METODY ENERGETYCZNE
Energia spr ysta cia a odkszta calnego
Rozpatrywane zagadnienia wytrzyma ciowe sprowadza y si do wyznaczenia odkszta ce
wywo anych dzia aj cymi si ami okre lonymi za pomoc odpowiednich zale no ci.
Istniej zagadnienia bardziej skomplikowane wymagaj ce wykorzystania znanych sposobów
rachunkowych, np. ró niczkowania.
Przy zastosowaniu nowych metod rozwi za pos ugujemy si energi potencjaln w cia ach
odkszta calnych. Energia ta, jest równa pracy wykonanej przez si y dzia aj ce na dane cia o,
zwana jest energi spr yst odkszta calnego cia a lub energi odkszta cenia.
Energia spr ysta Es - energia potencjalna si wewn trznych spr ysto ci.
Zgodnie z zasad energii (równo przyrostu energii kinetycznej E cia a oraz pracy si
dzia aj cych na to cia o), wyra aj si y zewn trzne L jak i wewn trzne W
E L W (1)
Dla uk adów b cych w równowadze energia kinetyczna równa jest zeru. Je eli u yjemy
podstawienia W wówczas
L (2)
Energia spr ysta cia a odkszta calnego b cego w równowadze równa
jest pracy si zewn trznych dzia aj cych na to cia o.
Proces obci enia si ami odbywa si quasi-statycznie. W ka dej chwili obci enia zachowana
jest równowaga mi dzy si ami zewn trznymi i wewn trznymi. Czas trwania takiego
wyidealizowanego procesu jest niesko czony, a szybko narastania odkszta ce równa zeru,
wówczas si y bezw adno ci s pomijalnie ma e.
Energia spr ysta pr ta rozci ganego ( ciskanego)
Praca elementarnego odcinka pr ta - iloczyn si y wewn trznej N i przemieszczenia du jakie
ona spowodowa a
dL N du
Fl
u
EA
Si wewn trzn N w ka dym przekroju pr ta uwa b dziemy za sta i równ obci eniu
EA EA
zewn trznemu N=F. Podstawiaj c F u otrzymamy d u du i po sca kowaniu
l l
u
EA

u du
l
0
otrzymamy
1 AE
u 2 (3)
2 l
Fl
poniewa u , ostatecznie energia spr ysta dla pr ta rozci ganego wynosi (rys. 1)
EA
6
2
1 F l 1
lub Fu (4)
2 EA 2
F
l
F
1
Fu
2
u u
u
F
Rys. 1. Energia spr ysta pr ta rozci ganego
W zagadnieniach u ywa si ciw energi spr yst . Jest to energia jednostkowa
odniesiona do jednostki obj to ci cia a odkszta calnego. Dla pr ta rozci ganego
2 2
1 F l 1 1 F
(5)
Al 2 EA Al 2 A2E
F
poniewa i z prawa Hooke a w ciw energi spr yst mo na wyrazi
A E
wzorami:
2
1 F 2 1 1 1
2
E (6)
2 A2E 2 2 E 2
Energia spr ysta pr ta jednocze nie zginanego i rozci ganego
Stan napr enia w pr cie jednocze nie zginanym i rozci ganym
M
N
g
y (7)
A I
2
1
W jednoosiowym stanie napr enia ciwa energia spr ysta , a energia

2 E
spr ysta elementarnego odcinka pr ta o obj to ci dV dxdA wynosi
d dx
dA
A
po podstawieniu odpowiednich wielko ci otrzymamy
7
2
M
d 1 N
g

y dA

dx 2E A I

A
2
2
2NM M
d 1 N
g g

ydA y2dA
dA AI 2

dx 2E A2 A I
A A

Uwzgl dniaj c, e A , y2dA I oraz e dla g ównych centralnych osi bezw adno ci
dA
A A
ydA 0 ostatecznie otrzymujemy

A
2
2
M
d N
g
(8)
dx 2EA 2EI
Energia spr ysta sko czonego odcinka pr ta o ugo ci l wynosi (ca kuj c powy sze
równanie)
2 2 2
l l
2 2 2
M M l M
N N l l N
g g g

dx dx (9)


2EA 2EI 2EA 2EI 2E A I
0 0

1 AE
u 2
2 l
Energia spr ysta jest jednorodn kwadratow funkcj przemieszcze .
Poniewa jest kwadratowa to nie mo na do oblicze energii spr ystej
stosowa zasady superpozycji.
8
To zjawisko wyja niono na przyk adzie pr ta rozci ganego (rys. 2.).
a)
b)
A A
l l
F F1
F2
Rys. 2.
Energi pr ta a (rys. 2.a)
2
1 Fl 1 F l
Va Fu u Va
2 EA 2 EA
Energi pr ta b (rys. 2.b)
2
1 F1 F2 l F12l F22l F1F2l
Va
2 EA 2EA 2EA EA
Energi spr yst mo na równie wyznaczy jako prac si wewn trznych,
któr dla przypadków prostych (rozci ganie, zginanie, cinanie, skr canie)
podano w zestawieniu.
2 2
dV 1 N N
V dx
Rozci ganie, ciskanie
dx 2 EA 2EA
9
dV 1 Mg2 Mg2

V
Zginanie 2EI dx
dx 2 EI
2 2
dV 1 T T
V dx
cinanie
dx 2 GA 2GA
dV 1 Ms2 Ms2
V
Skr canie 2GI dx
dx 2 GI0
0
Energia spr ysta jednostki d ugo ci pr ta równa jest po owie ilorazu
kwadratu si y wewn trznej podzielonej przez odpowiedni sztywno .
Uk ady liniowo spr yste Clapeyrona
Aby rozwa aniom nada ogólny charakter dotycz cy wszelkich przypadków obci ,
wprowadzono poj cie si y uogólnionej F, przez któr nale y rozumie dowolne obci enia
dzia aj ce na dane cia o: si a skupiona, para si o momencie Ms lub Mg, obci enie ci e q.
Wspó rz dna uogólnion f  przemieszczenie odpowiadaj ce sile uogólnionej F.
Przy rozci ganiu  sile uogólnionej F odpowiada wspó rz dna uogólniona wyd enia u,
przy skr caniu Ms odpowiada k t skr cenia ,
przy zginaniu Mg odpowiada k t obrotu .
Je eli przemieszczenie u dowolnego punktu uk adu wywo ane zrównowa onym dzia aniem
si F1, F2, ...., Fn mo na wyrazi jako funkcj liniow tych si
u 1F1 2F2 ... k Fk ... nFn
to uk ad taki nazywa si uk adem liniowo-spr ystym lub uk adem Clapeyrona.
Dla uk adu liniowo-spr ystego mamy:
u1 11F1 12F2 ... 1 jFj ... 1nFn
u2 21F1 22F2 ... 2 jFj ... 2nFn
....................................................... (10)
.......................................................
un n1F1 n2F2 ... njFj ... nnFn
n
ui Fj
ij
j 1
ui ijFj
10
gdzie:
u - przemieszczenia uogólnione;
F - si a uogólniona;
-liczba wp ywowa.
Liczby wp ywowe - przemieszczenie wywo ane odpowiednimi si ami o warto 1, czyli
przemieszczenie jednostkowe.
uogólnione przemieszczenie

uogólniona sila
gdzie:
m N 1 - si a - si a skupiona [N], przemieszczenie - przesuni cie [m];
m-1 N 1 - si a  moment si y [m N], przemieszczenie - obrót w mierze ukowej itd.
Oznaczmy:
D - macierz liczb wp ywowych,
F i U odpowiednie macierze jednokolumnowe si i przemieszcze .
Stosuj c wprowadzone oznaczenia mo na przedstawi zale no (10) w zapisie
macierzowym.
u1 11 12 1n F1

u 22 2n F
2 21 2

31 32 3n
U=DF
=





n2 nn Fk
uk n1
macierz podatno ci
Okre laj c obci enia (zmienna niezale na), wówczas si y Fi wyra amy przez odpowiadaj ce
im przemieszczenia uk
F1 k11u1 k12u2 ...k1iui ...k1nun
F2 k21u1 k22u2 ...k2iui ...k2nun
....................................................... (11)
.......................................................
Fn kn1u1 kn2u2 ...kniui ...knnun
n
Fi u
kij j
j 1
Fi kiju
j
gdzie:
u - przemieszczenia uogólnione;
F - si a uogólniona;
k - wspó czynnik okre laj cy wp yw przemieszczenia uk na warto si y Fi.
11
K macierz wspó czynników k,
F i U odpowiednie macierze jednokolumnowe si i przemieszcze .
Zale no (1.11) w zapisie macierzowym.
F1 k11 k12 k1n u1

F k k22 k2n u
2 21 2

k31 k32 k3n
F=KU
=





kn knn uk
Fk kn1 2
macierz sztywno ci
Macierz K jest macierz odwrotn macierzy D (K=D-1).
Twierdzenie Castigliano
Uk ad Clapeyrona obci ony si ami F1, F2, F3,& & & & .. Fn.
Energia spr ysta w belce
1 1
V Ff (F1 f1 F2 f2 F3 f3 ..Fi fi... F1 f1) (12)
2 2
Rys. 4. Zobrazowanie twierdzenia Castigliano
Dodajemy sile Fi pewien przyrost Fi. Nast pi przyrost energii spr ystej belki
spowodowany przyrostem si y.
Przyrost energii V spowodowany przyrostem Fi zmiennej Fi jest równy iloczynowi
pochodnej cz stkowej V/ Pi przez ten przyrost Fi. Energia spr ysta belki (rys. 4b) wynosi
12
 V
V1 V Fi (13)
Fi
Taki sam (ko cowy) stan obci i odkszta ce belki (rys. 4b) mo na osi gn przyk adaj c
si y w innej kolejno ci.
Przyk adaj c najpierw do nieobci onej belki dowolnie ma si Fi (rys. 4c) ,spowoduje ona
ugi cie (przemieszczenie uogólnione) fi.
Praca statycznie przy onej si y Fi na przemieszczeniu fi jest równa energii spr ystej
nagromadzonej w belce i wynosi
1
V ( Fi fi ) (14)
2
Nast pnie do belki obci onej si Fi przy ono zasadniczy uk ad obci jak na rys. 4a.
Zgodnie z zasad superpozycji praca wykonana przez te si y w czasie takiego obci enia
wyrazi si zale no ci (12), ponadto si a Fi wykona w tym samym czasie prac L na
przemieszczeniu fi. Praca ta wynosi (bez mno nika ½)
L Fi fi (15)
poniewa w czasie przemieszczenia si punktu przy enia si y Fi ca a warto si y Fi
wykonywa a prac .
Energia spr ysta nagromadzona w belce przedstawionej na rys. 4d wynosi
1
V2 V V L ( Fi fi ) V Fi fi (16)
2
Ko cowy stan obci i odkszta ce belki jest dla obu tych sposobów (kolejno ci)
przyk adania si jednakowy (rys. 4b i d).
Energie spr yste odpowiadaj ce tym stanom s jednakowe tz. V1=V2.
Porównuj c wyra enia (13) i (16) uzyskano
V 1
V Fi ( Fi fi ) V Fi fi (17)
Fi 2
Wyra enie w nawiasie b ce iloczynem dwóch wielko ci ma ych jest ma wy szego
(drugiego) rz du, dlatego mo na go odrzuci ( Fi fi 0) . Tak wi c
V V
Fi Fi fi fi
Fi Fi
V
fi
(18)
Fi
Zale no (18) zwana jest twierdzeniem Castigliana.
Pochodna cz stkowa energii spr ystej uk adu wzgl dem si y uogólnionej jest równa
wspó rz dnej uogólnionej odpowiadaj cej tej sile.
13
Zastosowanie twierdzenia Castigliano.
Przyk ad pr ta (belki) poddanego zginaniu.
Energia spr ysta w takim pr cie wyra ona jest zale no ci wcze niej podan
l
1
2
V M dx (19)
g

2EJ
0
Wykorzystuj c twierdzenie Castigliano, nie jest potrzebne wyra enie na energi , lecz
pochodna cz stkowa tej energii wzgl dem si y uogólnionej Fi. Ró niczkuj c zale no (19)
uzyskano
l l

V Mg2 Mg Mg

fi dx dx


Fi Fi 0 2EI Fi 0 2EI

l

1 Mg Mg
fi
Mg Mg Fi
dx
2EI Fi
0
Ostatecznie:
l
M
V 1
g
f
(20)
g
M F dx
F EJ
0
14
TWIERDZENIE MENABREA
Statycznie wyznaczalny uk ad Clapeyrona  belka spoczywaj na dwóch podporach i
` `
obci ona si P. Dla belki tej mo na wyznaczy reakcje podporowe RA oraz RB . Obliczy
energi spr yst V i stosuj c twierdzenie Castigliano wyznaczy strza ugi cia fC pod si
P oraz strza ugi cia fD w przekroju D belki.
Rys. Wyprowadzenie twierdzenia Menabrea
W punkcie D przy ono dodatkowa si X = 0 (stan 1).
Ta sama belka zamiast si P obci ona jest si X przy on w przekroju D (stan 2). Dla
`` ``
takiego obci enia równie wyznaczono reakcje podporowe RA oraz RB , obliczono energi
``
spr yst V`` belki. Stosuj c twierdzenie Castigliano obliczono strza ugi cia fC w
``
przekroju C oraz strza ugi cia fD w przekroju D belki.
Stosuj c metod superpozycji i nak adaj c na siebie oba rozpatrywane stany obci ,
wówczas energia ca kowita uk adu V b dzie funkcj si P oraz X, strza ki za ugi cia
przekrojów C i D - zgodnie z twierdzeniem Castigliano  wyra si jako pochodne
V V
cz stkowe energii V, a wi c fC oraz fD . Nie ma adnej ró nicy mi dzy si P a
P X
si X, obie te wielko ci s od siebie niezale ne.
15
Nast pnie dobrano tak si X, aby ugi cie przekroju D by o równe zeru (fD = 0), co wyst puje
wówczas, gdy w przekroju tym da si podpor (rys. c). Uzyska si wówczas uk ad, w którym
statycznie niewyznaczaln reakcj X wyznaczy mo na z podanej wy ej zale no ci
wynikaj cej z twierdzenia Castigliano:
V
fD 0
X
Otrzymany rezultat
V
0 twierdzenie Menabrea.
X
Pochodna cz stkowa energii spr ystej uk adu wzgl dem reakcji statycznie
niewyznaczalnej jest równa zeru.
Dla belki spoczywaj cej na trzech podporach, obci onej si P (rys. c) powy szy wzór
pozwala obliczy statycznie niewyznaczaln reakcj na podporze D. Gdyby belka mia a
wi cej podpór statycznie niewyznaczalnych, to dla ka dej takiej podpory mo na napisa
warunek powy szy. Ile zatem reakcji statycznie niewyznaczalnych wyst puje w uk adzie, tyle
V
dodatkowych równa typu 0 , mo na napisa i tym samym wyznaczy wszystkie
X
reakcje uk adu.
V
Zale no typu 0 ma dodatkow interpretacj fizyczn . Pochodna funkcji jest równa
X
zeru wówczas, gdy funkcja osi ga warto ekstremaln (max, min lub punkt przegi cia o
stycznej poziomej na wykresie tej funkcji). Tak wi c, gdy pochodna okre ona zale no cia
Menabrea jest równa zero, to energia spr zysta belki (uk adu) osiaga minimum. Belka (ustrój)
przybiera taki kszta t pod dzia aniem obci enia, e energia spr ysta belki osi ga minimum.
V
Wyra enie 0 zwane jest zasad najmniejszej pracy Menabrea lub zasad minimum
X
energii.
Dla przypadku gdy energia spr ysta uk adu pochodzi g ównie od zginania, twierdzenie
Menabrea mo na wyrazi zale no ci (dla belki o sta ej sztywno ci EJ=const)
l
M
V 1
g
M dx 0;
g

X EJ X
0
St d
l
M
g
M dx 0.
g

X
0
16