek: czas oczekiwania na szkodÄ™ ma
rozkład wykładniczy
P "
" Dowód: niech - prawdopodobieństwo
( )
[0,"]
wystÄ…pienia szkody na odcinku
-
oraz P "
1 = 1 - e wówczas dla wymiernych
( )
m
" = m / n Ò! 1 - P " = e- /n = e-"
( ) ( )
Rozkład wykładniczy  rozkład
czasu oczekiwania na 1. szkodÄ™, c. d.
" Niech oznacza moment wystÄ…pienia szkody,
T
wówczas prawdopodobieństwo, że szkoda
nastÄ…pi na odcinku czasowym [t,t + "]
wynosi
P T " [t,t + "] = 1 - P t iP "
( ) ( ( ) ( )
)
= e-t 1 - e-" = e-t - e- (t + ")
( )
P T e" t = e-t
( )
1
2009-05-04
Rozkład wykładniczy  rozkład z
brakiem pamięci
" Rozkład wykładniczy ma własność braku
pamięci, tzn.
P T e" t + ",T e" t
( )
P T e" t + " |T e" t =
( )
P T e" t
( )
P T e" t + "
( ) e-(t + ")
= = = e-" = P T e" "
( )
P T e" t e-t
( )
" Wniosek: czas oczekiwania na szkodÄ™ od
momentu t, jeśli nie nastąpiła do momentu t,
jest taki sam jak wcześniej i nie zależy od t
Proces pojawiania się szkód
" Niech oznacza moment pojawienia siÄ™
U
pewnej szkody,
U <" Exp 
( )
" Niech - moment pojawienia siÄ™ innej
V
szkody, niezależnej od poprzedniej, tak samo
szybko występującej
" Z własności braku pamięci i niezależności
P V e" U + " |V e" U = P V e" " = e-"
( ) ( )
" Podobnie
P U e" V + " | U e" V = P U e" " = e-"
( ) ( )
Proces pojawiania się szkód, c.d.
T1
" Niech oznacza moment pojawienia siÄ™
pierwszej szkody
P T1 e" t = P U e" t & V e" t =
( ) ( )
= P U e" t iP V e" t = e-t ie-t = e-2t
( ) ( )
" Niech oznacza moment pojawienia
T1 + "T
siÄ™ drugiej szkody
P "T e" t = P T1 + "T e" T1 + t
( ) ( )
= P U e" V + t | U e" V iP U e" V
( ) ( )
+P V e" U + t |V > U iP V > U = e-t
( ) ( )
2
2009-05-04
Inny model pojawiania się szkód
" Niech T1,T2,...
będą niezależnymi zmiennymi
losowymi o rozkładzie wykładniczym
" Inny model zakłada, że czas oczekiwania na n.
szkodÄ™ wynosi
Wn = T1 + T2 + ... + Tn
Wn “ n,
" Zmienna ma rozkład ( )
n t x
P Wn d" t = xn-1e- dx
( )
+"
0
n
( - 1 !
)
Proces Poissona
Nt
" Proces Poissona to funkcja, która
argumentowi t przyporzÄ…dkowuje zmiennÄ…
losowÄ…
Nt = # n :T1 + ... + Tn d" t = max n :Wn d" t
{ } { }
" Nt jest zatem równe liczbie szkód, które
nastąpiły do momentu t
Nt ?
" Jaki jest rozkład zmiennej
P Nt = k = P Wk d" t & Wk +1 > t
( ) ( )
= P Wk d" t - P Wk d" t & Wk +1 d" t
( ) ( )
Rozkłady w procesie Poissona
" Rozkład zmiennej Nt :
P Nt = k = P Wk d" t - P Wk +1 d" t
( ) ( ) ( )
k
t
 k +1 t
= xk -1e-xdx - xke- xdx
+" +"
0 0
k
( - 1 ! k !
)
k
t ëÅ‚ öÅ‚
 xk
= xk -1 - e- xdx
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
0
k
( - 1 ! k
)
íÅ‚ Å‚Å‚
k
t
îÅ‚ Å‚Å‚ ( )
k t d xk
= e- x
ïÅ‚ śłdx = e-t
+"
0
k
( - 1 ! dx k k !
)
ðÅ‚ ûÅ‚
3
2009-05-04
Rozkłady w procesie Poissona, c.d.
Nt
" Wniosek: zmienna ma rozkład Poissona
t
o wartości oczekiwanej
" Wniosek: dystrybuanta rozkładu Erlanga
“ n,
( )
wynosi
P Wn d" t = P Nt e" n
( ) ( )
n-1
= 1 - P Nt = k
( )
"
k =0
2 n-1
ëÅ‚ öÅ‚
t t
( ) ( )
÷Å‚
= 1 - e-t ìÅ‚1 + t + + ... +
ìÅ‚ 2 n
( - 1 !÷Å‚
)
íÅ‚ Å‚Å‚
Własności procesu Poissona
Nt + " - Nt Ns s
" Rozkład zmiennej nie zależy od d"t
( )
i jest taki sam jak rozkład zmiennej
N"
(niezależność i stacjonarność przyrostów)
P Nt + " - Nt = k
( )
= P # n :T1 + T2 + ... + Tn " t,t + "ûÅ‚ = k
Å‚Å‚
( { ( } )
= P n :TN +1 + TN +2 + ... + TN +n " 0,"Å‚Å‚ = k
(
{
(# } )
ûÅ‚
t t t
k
"
( )
= P N" = k = e-"
( )
k !
Niejednorodny proces Poissona
" Dana jest funkcja
h : îÅ‚0, +" îÅ‚0, +"
) )
ðÅ‚ ðÅ‚
" Niejednorodnym procesem Poissona o funkcji
intensywności h nazywamy proces Pt o
przyrostach niezależnych, dla którego zachodzi
Pt + " - Pt ~ Poi  t,t + " ,
( ( ))
gdzie
t + " +"
 t,t + " = h u du < +", h u du = +"
( ) ( ) ( )
+" +"
t 0
h a" 
" Jednorodny proces Poissona dostajemy dla
4