Pytania kontrolne do wykÃladu z algebry
Liczby zespolone
1. Podaj definicj¸e iloczynu kartezjańskiego zbiorów. Wyznacz zbiór A × B, dla A = ( − 1 , 3] , B =
{ 1 } ∪ [2 , 4).
2. Podaj definicj¸e liczby zespolonej. W jakiej postaci można zapisać liczb¸e zespolon¸a? Liczb¸e ( − 2 , 2) zapisz we wszystkich znanych postaciach.
3. Podaj definicj¸e liczby sprz¸eżonej i wymień wÃlasności sprz¸eżenia.
4. Podaj dwie wielkości, które geometrycznie charakteryzuj¸a liczby zespolone. Wymień ich wÃlasności.
Zaznacz na pÃlaszczyźnie zespolonej zbiory liczb z ∈ C speÃlniaj¸acych warunki |z −z 0 | = r, |z −z 0 | ≤ r, r ≤ |z − z 0 | ≤ R, gdzie r, R > 0, z 0 ∈ C s¸a ustalone.
5. Podaj wzory na iloczyn i iloraz liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Ile wynosi Arg( z 1 ), z 2
jeśli Arg z 1 = 2 π, Arg z
π?
5
2 = 3
2
6. a) Zapisz w postaci algebraicznej liczb¸e, której moduÃl jest równy 2, a argument gÃlówny π/ 6; b) Zapisz w postaci trygonometrycznej liczb¸e 5 − 5 i;
c) Zapisz w postaci algebraicznej liczb¸e 2(cos 353 π + i sin 353 π ); 4
4
d) Zaznacz na pÃlaszczyźnie zespolonej liczby o module równym 3, które s¸a wierzchoÃlkami trójk¸ata równobocznego o środku w pocz¸atku ukÃladu wspóÃlrz¸ednych i podstawie równolegÃlej do osi rzeczy-wistej.
7. Oblicz wszystkie pot¸egi o wykÃladnikach caÃlkowitych od − 4 do 4 liczby 1+ i
√
i zaznacz ich poÃlożenie na
2
pÃlaszczyźnie zespolonej. Wyjaśnij uzyskany wynik za pomoc¸a przedstawienia trygonometrycznego tej liczby.
8. Podaj wzór de Moivre’a. Zastosuj ten wzór do obliczenia ( − 2 − 2 i)10.
√
√
9. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczb¸e z = − 3 + i i oblicz ( − 3 + i)24 .
10. Odgadnij wartości liczb i 51 i i− 53. Uzasadnij otrzymany wynik.
11. Podaj definicj¸e pierwiastka n-tego stopnia z liczby zespolonej. Korzystaj¸ac z tej definicji oblicz
√ 3 + 4 i.
12. Odgaduj¸ac jeden z pierwiastków stopnia 4 z liczby (1 − 4 i)4 wyznacz pozostaÃle i podaj interpretacj¸e geometryczn¸a zbioru tych pierwiastków.
13. Podaj wzór na pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej.
√
14. Sprawdź, czy liczba z 0 = 3 − i jest pierwiastkiem wielomianu W ( z) = z 9 − 512.
15. Ile pierwiastków ma wielomian zespolony stopnia n ∈ N. Znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu W ( z) = z 4 − 1.
16. Ile rozwi¸azań ma równanie kwadratowe w zbiorze C? Podaj odpowiednie wzory.
17. Podaj definicj¸e macierzy i wymień trzy dowolne rodzaje macierzy (podaj odpowiednie przykÃlady).
18. Czy każde dwie macierze można dodać, pomnożyć? Jeśli nie, jakie musz¸a być speÃlnione warunki, aby można byÃlo wykonać te dziaÃlania?
19. Jak¸a macierz nazywamy macierz¸a jednostkow¸a? Jak¸a wÃlasność ma ta macierz?
20. Podaj przykÃlady dwóch niezerowych macierzy, których iloczyn jest macierz¸a zerow¸a. Czy podobna sytuacja może si¸e zdarzyć w zbiorze liczbowym?
21. Czy w zbiorze macierzy prawdziwy jest wzór skróconego mnożenia ( A + B)( A − B) = A 2 − B 2?
Odpowiedź uzasadnij.
22. Napisz dowoln¸a macierz trójk¸atn¸a doln¸a i dowoln¸a macierz trójk¸atn¸a górn¸a, obie czwartego stopnia.
Oblicz ich iloczyn.
23. UzupeÃlnij wzory ( A + B) T = .... , ( AB) T = .... , ( AT ) T = .... (wÃlasności transponowania macierzy).
·
¸
− 1
0
− 1 2 4 1
3
2
Na przykÃladzie macierzy A =
i B =
− 2 2 1 0
2 − 3 sprawdź drugi wzór.
2
4
24. Podaj definicj¸e wyznacznika macierzy stopnia n ∈ R.
25. SformuÃluj twierdzenie Laplace’a o rozwini¸eciu wyznacznika. Korzystaj¸ac z tego twierdzenia oblicz
2
1 0
3
1
4 1 − 1
wyznacznik macierzy A =
0
2 0
1 .
1 − 1 1
2
26. Wymień wÃlasności wyznacznika macierzy. Korzystaj¸ac z tych wÃlasności określ wartość wyznacznika
¯
¯
¯
¯
¯ 1
2
3
4 ¯
¯
¯
¯ 4
3
2
1 ¯
¯
¯ .
¯ 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ¯
¯ 6
4
1
3 ¯
3
1
4
27. Podaj definicj¸e macierzy nieosobliwej. Sprawdź czy macierz A = − 1 − 2
3 jest nieosobliwa.
− 3
6 − 9
28. Napisz dowoln¸a macierz trójk¸atn¸a górn¸a pi¸atego stopnia i oblicz jej wyznacznik. Ile jest równy wyznacznik dowolnej macierzy trójk¸atnej górnej (dolnej)?
0
1 1
29. Podaj definicj¸e macierzy odwrotnej. Sprawdź, czy macierz A =
1 − 1 2 jest odwrotna do
− 1
0 2
2
2
1
macierzy B = 0 − 1
2 .
1
1 − 2
30. Podaj wzór macierzy odwrotnej do macierzy A. Wymień wÃlasności macierzy odwrotnych.
31. Podaj definicj¸e rz¸edu macierzy.
a 4 2
Sprawdź, dla jakich a ∈ R rz¸ad macierzy A = 1 a 1 jest równy 2.
1 2 4
32. Wymień wÃlasności rz¸edu macierzy i operacje elementarne, które nie zmieniaj¸a rz¸edu.
33. Niech A ∈ Mm×n(R). UzupeÃlnij zdanie: rz A = r ⇐⇒ ... .
1 2 3 4
5
34. Jak¸a macierz nazywamy macierz¸a schodkow¸a? Macierz A = 2 4 6 8
9 sprowadź do postaci
2 4 6 8 12
schodkowej i określ jej rz¸ad.
UkÃlady r´
owa´
n liniowych
35. Jaki ukÃlad nazywamy ukÃladem m równań liniowych z n niewiadomymi? Zapisz ten ukÃlad w postaci macierzowej.
36. Podaj definicj¸e ukÃladu jednorodnego i niejednorodnego. Co wiemy o rozwi¸azaniach ukÃladu jednorodnego?
37. Jaki ukÃlad nazywamy ukÃladem Cramera? SformuÃluj twierdzenie o rozwi¸azaniu tego ukÃladu.
38. SformuÃluj twierdzenie Kroneckera-Capellego.
Czy ukÃlad pi¸eciu równań liniowych z sześcioma niewiadomymi może nie mieć żadnego rozwi¸azania?
Czy taki ukÃlad może mieć dokÃladnie jedno rozwi¸azanie? Odpowiedź uzasadnij.
39. Czy ukÃlad siedmiu równań liniowych z sześcioma niewiadomymi może nie mieć żadnego rozwi¸azania?
Czy taki ukÃlad może mieć dokÃladnie jedno rozwi¸azanie? Odpowiedź uzasadnij.
40. W każdym z poniższych zdań wybierz poprawn¸a odpowiedź.
A) Jednorodny ukÃlad m równań liniowych z n niewiadomymi, którego macierz wspóÃlczynników ma rz¸ad r, ma dokÃladnie jedno rozwi¸azanie wtedy i tylko wtedy, gdy a) m = n = r, b) m = n > r, c) m ≥ n = r, d) n ≥ m = r.
B) Jednorodny ukÃlad m równań liniowych z n niewiadomymi, którego macierz wspóÃlczynników ma rz¸ad r, jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy a) m = n = r, b) m < n < r, c) m > n > r, d) n > m > r.
41. Ile rozwi¸azań może mieć ukÃlad n równań liniowych z n niewiadomymi? Podaj odpowiednie warunki.
Przestrzenie liniowe. PrzeksztaÃlcenia liniowe
42. Podaj definicj¸e podprzestrzeni przestrzeni wektorowej V . Sprawdź, czy zbiór wielomianów W =
{w ∈ R3[ x] : w(0) ≥ 0 } jest podprzestrzeni¸a przestrzeni wektorowej R3[ x].
43. Podaj przykÃlady podprzestrzeni wektorowych przestrzeni R2 i R3.
44. Podaj definicj¸e podprzestrzeni generowanej przez zbiór A ⊂ V . Niech v 1 = (1 , 0 , 2) , v 2 = ( − 2 , 0 , 4).
Wyznacz Lin( {v 1 }) i Lin( {v 1 , v 2 }).
45. Czy przeci¸ecie i suma podprzestrzeni V 1 i V 2 przestrzeni wektorowej V s¸a także podprzestrzeniami.
Odpowiedź uzasadnij.
46. Podaj definicj¸e liniowej niezależności wektorów. Sprawdź, czy wektory (1 , 2) , ( − 1 , 4) ∈ R2 s¸a liniowo niezależne.
47. SformuÃluj warunek konieczny i wystarczaj¸acy na to, aby wektory v 1 , ..., vn ∈ V byÃly liniowo zależne.
48. Uzasadnij, że zbiór wektorów v 1 , ..., vn ∈ V zawieraj¸acy wektor zerowy jest liniowo zależny.
49. Podaj definicj¸e bazy przestrzeni wektorowej. Podaj przykÃlady baz kanonicznych znanych przestrzeni wektorowych.
50. SformuÃluj twierdzenie o równoliczności baz. Ile elementów liczy dowolna baza przestrzeni R n, R n[ x], n ∈ N? Jakie s¸a wymiary tych przestrzeni?
51. Co to s¸a wspóÃlrz¸edne wektora w bazie B? Podaj wspóÃlrz¸edne wektora (4 , 5) w bazie B = {(1 , 1) , (1 , 0) }.
52. SformuÃluj i uzasadnij twierdzenie o jednoznaczności przedstawienia wektora w bazie.
53. Jaki jest warunek na to, by ukÃlad n wektorów v 1 , ..., vn tworzyÃl baz¸e przestrzeni wektorowej R n.
54. Podaj definicj¸e przeksztaÃlcenia liniowego. Sprawdź, czy L : R2 → R2 określone wzorem L( x, y) =
(2 x + y, x − y) jest przeksztaÃlceniem liniowym.
55. Co to jest j¸adro i obraz odwzorowania liniowego? Podaj zwi¸azek mi¸edzy ich wymiarami.
56. Podaj definicje monomorfizmu, epimorfizmu oraz izomorfizmu.
57. SformuÃluj warunki wystarczaj¸ace na to, aby odwzorowanie liniowe byÃlo:
(a) monomorfizmem,
(b) epimorfizmem,
(c) izomorfizmem.
58. Wyznacz KerL i ImL dla odwzorowania z pytania 54. Czy to odwzorowanie jest izomorfizmem?
59. W przestrzeni wektorowej V = R3[ x] określone jest odwzorowanie L : V → V wedÃlug wzoru ( L( f ))( x) = f 00( x) −f ( x). Wyznacz macierz tego odwzorowania wzgl¸edem kanonicznej bazy przestrzeni R3[ x].
60. Podaj definicj¸e iloczynu skalarnego i omów jego wÃlasności. Jaki jest zwi¸azek mi¸edzy prostopadÃlości¸a wektorów a iloczynem skalarnym tych wektorów?
61. Oblicz iloczyn skalarny u ◦ v, jeśli kuk = 2 , kvk = 3 , ^( u, v) = π/ 3.
62. Korzystaj¸ac z wÃlasności iloczynu skalarnego uzasadnij twierdzenie kosinusów.
63. Podaj definicj¸e iloczynu wektorowego i wyprowadź wzór na jego wspóÃlrz¸edne. Jaka jest interpretacja geometryczna dÃlugości wektora u × v?
64. Znajdź wektor jednostkowy prostopadÃly do dwóch danych wektorów u = (1 , 2 , 3) i v = ( − 1 , 0 , 2).
65. Podaj definicj¸e iloczynu mieszanego wektorów u, v, w ∈ R3. Oblicz obj¸etość równolegÃlościanu rozpi¸etego na wektorach u = (1 , 0 , 2), v = (0 , 1 , 3), w = ( − 1 , 2 , 1).
66. Napisz równanie ogólne, odcinkowe i parametryczne pÃlaszczyzny.
Napisz równanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez punkt P = (1 , 2 , − 1) i prostopadÃlej do wektora n = ( − 1 , 0 , 3).
67. Napisz równanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez trzy punkty P 1 = (1 , 1 , 1) , P 2 = ( − 1 , 0 , 1) , P 3 =
(5 , 6 , 7).
68. Podaj równanie parametryczne, kraw¸edziowe i kierunkowe prostej w przestrzeni. Napisz równanie parametryczne prostej przechodz¸acej przez punkt P = (1 , 2 , − 1) i równolegÃlej do wektora v =
( − 1 , − 2 , 4).
½ x + 2 y + z − 3 = 0
69. Prost¸a opisan¸a równaniem kraw¸edziowym
zapisz w postaci parametrycznej
−x + 4 y − z + 2 = 0
i kierunkowej.
70. Oblicz odlegÃlość punktu (2 , 4 , − 1) od pÃlaszczyzny 2 x + y − z + 3 = 0.