Metody energetyczne
Metoda Maxwella  Mohra
Układy statycznie niewyznaczalne
Metoda sił
Zasada minimum energii
2
1 N dx
dV = Ndu =
22EA
2
1 MSdx
Energia
dV = Msd� =
22GIS
sprężysta
2
układu
M dx
1
g
dV = M dŃ =
g
prętowego
22EI
2
1 �T dx
dV = TdvT =
22GA
2
Sila wewnętrzna
dV 1 ()
=
dx 2 Sztywnosc
()
2
2
dV 1 Ms
dV 1 N
=
Rozciąganie:
=
Skręcanie:
dx 2 GIs
dx 2 EA
2
2
dV 1 �T
M
dV 1
g
Ścinanie:
Zginanie: =
=
dx 2 GA
dx 2 EI
2
l
Sila wewnętrzna dx
()
V =
+"
2 Sztywnosc
()
0
l
2 l
2
N dx Ms dx
V =
V =
Rozciąganie:
Skręcanie:
+"
+"
2GIs
2EA
0
0
l
2
2
l
�T dx
M dx
g
V =
Ścinanie:
Zginanie:
V =
+"
+"
2GA
2EI
0
0
Jeśli siła wewnętrzna oraz sztywność nie zależą od x
2
Sila wewnętrzna dlugosc
()
V =
2 Sztywnosc
()
Jeśli N oraz EA nie zależą od x Jeśli Ms oraz GIs nie zależą od x
2
2
Ms l
N l
V =
Rozciąganie:
V =
Skręcanie:
2GIs
2EA
Jeśli Mg oraz EI nie zależą od x Jeśli T oraz GA nie zależą od x
2
2
�T l
M l
g
Ścinanie:
Zginanie: V =
V =
2GA
2EI
W przypadku ogólnym energia
sprężysta odkształcenia odcinka
pręta o długości dx będzie równa
sumie prac składowych sił
wewnętrznych N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz
na odpowiadających im
przemieszczeniach du, d�, d�y, d� ,
z
d�T, dwT.
Jeśli odcinek pręta o długości dx uznać za odrębny układ, to N, Ms,
Mgy, Mgz, Ty, Tz należy traktować jako siły zewnętrzne
1
dV = Ndu + Msd� + M dŃy + M dŃz + Tyd�T + TzdwT
()
gy gz
2
Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są następującymi
funkcjami składowych sił wewnętrznych
M dx
Msdx
Ndx
gy
d� =
dŃy =
du =
GIs
EIy
EA
M dx
�yTydx
�zTdx
gz
z
dŃz =
dwT =
d�T =
EIz
GA
GA
Otrzymamy zależność
2222
�#
1 NMs M gy M gz �yTy2 �zTz2 ś#
dV =+ + + + +
ś#ź#dx
ś#ź#
2 EA GIs EIy EIz GA GA
�# #
Energia sprężysta w pręcie prostym w
przypadku ogólnym
l
2222
�#
MM�yTy2
1 NMs �zTz2 ś#
gy gz
V =
+"ś# EA + GIs + EIy + EIz + GA + GA ź#dx
ś#ź#
2
0
�# #
Metody energetyczne wyznaczania
przemieszczeń
" Castigliana
" Maxwella-Mohra
Metoda Maxwella-Mohra
W celu określenia dowolnego uogólnionego przemieszczenia u w
prętowym układzie liniowosprężystym metodą Maxwell-Mohra
wykonamy następujące operacje:
" Wyznaczymy siły N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz w prętach układu, wywołane
obciążeniem rzeczywistym
" Obciążamy układ siłą jednostkową odpowiadającą
1
poszukiwanemu przemieszczeniu u i wyznaczamy N , Ms , M gy, M gz,
T y, T z , które wywołuje ona w prętach
1
W miejsce jednostkowej siły wprowadz
my siłę
uogólnioną o wartości P (P=0), która wywoła dodatkowo
siły wewnętrzne:
'' '
PN ', PMs, PM , PM , PTy', PTz'
gy gz
'
' '
�#ś#
(M + PM )2
(N + PN )2 (Ms + PMs)2
gy gy
++ +
ś#ź#
l
1
EA GIs EIy
1
V =
+"ś# (M + PM )2 �y(Ty + PTy' )2 �z (Tz + PTy' )2 ź#dx
ś#ź#
'
2
0
gz gz
ś#ź#
++
ś#ź#
EIz GA GA
�# #
"V
�#ś#
u =
ś#ź#
"P
�# #P=0
Metoda Maxwella-Mohra
''
l
''
�#
M M M M �yTy Ty'
NN Ms Ms gy gy �zTz Tz' ś#
gz gz
u =
+"ś# EA + GIs + EIy + EIz + GA + GA ź#dx
ś#ź#
0
�# #
W celu określenia przemieszczenia u metodą Maxwella-Mohra dla
dowolnego liniowosprężystego układu prętowego należy dokonać
sumowania całek, obliczonych dla poszczególnych przedziałów
(prętów).
Statycznie niewyznaczalne układy
prętowe
Układ prętowy jest statycznie niewyznaczalny, jeśli nie można określić
reakcji w podporach czy sił wewnętrznych w przekrojach prętów,
posługując się wyłącznie równaniami równowagi.
Liczba sił statycznie niewyznaczalnych, czyli hiperstatycznych, równa
różnicy między liczbą wszystkich sił niewiadomych, a liczbą równań
równowagi, określa stopień statycznej niewyznaczalności układu
prętowego.
Statycznie niewyznaczalne układy
prętowe
Rozwiązanie każdego zadania statycznie niewyznaczalnego oprócz
wykorzystania warunków równowagi wymaga uwzględnienia
geometrycznych i fizycznych aspektów odkształcalności ciała.
Formułuje się w tym celu trzy grupy zależności:
A. Równania równowagi,
B. Warunki geometryczne
C. Związki fizyczne
Wyróżnić można dwie podstawowe metody rozwiązywania zadań
statycznie niewyznaczalnych:
- metodę sił - metodę przemieszczeń
Równania równowagi
ql - RA - RB = 0
1
-M + RAl - ql2 = 0
A
2
Równania: 2
Niewiadome: 3
Zadanie jednokrotnie (3-2) statycznie niewyznaczalne
Warunki geometryczne
Reakcja RB (traktowana jako wielkość
hiperstatyczna) jest spowodowana
podparciem belki w punkcie B, co odpowiada
następującemu warunkowi geometrycznemu
�B = 0
Związki fizyczne
Związek fizyczny powinien uzależniać �B od
sił działających na belkę oraz jej własności
sprężystych.
Okazuje się, że warunek geometryczny
�B=0 jest po prostu dodatkowym warunkiem
brzegowym.
Metoda sił
Algorytm postępowania
1. Określić rodzaj i liczbę wielkości podporowych i sformułować
równania równowagi
Metoda sił
- Punkt C  podpora przegubowa stała  dwie reakcje (pozioma i pionowa)
- Punkt A  utwierdzenie  trzy reakcje (pozioma, pionowa i moment)
HA + HC + ql = 0
równania
VA +VC = 0
równowagi
1
VCl - HCl - ql2 + M = 0
A
2
Metoda sił
Algorytm postępowania
2. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności i utworzyć
podstawowy układ prętowy
Metoda sił
- Liczba niewiadomych 5 (reakcje)
5  3 = 2 - rama jest dwukrotnie
statycznie niewyznaczalna
- Liczba równań 3
Wielkości hiperstatyczne:
X1=Hc X2=Vc
Metoda sił
Algorytm postępowania
3. Określić warunki geometryczne oraz związki fizyczne i
sformułować na ich podstawie równania kanoniczne metody sił
Metoda sił
"1P, "2P - część przemieszczeń
u1 i u2 spowodowana
działaniem obciążenia q.
u1 = 0, u2 = 0
f11X1 + f12X2 +"1P = 0
u1 = f11X1 + f12X2 + "1P
Związki
f21X1 + f22X2 +"2P = 0
fizyczne
u2 = f21X1 + f22X2 + "2P
Metoda sił
Algorytm postępowania
4. Obliczyć współczynniki równań kanonicznych metody sił
Metoda sił
X1 =1
X2 =1
Mg11, Mg21 Mg12, Mg22 Mg1P, Mg2P
Algorytm postępowania
ll ll ll
11 11 11
22 22
f12 =
g12 g11 g 22 g 21 g11 g 21 g12 g 22
+"M M dx + 2EI +"M M dx = f21 f11 = +"M dx + 2EI +"M dx f22 = +"M dx + 2EI +"M dx
EI EI EI
00 00 00
ll ll
11 11
"1P =
g1P g11 g 2P g 21 g1P g12 g 2P g 22
+"M M dx + 2EI +"M M dx "2P = +"M M dx + 2EI +"M M dx
EI EI
00 00
Metoda sił
Algorytm postępowania
5. Wyznaczyć z równań kanonicznych metody sił wielkości
hiperstatyczne
X1 X2
Metoda sił
Algorytm postępowania
6. Wykorzystując równania równowagi, znalez
ć pozostałe
niewiadome
Metoda sił
Algorytm postępowania
7. Sformułować równania i narysować wykresy sił wewnętrznych
Metoda sił
Algorytm postępowania
8. Wyznaczyć poszukiwane przemieszczenia
Zasada minimum energii sprężystej
Menabrei-Castigliana
Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V jest wyrażona
przez znane siły zewnętrzne (obciążenia) i niewiadome wielkości
hiperstatyczne X1, ..., Xn oraz niehiperstatyczne.
Jeżeli wykorzystując równania równowagi, uzależni się niewiadome
niehiperstayczne od wielkości hiperstatycznych oraz obciążeń, energia
V stanie się funkcją X1, ..., Xn, jako zmiennych niezależnych.
Warunki geometryczne, jakie muszą spełniać przemieszczenia u1, ...,
un, odpowiadające wielkościom hiperstatycznym X1, ...,Xn, można
zapisać nastepująco
u1 = 0, ..., un = 0
Zasada minimum energii sprężystej
Menabrei-Castigliana
Stosując metodę Castigliana, można określić przemieszczenia z
wykorzystaniem do tego celu energii sprężystej V(X1, ..., Xn)
"V "V
związki
u1 = , ... , un =
fizyczne
"X1 "Xn
Po podstawieniu do związków geometrycznych:
"V "V
= 0, ... , = 0
"X1 "Xn
Zasada minimum energii sprężystej
Menabrei-Castigliana
Spośród wszystkich możliwych zbiorów
wielkości X1, ..., Xn zbiorem rzeczywistych
wielkości hiperstatycznych jest ten, dla
którego energia sprężysta całego układu
prętowego V osiąga wartość minimalną.