Opracował: dr inż. Mariusz Leus
T: Metody energetyczne  zastosowanie twierdzenia Castigliano do wyznaczania
przemieszczeń
Zadanie 1.
Dla belki obciążonej siłą P wyznaczyć stosując twierdzenie Castigliano przemieszczenie i kąt obrotu
przekroju w punkcie C.
Dane: P, l, EJ = const
Szukane: yC = ? , ÅšC = ?
I. Wyznaczenie ugięcia w punkcie C
Ugięcia w punkcie C:
"V
yC =
"P
Uwzględniając tylko energię od zginania otrzymujemy:
l l / 2
1 1
2 2
v = v1 + v2 =
g(x1) g(x2 )
+"M dx1 + 2EJ +"M dx2
2EJ
0 0
l l / 2
"Mg(x "Mg(x
1 1
1 2
yC =
g(x1) g(x2 )
+"M "P ) dx1 + EJ +"M "P ) dx2
EJ
0 0
1. Równania równowagi
l P
a) = 0
; RA Å" l + P Å" = 0; RA = -
"MB
2 2
3l 3P
b) = 0 - RB Å" l + P Å" = 0; RB =
;
"MA
2 2
Sprawdzenie:
"F = RA + RB - P = - P + 3P - P = 0
y
2 2
2. Momenty gnące w poszczególnych przedziałach
Przedział I: 0 d" x1 d" l
- 1 -
Opracował: dr inż. Mariusz Leus
P
Mg(x ) = RA Å" x1 = - Å" x1
1
2
Przedział II: 0 d" x2 d" l / 2
Mg(x ) = -P Å" x2
2
3. Pochodne momentów gnących po sile skupionej P
"Mg(x ) x1 "Mg(x )
1 2
= - ; = -x2
"P 2 "P
4. Obliczenie ugięcia belki w punkcie C
l
1 P 1
öÅ‚ dx l / 2
ëÅ‚ ëÅ‚- x1
yC =
÷Å‚
1
+"ìÅ‚- Å" x1öÅ‚ Å" ìÅ‚ 2 ÷Å‚ + EJ +"(- P Å" x2)Å"(- x2) dx2
EJ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
l l / 2
1 P 1
2 2
yC = Å" x1 dx1 +
+" +"P Å" x2 dx2
EJ 4 EJ
0 0
3 3
îÅ‚P l x2 l / 2 Å‚Å‚
1 x1
yC = ïÅ‚ Å" + P Å" śł
EJ 4 3 3
ïÅ‚ śł
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 P P
îÅ‚ Å‚Å‚
3 3
yC =
ïÅ‚12 Å" l + 24 Å" l śł
EJ
ðÅ‚ ûÅ‚
3
Pl
yC =
8EJ
II. Wyznaczenie kÄ…ta obrotu przekroju w punkcie C
KÄ…ta obrotu przekroju w punkcie C:
"V
ÅšC =
"Mf
Uwzględniając tylko energię od zginania otrzymujemy:
l l / 2
1 1
2 2
v = v1 + v2 =
g(x1) g(x2 )
+"M dx1 + 2EJ +"M dx2
2EJ
0 0
l l / 2
"Mg(x "Mg(x
1 1
1 2
ÅšC =
g(x1) g(x2 )
+"M "Mf ) dx1 + EJ +"M "Mf ) dx2
EJ
0 0
- 2 -
Opracował: dr inż. Mariusz Leus
1. Równania równowagi
l Mf P
a) = 0
; RA Å" l + P Å" - Mf = 0 ; RA = -
"MB
2 l 2
3l Mf 3P
b) = 0 - RB Å" l + P Å" - Mf = 0 ; RB = - +
;
"MA
2 l 2
Sprawdzenie:
"F = RA + RB - P = Mf - P - Mf + 3P - P = 0
y
l 2 l 2
2. Momenty gnące w poszczególnych przedziałach
1) Przedział I: 0 d" x1 d" l
Mf P
ëÅ‚ öÅ‚
Mg(x ) = RA Å" x1 = - ÷Å‚
Å" x1
ìÅ‚
1
l 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2) Przedział II: 0 d" x2 d" l / 2
Mg(x ) = Mf - P Å" x2
2
3. Pochodne momentów gnących po momencie Mf
"Mg(x ) x1 "Mg(x )
1 2
= ; = 1
"Mf l "Mf
4. Obliczenie kÄ…ta obrotu przekroju w punkcie C
l l / 2
1 Mf P x1 1
ëÅ‚ öÅ‚
ÅšC =
f
+"ìÅ‚ - ÷Å‚ Å" x1 Å" l dx1 + EJ +"(M - P Å" x2)Å" (1) dx2
EJ l 2
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
l l / 2
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 P x1 ÷Å‚ 1
ÅšC =
+"ìÅ‚- Å" Å‚Å‚ + EJ +"(- P Å" x2) dx2
ìÅ‚ ÷Å‚ dx1
EJ 2 l
0 íÅ‚ 0
l l / 2
3 2
îÅ‚
1 P x1 x2 Å‚Å‚
ÅšC = ïÅ‚- Å" - P Å" śł
EJ 2 3l 2
ïÅ‚ śł
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 P P
îÅ‚- Å" l 2 - Å" l 2 Å‚Å‚
ÅšC =
ïÅ‚ śł
EJ 6 8
ðÅ‚ ûÅ‚
2
7Pl
ÅšC = -
24EJ
- 3 -