Ćwiczenie 9.
Indukcyjność własna i wzajemna
Zadanie
W cewce idealnej o indukcyjności L=0,4H prąd ma przebieg pokazany na rysunku.
Wyznaczyć przebieg napięcia na zaciskach cewki uL i przebieg energii pola magnetycznego
cewki eL.
L=0,4H
i
UL
6
t[ms]
4 8 12 16
Rozwiązanie
" Obliczamy napięcia indukowane na zaciskach cewki
di
uL = L
dt
di di 6[A]
dla > 0 uL = L = 0,4 = 600[V]
dt dt
4 �"10-3[s]
di di 6[A]
dla < 0 uL = -L = -0,4 = -600[V]
dt dt
4 �"10-3[s]
" Obliczamy energię gromadzoną w polu magnetycznym cewki
L �" i2
eL =
2
i 0 1 2 3 4 5 6 A
eL 0 0,2 0,8 1,8 3,2 5,0 7,2 W
" Wykonujemy wykresy przedstawiające przebiegi prądu, napięcia i energii w cewce.
i[A]
6
3
t[ms]
12
4 8 16
UL[V]
600
t[ms]
8 12
4 16
600
eL
8 7,2 7,2
6
4
2
+ +
t[ms]
-
4 12 - 16
8
-2
-4
-6
-7,2 -7,2
-8
�" - energia pobierana ze z
ródła
- energia zwracana do z
ródła
Zadanie
W gałęzi szeregowej złożonej z cewki idealnej o indukcyjności L=0,2H i oporniku
o rezystancji R=15� prąd ma przebieg pokazany na rysunku. Wyznaczyć przebieg napięcia
na końcach gałęzi
L
R
i[A]
1
t[ms]
5 10 15 20 25 30
Rozwiązanie
Napięci na zaciskach gałęzi
di
u = uR + uL = R �" i + L
dt
L
i R
uL uR
u
Wyznaczamy przebiegi:
- napięcia na oporniku uR = R �" i
di
- napięcia na cewce uL = L
dt
di di di
(uwaga: dla > 0 uL > 0; < 0 uL < 0; = 0 uL = 0 )
dt dt dt
- sumujemy wartości chwilowe napięć na cewce i oporniku i wykreślamy napięcie
na końcach gałęzi szeregowej LR.
U[V]
40
15
t[ms]
5 10 15 20 25 30
-25
-40
Przebieg napięcia na końcach gałęzi szeregowej LR.
Zadanie
Dwie cewki sprzężone magnetycznie połączono szeregowo i przyłączono do napięcia
sinusoidalnego o wartości skutecznej U = 220 V i częstotliwości f = 50 Hz. Włączony do
obwodu amperomierz wskazał prąd I1 = 9,7 A, a po przełączeniu zacisków na jednej cewce
prąd I2 = 13,3 A. Obliczyć indukcyjność wzajemną cewek M, współczynnik sprzężenia k i
wykresy wektorowe. Dane: R1 = 7 &!, L1 = 19,1 mH, R2 = 9 &!, L2 = 12,7 mH.
Rozwiązanie
Pomiary prądu odpowiadają dwom układom:
" połączeniu zgodnemu cewek  prąd I1
Z1 = R1 + R2 + j�(L1 + L2 + 2M ) = R + jX + j2X
M
M
L2
L1
R2
R1
I1
" "
U2
U1
U
" połączeniu przeciwnemu cewek  prąd I2
Z = R1 + R2 + j�(L1 + L2 - 2M ) = R + jX - j2X
2 M
M
L2
L1
I2 R1
R2
"
"
Impedancje cewek:
U 220 U 220
Z1 = = = 22,7� Z2 = = = 16,5�
I1 9,7 I2 13,3
2
2
Z1 = R2 + (X + 2X )
M
2
2
Z2 = R2 + (X - 2X )
M
2 2
2 2
(X + 2X ) - (X - 2X ) = Z1 - Z2
M M
stąd indukcyjność wzajemna
2 2
Z1 - Z2 22,72 - 16,52 X 3
M
X = = = 3� , M = = = 9,5mH ,
M
8X 8 �"10 � 314
współczynnik sprzężenia
M 0,5
k = = = 0,6
L1 �" L2 19,1�"12,7
wykresy wektorowe
UM2
U2
UL2
UR2
UM1 U
U1
UL1
I1
UR1
połączenie zgodne
UM2
UM1
U2 UL2
U
UR2
UL1
U1
UR1 I2
połączenie przeciwne
Zadanie
Wyznaczyć prądy pierwotny I1 i wtórny I2 w transformatorze bezrdzeniowym, wiedząc, że U
= j120 V, � = 104 rad/s, L1 = 2 mH, L2 = 1,5 mH, C = 20 źF, R = 10 &!, M = 0,3 mH.
I1 C1
I2
M
" "
U1 U2 R
L1 L2
Rozwiązanie
przy podanych na rysunku kierunkach, prądy spełniają następujące równania
�# 1 ś#
U1 = I1ś# j�L1 + ź# - I j�M
2
ś# ź#
j�C
�# #
0 = -I1 j�M + I (R + j�L2 )
2
podstawiając
XL1 = � L1 = 20 &!, XL2 = � L2 = 15 &!, XC = 1/ � C = 4 &!, XM = � M = 3 &!,
po rozwiązaniu równań otrzymujemy I1 = 3,12 - j7,13. I = 1,09 - j0,70
2
Zadania do rozwiązania
1. Zadanie
Dwie cewki sprzężone magnetycznie o parametrach R1 = 3 &!, R2 = 4 &!, X1 = 7 &!, X2 = 9 &!,
XM = 4 &! połączono równolegle. Jaka wartość ma impedancja zastępcza cewek przy
połączeniu zgodnym i przeciwnym?
I1 I2 I1
I2
M
"
"
" M
L1 L2
L2
L1
"
R1 R2
R1 R2
połączenie przeciwne
połączenie zgodne
Odpowiedz
:
impedancja zastępcza cewek połączonych równolegle i sprzężonych magnetycznie
Z1 �" Z - Z
2 M
Z =
Z1 + Z m Z
2 M
połączenie zgodne cewek Zz = 0,168+j6,522
połączenie przeciwne cewek Zp = 1,234+j2,485.
2. Zadanie
M
Wyznaczyć taką wartość współczynnika sprzężenia k, ( k = ) aby impedancja
L1 �" L2
zastępcza transformatora obciążonego pojemnością C miała charakter rezystancyjny. XL1 = 7
&!, XL2 = 11 &!, XC = 7 &!.
I1 R
I2
M
" "
C
U1
L1
L2 U2
Odpowiedz
k =0,6.