Metody energetyczne zastosowanie twierdzenia Castigliano Zad 1(1)


Opracował: dr inż. Mariusz Leus
T: Metody energetyczne  zastosowanie twierdzenia Castigliano do wyznaczania
przemieszczeń
Zadanie 1.
Dla belki obciążonej siłą P wyznaczyć stosując twierdzenie Castigliano przemieszczenie i kąt obrotu
przekroju w punkcie C.
Dane: P, l, EJ = const
Szukane: yC = ? , ÅšC = ?
I. Wyznaczenie ugięcia w punkcie C
Ugięcia w punkcie C:
"V
yC =
"P
Uwzględniając tylko energię od zginania otrzymujemy:
l l / 2
1 1
2 2
v = v1 + v2 =
g(x1) g(x2 )
+"M dx1 + 2EJ +"M dx2
2EJ
0 0
l l / 2
"Mg(x "Mg(x
1 1
1 2
yC =
g(x1) g(x2 )
+"M "P ) dx1 + EJ +"M "P ) dx2
EJ
0 0
1. Równania równowagi
l P
a) = 0
; RA Å" l + P Å" = 0; RA = -
"MB
2 2
3l 3P
b) = 0 - RB Å" l + P Å" = 0; RB =
;
"MA
2 2
Sprawdzenie:
"F = RA + RB - P = - P + 3P - P = 0
y
2 2
2. Momenty gnące w poszczególnych przedziałach
Przedział I: 0 d" x1 d" l
- 1 -
Opracował: dr inż. Mariusz Leus
P
Mg(x ) = RA Å" x1 = - Å" x1
1
2
Przedział II: 0 d" x2 d" l / 2
Mg(x ) = -P Å" x2
2
3. Pochodne momentów gnących po sile skupionej P
"Mg(x ) x1 "Mg(x )
1 2
= - ; = -x2
"P 2 "P
4. Obliczenie ugięcia belki w punkcie C
l
1 P 1
öÅ‚ dx l / 2
ëÅ‚ ëÅ‚- x1
yC =
÷Å‚
1
+"ìÅ‚- Å" x1öÅ‚ Å" ìÅ‚ 2 ÷Å‚ + EJ +"(- P Å" x2)Å"(- x2) dx2
EJ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
l l / 2
1 P 1
2 2
yC = Å" x1 dx1 +
+" +"P Å" x2 dx2
EJ 4 EJ
0 0
3 3
îÅ‚P l x2 l / 2 Å‚Å‚
1 x1
yC = ïÅ‚ Å" + P Å" śł
EJ 4 3 3
ïÅ‚ śł
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 P P
îÅ‚ Å‚Å‚
3 3
yC =
ïÅ‚12 Å" l + 24 Å" l śł
EJ
ðÅ‚ ûÅ‚
3
Pl
yC =
8EJ
II. Wyznaczenie kÄ…ta obrotu przekroju w punkcie C
KÄ…ta obrotu przekroju w punkcie C:
"V
ÅšC =
"Mf
Uwzględniając tylko energię od zginania otrzymujemy:
l l / 2
1 1
2 2
v = v1 + v2 =
g(x1) g(x2 )
+"M dx1 + 2EJ +"M dx2
2EJ
0 0
l l / 2
"Mg(x "Mg(x
1 1
1 2
ÅšC =
g(x1) g(x2 )
+"M "Mf ) dx1 + EJ +"M "Mf ) dx2
EJ
0 0
- 2 -
Opracował: dr inż. Mariusz Leus
1. Równania równowagi
l Mf P
a) = 0
; RA Å" l + P Å" - Mf = 0 ; RA = -
"MB
2 l 2
3l Mf 3P
b) = 0 - RB Å" l + P Å" - Mf = 0 ; RB = - +
;
"MA
2 l 2
Sprawdzenie:
"F = RA + RB - P = Mf - P - Mf + 3P - P = 0
y
l 2 l 2
2. Momenty gnące w poszczególnych przedziałach
1) Przedział I: 0 d" x1 d" l
Mf P
ëÅ‚ öÅ‚
Mg(x ) = RA Å" x1 = - ÷Å‚
Å" x1
ìÅ‚
1
l 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2) Przedział II: 0 d" x2 d" l / 2
Mg(x ) = Mf - P Å" x2
2
3. Pochodne momentów gnących po momencie Mf
"Mg(x ) x1 "Mg(x )
1 2
= ; = 1
"Mf l "Mf
4. Obliczenie kÄ…ta obrotu przekroju w punkcie C
l l / 2
1 Mf P x1 1
ëÅ‚ öÅ‚
ÅšC =
f
+"ìÅ‚ - ÷Å‚ Å" x1 Å" l dx1 + EJ +"(M - P Å" x2)Å" (1) dx2
EJ l 2
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
l l / 2
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 P x1 ÷Å‚ 1
ÅšC =
+"ìÅ‚- Å" Å‚Å‚ + EJ +"(- P Å" x2) dx2
ìÅ‚ ÷Å‚ dx1
EJ 2 l
0 íÅ‚ 0
l l / 2
3 2
îÅ‚
1 P x1 x2 Å‚Å‚
ÅšC = ïÅ‚- Å" - P Å" śł
EJ 2 3l 2
ïÅ‚ śł
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 P P
îÅ‚- Å" l 2 - Å" l 2 Å‚Å‚
ÅšC =
ïÅ‚ śł
EJ 6 8
ðÅ‚ ûÅ‚
2
7Pl
ÅšC = -
24EJ
- 3 -


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metody energetyczne zastosowanie twierdzenia Menabre a Zad 1(1)
Metodyka szkoleń z zastosowaniem webcastu
27 Ulepszanie podłoża gruntowego, metody wykonawstwa, zastosowania, technologie
16 Metody energetyczne
WM Metody energetyczne
Prąd Stały Wzory, Twierdzenia, Metody Obliczeniowe
metody obliczeniowe zad
8291 zastosowanie miskanta olbrzymiego jako rosliny energetycznej
Analiza stateczności ścianki szczelnej z zastosowaniem Metody Różnic Skończonych

więcej podobnych podstron