Biotechnologia, 3 rok, 6 semestr
Instrukcja do laboratorium nr 2 z Modelowania Biosystemów
Modele pojedynczych populacji
Prowadzący: dr in\
. Krzysztof Psiuk-Maksymowicz (p.629)
[e-mail]
1. Zakres materiału laboratorium
Przygotowanie do zajęć obejmuje znajomość modeli pojedynczych populacji: maltuzjańskiego
(wykładniczego), Gompertza oraz logistycznego (wersja ciągła i dyskretna)  postaci ich równań, rozwizań
czasowych oraz własności poszczególnych modeli. Dodatkowo studenci powinni zapoznać się ze
sposobem tworzenia funkcji w środowisku Matlab (help function w linii komend Matlaba) oraz
funkcją ode45() (help ode45 w linii komend) słu\
ącej do rozwiązywania numerycznego równań
ró\
niczkowych zwyczajnych. Podczas zajęć wykorzystywana będzie ponadto metoda numeryczna Eulera
opisana poni\
ej.
Metoda Eulera  to najprostsza z metod rozwiązywania numerycznego równań ró\
niczkowych
zwyczajnych, polega na zastosowaniu tzw. ró\
nicy skończonej (ang. finite difference) w celu aproksymacji
ró\
niczki. Problem polega na znalezieniu przybli\
onego rozwiązania równania o zadanym warunku
początkowym
W metodzie tej aproksymujemy ró\
niczkę z równania (1) tzw. skończoną ró\
nicą
co prowadzi do następującego równania
Dobierając stały krok ró\
nicy czasu h konstruujemy ciąg t0, t1=t0+h, t2=t0+2h, ... Oznaczając przez yn
numeryczne przybli\
enie rozwiązania y(tn), obliczamy kolejne wartości równania z rekursywnego wzoru
2. Program zajęć laboratoryjnych
Zad 1. Model ciągły dany jest równaniem dN(t)/dt = r1 N(t), natomiast model dyskretny
równaniem Nt+1 = Nt + r2 Nt .
a. Napisać funkcje znajdującą rozwiązania modelu ciągłego i dyskretnego. W przypadku
modelu ciągłego zastosować metode Eulera oraz znany wzór analityczny rozwiązania
modelu.
b. Zbadać wpływ parametrów N0 i r1 lub r2 na dynamikę modeli, przedstawić kilka
wykresów czasowych dla t"[0,9] dni.
c. Wyznaczyć czas zdwojenia dla modelu ciągłego dla podanego r1.
d. Wyprowadzić zale\
ność funkcyjną r1(r2), dla której wartości rozwiązań modeli są równe
oraz przedstawić graficznie (na jednym wykresie) rozwiązanie modelu ciagłego (za
pomcą czerwonej linii) dla t"[0,9] oraz modelu dyskretnego (za pomocą niebieskich )
dla wartości t"{0,1,...,8,9}.
e. Sprawdzić dla jakiego r1 model ciągły przyjmuje te same wartości w ustalonych punktach
czasowych co model dyskretny o zadanych przez prowadzącego parametrach N0 i r2.
Zad 2. Zbadać zachowanie modelu logistycznego ciągłego oraz modelu Gompertza w zale\
ności
od zmian parametrów modeli (zakresy wartości parametrów będą podane przez
prowadzącego na zajęciach). W celu znalezienia rozwiązań modeli zastosować
predefiniowaną funkcję ode45(). Sporządzić wykresy z przebiegami czasowymi oraz
portrety fazowe obu modeli dla wybranych parametrów.
Zad 3. Logistyczny model dyskretny ma postać Nt+1 = Nt + r Nt ( 1 - Nt / K ), gdzie K oznacza
pojemność środowiska. Stosując podstawienia a=1+r, b=r/K oraz zmianę zmiennych Xt
= (b/a)Nt równanie modelu logistycznego przyjmuje uproszczoną postać Xt+1=aXt(1-Xt).
a. Zbadać wpływ zmian parametru a na zmianę dynamiki modelu, przedstawić przebiegi
czasowe modelu dla zadanych wartości a.
b. Dla podanego N0 znalez
ć a, dla którego rozpoczynają się oscylację oraz a, dla którego
występuje chaos.
c. Sporządzić diagram bifurkacyjny.
Rozwiązania poszczególnych zadań (odpowiedzi, wartości liczbowe, wykresy, kody
z
ródłowe) proszę na bie\
ąco zapisywać do pliku np. Microsoft Word i na koniec zajęć
przesłać na plik przez stronę platforma.polsl.pl. W proszę zamieścić imię i nazwisko, datę
oraz nr grupy laboratoryjnej.