Tablice Całek
1 maja 2004 roku
Spis treści
1 Wzory podstawowe 2
2 Całkowanie funkcji wielomianowych 4
3 Całkowanie funkcji wymiernych 5
4 Całkowanie funkcji niewymiernych 7
5 Całkowanie funkcji trygonometrycznych 9
6 Całkowanie funkcji wykładniczych 12
7 CaÅ‚kowanie przez cz¸ i podstawienie 13
eści
1
1 Wzory podstawowe

1. 0dx = C

2. dx = x + C

1
3. xdx = x2 + C
2

1
4. xndx = xn+1 + C, dla n = -1

n+1

1
5. dx = ln |x| + C
x

f (x)
6. dx = ln |f(x)| + C
f(x)

1 1
7. dx = - + C
x2 x
" "
2
8. xdx = x x
3
"
1
"
9. dx = 2 x + C
x


f
"(x) dx = 2 f(x) + C
10.
f(x)

11. cos xdx = sin x + C

12. sin xdx = - cos x + C

13. tan xdx = - ln | cos x| + C

1
14. cot xdx = ln | sin x| + C

1
15. dx = tan x + C
cos2 x

1
16. dx = - cot x + C
sin2 x

17. tan xdx = - ln | cos x| + C

dx
"
18. = arcsin x + C
1-x2
"

19. arctan xdx = x arctan x - ln x2 + 1 + C

2 3
20. sinh xdx = cosh x + C

21. cosh xdx = sinh x + C
1
cot x oznacza cotangens
ex-e-x
2
sinh x = , jest to sinus hiperboliczy
2
ex+e-x
3
cosh x = , jest to cosinus hiperboliczy
2
2

1
22. dx = -4 coth x + C
sinh2 x

1 5
23. dx = tanh x + C
cosh2 x

24. exdx = ex + C

mx
25. mxdx = + C, dla m > 0 i m = 1

Å‚nm

26. ln xdx = x ln x - x + C
4 cosh x
cot x = , jest to cotangens hiperboliczy
sinh x
5 sinh x
tanh x = , jest to tangens hiperboliczy
cosh x
3
2 Całkowanie funkcji wielomianowych

1. 0dx = C

2. dx = x + C

1
3. xdx = x2 + C
2

a
4. (ax + b)dx = x2 + bx + C
2

1
5. xndx = xn+1 + C, dla n = -1

n+1

1
6. (ax + b)ndx = (ax + b)n+1 + C, dla a = 0 i n = -1

a(n+1)

an-1
an
7. (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0)dx = xn+1 + xn +
n+1 n
a1
... + x2 + a0x + C
2
4
3 Całkowanie funkcji wymiernych

1
1. dx = ln |x| + C
x

1 1
2. dx = - + C
x2 x

dx
3. = arctan x + C
1+x2

dx x 2n-3 dx
4. = + , dla n = 1

(1+x2)n 2(n-1)(1+x2)n-1 2n-2 (1+x2)n-1

dx 1
5. = arctan (ax + b) + C, dla a = 0

1+(ax+b)2 a

dx 1 x
6. = arctan + C, dla a = 0

a2+x2 a a

dx 1 x-a
" "
7. = arctan + C, dla b > 0
b+(x-a)2 b
b

dx 1
8. = ln |a+x| + C, dla a > 0 i |x| = 0

a2-x2 2a a-x

1 1
9. dx = ln |ax + b| + C, dla a = 0

ax+b a

1 1
10. dx = - + C
(ax+b)2 a(ax+b)

1 1
11. = + C, dla n = 1

(ax+b)n a(1-n)(ax+b)n-1

Ax+B A aB-Ab
12. dx = x + ln |ax + b| + C, dla a = 0

ax+b a a2
b

x+
dx
2a
1
13. = arctan + C, dla a = 0 oraz " < 0

ax2+bx+c
-" -"
a
4a2 4a2
"
b- "

dx 1
2a
" "
14. = ln |x+ | + C, dla a = 0 oraz " > 0

b+ "
ax2+bx+c
"
x+
2a

dx 1
15. = - + C, dla a = 0 oraz " = 0

b
ax2+bx+c
ax+
2

dx 1 x
" "
16. = arctan + C, dla b > 0
b+x2 b
b
b

x+
Ax+B A 2aB-Ab
2a
"
17. dx = ln |ax2 + bx + c| + arctan + C,
ax2+bx+c 2a
a -"
-"
4a2
dla a = 0 oraz " < 0

"
b- "

Ax+B A 2aB-Ab
2a
" "
18. dx = ln |ax2 + bx + c|+ ln |x+ |+C, dla
b+ "
ax2+bx+c 2a
2a "
x+
2a
a = 0 oraz " > 0

5
Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2007
For Evaluation Only.

Ax+B A 2aB-Ab 1
19. dx = ln |ax2 + bx + c| + (- ) + C, dla
b
ax2+bx+c 2a 2a
ax+
2
a = 0 oraz " = 0


Ax+B A 2aB-bA dt
20. dx = + , dla
1
(ax2+bx+c)n 2a(1-n)(ax2+bx+c)n-1 -" (1+t2)n
2an+1( )n- 2
4a2
b
x+
2a

a = 0, n = 1, " < 0 oraz t =

-"
4a2
bA cA bA b

x+
Ax2+Bx+C A
a a a 2a
"
21. dx = x+B- ln |ax2 + bx + c|+2a(C- )-(B- )b arctan +
ax2+bx+c a 2a
a -"
-"
4a2
C, dla a = 0 oraz " < 0

"
bA cA bA b- "

Ax2+Bx+C A
a a a 2a
" "
22. dx = x+B- ln |ax2 + bx + c|+2a(C- )-(B- )b ln |x+ |+
b+ "
ax2+bx+c a 2a
2a "
x+
2a
C, dla a = 0 oraz " > 0

bA cA bA

Ax2+Bx+C A 1
a a a
23. dx = x+B- ln |ax2 + bx + c|+2a(C- )-(B- )b(- )+
b
ax2+bx+c a 2a 2a
ax+
2
C, dla a = 0 oraz " = 0


dx 1 1 1
24. = ln |x - a|+(b-a)(b-c) ln |x - b|+(c-a)(c-b) ln |x - c|+
(x-a)(x-b)(x-c) (a-b)(a-c)
C, dla a = b = c


Ax+B Aa+B Ab+B
25. dx = ln |x - a| + ln |x - b| +
(x-a)(x-b)(x-c) (a-b)(a-c) (b-a)(b-c)
Ac+B
ln |x - c| + C, dla a = b = c

(c-a)(c-b)
6
4 Całkowanie funkcji niewymiernych
" "
2
1. xdx = x x + C
3

"

2
2. ax + bdx = (ax + b) (ax + b) + C, dla a = 0

3a
"
1
"
3. dx = 2 x + C
x
"

1 2 ax+b
"
4. dx = + C, dla a = 0

a
(ax+b)
" "

k x x
"
5. k - x2dx = arcsin + k - x2 + C, dla k > 0.
2 2
k
" " "

x k
6. k + x2dx = k + x2 + ln |x + k + x2| + C
2 2
" "
b b
" "
-ax- " -ax- "
" 2 -a 2 -a
"
7. ax2 + bx + cdx = - arcsin + ax2 + bx + c+
"
8a 2
-
4a
C, dla a < 0 i " > 0
"
b
" " "
"
ax+ "
2 a -" b
" "
8. ax2 + bx + cdx = ax2 + bx + c+8a"a ln | ax + + ax2 + bx + c|+
2 a 2 a
C, dla a > 0

dx
"
9. = arcsin x + C
1-x2

dx 1
"
10. = arcsin (ax + b) + C, dla a = 0

1-(ax+b)2 a

dx x
"
11. = arcsin + C, dla a > 0
a
a2-x2
"

dx
"
12. = ln |x + x2 - a2| + C, dla a = 0

x2-a2
"

dx
"
13. = ln |x + x2 + 1| + C
1+x2


dx 1
"
14. = ln |(ax + b) + (ax + b)2 + 1| + C, dla a = 0

1+(ax+b)2 a
"

dx
"
15. = ln |x + k + x2|
k+x2
"

dx
"
16. = ln |x + x2 - 1| + C, dla |x| > 1
x2-1


dx 1
"
17. = ln |(ax + b) + (ax + b)2 - 1| + C, dla |ax +
a
(ax+b)2-1
b| > 1 i a = 0

"

dx 1 6
"
18. = ln |x + b + x2 + bx + c| + C, dla " < 0
2
x2+bx+c
6
" = b2 - 4ac oznacza delt równania kwadratowego
7
"
b
-ax- "
dx 2 -a
" "1
19. = arcsin + C, dla a < 0, oraz " > 0
ax2+bx+c -a
"
-4a
"
"
dx 1 b
" " "
20. = ln | ax + + ax2 + bx + c| + C, dla a >
a 2 a
ax2+bx+c
0 i " < 0
" "
"
Ax+B A b
" " "
21. dx = ax2 + bx + c+2aB-Ab ln | ax + + ax2 + bx + c|+
a 2a a 2 a
ax2+bx+c
C, dla a > 0 i " < 0
"
b
"
-ax- "
Ax+B A 2aB-Ab 2 -a
" "
22. dx = ax2 + bx + c + arcsin +
a 2a -a
ax2+bx+c
"
-4a
C, dla a < 0, oraz " > 0
8
5 Całkowanie funkcji trygonometrycznych

1. sin xdx = - cos x + C

2. sin axdx = -1 cos ax + C, dla a = 0

a

3. sin (ax + b)dx = -1 cos (ax + b) + C, dla a = 0

a

4. cos xdx = sin x + C

1
5. cos axdx = sin x + C, dla a = 0

a

1
6. cos (ax + b)dx = sin (ax + b) + C, dla a = 0

a

1 1
7. sin ax cos bxdx = - cos (a + b)x- cos (a - b)x+C,
2(a+b) 2(a-b)
dla a = b oraz a = -b


1
8. sin ax cos bxdx = - cos 2ax + C, dla a = b lub a = -b
4a

1 1
9. sin ax sin bxdx = sin (a - b)x - sin (a + b)x + C,
2(a-b) 2(a+b)
dla a = b oraz a = -b


x 1
10. sin ax sin bxdx = - sin 2ax + C, dla a = b
2 4a

1
11. sin ax sin bxdx = -x + sin 2ax + C, dla a = -b
2 4a

1 1
12. cos ax cos bxdx = sin (a - b)x + sin (a + b)x + C,
2(a-b) 2(a+b)
dla a = b oraz a = -b


x 1
13. cos ax cos bxdx = + sin 2ax + C, dla a = b lub a = -b
2 4a

x 1
14. sin2 xdx = - sin 2x + C
2 4

1
15. sin3 xdx = - cos x + cos3 x
3

3 3
16. sin4 xdx = -1 sin3 x cos x + x - sin 2x + C
4 8 16

2 1
17. sin5 xdx = - cos x + cos3 x - cos5 x + C
3 5

5 5 5
18. sin6 xdx = -1 sin5 x cos x- sin3 x cos x+ x- sin 2x+C
6 24 16 32

3 1
19. sin7 xdx = - cos x + cos3 x - cos5 x + cos7x + C
5 7

7 35
20. sin8 xdx = -1 sin7 x cos x - sin5 x cos x - sin3 x cos x +
8 48 192
35 35
x - sin 2x + C
128 256
9

1 9 21
21. sin10dx = - sin9 x cos x - sin7 x cos x - sin5 x cos x -
10 80 160
315 315 315
sin3 x cos x + x - sin 2x + C
1920 1280 2560

x 1
22. cos2 xdx = + sin 2x + C
2 4

1
23. cos3 xdx = sin x - sin3 x
3

3 1 3
24. cos4 xdx = x + cos3 x sin x + sin x cos x + C
8 4 8

2 1
25. cos5 xdx = sin x - sin3 x + sin5 x + C
3 5

1 5 5 5
26. cos6 xdx = cos5 x sin x + x + cos3 x sin x + sin 2x + C
6 16 24 32

3 1
27. cos7 xdx = sin x - sin3 x + sin5 x - sin7 x + C
5 7

28. tan xdx = - ln | cos x| + C

29. tan2 xdx = tan x - x + C

1
30. tan3 xdx = tan2 x + ln | cos x| + C
2

1
31. tan4 xdx = tan3 x - tan x + x + C
3

1 1
32. tan5 xdx = tan4 x - tan2 x - ln | cos x| + C
4 2

1 1
33. tan6 xdx = tan5 x - tan3 x + tan x - x + C
5 3

1 1 1
34. tan7 xdx = tan6 x - tan4 x + tan2 x + ln | cos x| + C
6 4 2

35. cot xdx = ln | sin x| + C

36. cot2 xdx = - cot x - x + C

1
37. cot3 xdx - cot2 x - ln | sin x| + C
2

38. cot4 xdx = -1 cot3 x + cot x + x + C
3

1
39. cot5 xdx = -1 cot4 x + cot2 x + ln | sin x| + C
4 2

1
40. cot6 xdx = -1 cot5 x + cot3 x - cot x - x + C
5 3

1 1
41. cot7 xdx = -1 cot6 x + cot4 x - cot2 x - ln | sin x| + C
6 4 2

1
42. dx = - cot x + C
sin2 x

1
43. dx = -1 cot (ax + b) + C, dla a = 0

sin2 (ax+b) a

1
44. dx = tan x + C
cos2 x
10

1 1
45. dx = tan (ax + b) + C, dla a = 0

cos2 (ax+b) a

46. sinh xdx = cosh x + C

1
47. sinh (ax + b)dx = cosh (ax + b) + C, dla a = 0

a

48. cosh xdx = sinh x + C

1
49. cosh (ax + b)dx = sinh (ax + b) + C, dla a = 0

a

1
50. dx = tanh x + C
cosh2 x

1 1
51. dx = tanh (ax + b) + C, dla a = 0

cosh2 (ax+b) a

1
52. dx = - coth x + C
sinh2 x

1
53. dx = -1 coth (ax + b) + C, dla a = 0

sinh2 (ax+b) a
11
6 Całkowanie funkcji wykładniczych

1. exdx = ex + C

1
2. eax+bdx = eax+b + C, dla a = 0

a

mx
3. mxdx = + C, dla m > 0 i m = 1

ln m

max+b
4. max+bdx = + C, dla d > 0, m = 1 i a = 0

a ln m
12
7 CaÅ‚kowanie przez cz¸ i podstawienie
eści

1 n-1
1. sinn xdx = - sinn-1 x + sinn-2 xdx
n n

1 n-1
2. cosn xdx = cosn-1 x sin(x) + cosn-2 xdx
n n

k (-1)i+1 k
( )
i
3. sin2k+1 xdx = cos1+2i x + C, dla k = 0, 1, 2, ...
i=0
1+2i

k (-1)i k
( )
i
4. cos2k+1 xdx = sin1+2i x + C, dla k = 0, 1, 2, ...
i=0
1+2i

1
5. ln (ax + b)dx = [(ax+b) ln (ax + b)-(ax+b)]+C, dla a = 0

a

1 1
6. xn ln xdx = xn+1 ln x - xn+1 + C
n+1 (n+1)2


1
7. arctan (ax + b)dx = [(ax+b) arctan (ax + b)-ln (ax + b)2 + 1]+
a
C
13