Opracował: dr inż. Mariusz Leus
T: Metody energetyczne  zastosowanie twierdzenia Menabre'a do obliczania belek
statycznie niewyznaczalnych
Zadanie 1.
Dla belki przedstawionej na rysunku, korzystając z twierdzenia Menabre a wyznaczyć moment
utwierdzenia Mu.
Dane: q, M, a, EJ = const
Szukane: Mu = ? oraz RA = ?, RB = ?
1. Reakcje podporowe: Mu, RA, RB
2. Równania równowagi
a) = 0 ; RA + RB - 2qa = 0
"Fy
b) = 0
; RA Å" 2a + Mu - 2qa2 + M = 0
"MB
3. Zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Za wielkość hiperststyczną
przyjmujemy wielkość Mu
4. Brakujące równanie wyznaczamy z twierdzenia Menabre a:
"V
= 0
"Mu
Uwzględniając tylko energię od zginania otrzymujemy:
2a a
1 1
2 2
v = v1 + v2 =
g(x1) g(x2 )
+"M dx1 + 2EJ +"M dx2
2EJ
0 0
2a a
"Mg(x ) "Mg(x )
"V 1 1
1 2
=
g(x1) g(x2 )
+"M "Mu dx1 + EJ +"M "Mu dx2 = 0
"Mu EJ
0 0
5. Momenty gnące w poszczególnych przedziałach
1) Przedział I: 0 d" x1 d" 2a
q Mu M
2
Mg(x ) = RA Å" x1 + Mu - Å" x1 ; z równania b) RA = qa - -
1
2 2a 2a
Mu M
ëÅ‚qa öÅ‚ q
2
Mg(x ) = - - ÷Å‚
Å" x1 + Mu - Å" x1
ìÅ‚
1
2a 2a 2
íÅ‚ Å‚Å‚
- 1 -
Opracował: dr inż. Mariusz Leus
2) Przedział II: 0 d" x2 d" a
Mg(x ) = -M
2
6. Pochodne momentów gnących po momencie Mu
"Mg(x ) 1 "Mg(x )
1 2
= - Å" x1 + 1; = 0
"Mu 2a "P
7. Obliczenie momencie utwierdzenia Mu
2a a
îÅ‚ Mu Å‚Å‚
1 ëÅ‚ M öÅ‚ q 1
ëÅ‚- 1
2
Å" Å" x1 + 1öÅ‚ dx1 +
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚qa - 2a - 2a ÷Å‚ Å" x1 + Mu - 2 Å" x1 śł
+" +"(- M)Å" (0) dx2 = 0
EJ 2a EJ
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0
2a
îÅ‚ Mu M öÅ‚ q
Å‚Å‚
ëÅ‚ ëÅ‚1- 1
2
Å" Å" x1 öÅ‚ dx1 = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚qa - 2a - 2a ÷Å‚ Å" x1 + Mu - 2 Å" x1 śł
+"
2a
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
0
2a
îÅ‚ Mu M öÅ‚ ëÅ‚qa M öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Mu Å‚Å‚
ëÅ‚ 1 Mu q q
2 3
1
ïÅ‚ìÅ‚qa - 2a - 2a ÷Å‚ Å" x1 - ìÅ‚ - 2a - 2a ÷Å‚ Å" x1 Å" ìÅ‚ 2a Å" x1 ÷Å‚ + Mu - 2a Å" x1 - 2 Å" x1 + 4a Å" x1 śł dx = 0
+"
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
0
2a
îÅ‚qa Å" x1 - Mu M qa Mu 2 M Mu q q
2 2 2 3
Å" x1 - Å" x1 - Å" x1 + Å" x1 + Å" x1 + Mu - Å" x1 - Å" x1 + Å" x1 Å‚Å‚ dx1 = 0
+" ïÅ‚ śł
2a 2a 2a 4a2 4a2 2a 2 4a
ðÅ‚ ûÅ‚
0
2a
2 2 2 3 3 3 2 3 4
îÅ‚ Å‚Å‚
x1 Mu x1 M x1 qa x1 Mu x1 M x1 Mu x1 q x1 q x1
= 0
ïÅ‚qa Å" 2 - 2a Å" 2 - 2a Å" 2 - 2a Å" 3 + 4a2 Å" 3 + 4a2 Å" 3 + Mu Å" x1 - 2a Å" 2 - 2 Å" 3 + 4a Å" 4 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0
2a
1 Mu 2
îÅ‚ M qa Mu 3 M Mu 2 q q Å‚Å‚
2 2 3 3 3 4
= 0
ïÅ‚2 qa Å" x1 - 4a Å" x1 - 4a Å" x1 - 6a Å" x1 + 12a2 Å" x1 + 12a2 Å" x1 + Mu Å" x1 - 4a Å" x1 - 6 Å" x1 + 16a Å" x1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0
1 Mu M qa Mu M Mu q
qa Å" 4a2 - Å" 4a2 - Å" 4a2 - Å" 8a3 + Å" 8a3 + Å" 8a3 + Mu Å" 2a - Å" 4a2 - Å" 8a3 +
2 4a 4a 6a 12a2 12a2 4a 6
q
+ Å"16a4 = 0
16a
8 2 2 4
2qa3 - Mu Å" a - M Å" a - qa3 + Mu Å" a + M Å" a + 2Mu Å" a - Mu Å" a - q Å" a3 + q Å" a3 = 0
6 3 3 3
2 1 1
Mu Å" a - M Å" a + qa3 = 0
3 3 3
2 1 1
Mu = M - qa2
3 3 3
1 1
Mu = M - qa2
2 2
8. Obliczenie reakcji RA
Mu M 1 1 1 M M qa M 5 3M
ëÅ‚
z równania b) RA = qa - - = qa - Å" M - qa2 öÅ‚ - = qa - + - = qa -
ìÅ‚ ÷Å‚
2a 2a 2a 2 2 2a 4a 4 2a 4 4a
íÅ‚ Å‚Å‚
5 3M
RA = qa -
4 4a
9. Obliczenie reakcji RB
5 3M 3 3M
z równania a) RB = -RA + 2qa = - qa + + 2qa = qa +
4 4a 4 4a
3 3M
RB = qa +
4 4a
- 2 -