Zadania z przedmiotu Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I/II semestr seria 9
1. Sprawdzić, czy dana funkcja f : 2
2
2
R × R → R jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R : (1) f ([x1, x2], [y1, y2]) = x1y1 + x1y2 + x2y1 − x2y2; (2) f ([x1, x2], [y1, y2]) = x1y1 + x1y2 + 2x2y1 + x2y2; (3) f ([x1, x2], [y1, y2]) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2; (4) f ([x1, x2], [y1, y2]) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 3x2y2.
2. Sprawdzić, że wzór
Z
1
< f, g > =
f (x)g(x)dx
−1
określa iloczyn skalarny w C[−1, 1] - przestrzeni funkcji ciag lych na przedziale [−1, 1]. Znaleźć
,
kxkk dla k = 0, 1, 2, . . . oraz cos ^(xk, xm) dla k, m = 0, 1, 2, . . . .
3. Wykazac, że w dowolnej przestrzeni euklidesowej jeśli z = x + y, to cos ^(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy kxk2 + kyk2 = kzk2.
4. Przeprowadzić ortogonalizacje bazy kanonicznej przestrzeni 3 z iloczynem skalarnym:
,
R
4 0 2 y
1
< [x1, x2, x3], [y1, y2, y3] > = [x1, x2, x3]
0 1 0
y
2
2 0 2
y3
5. Przeprowadzić ortogonalizacje bazy {1, x, x3, x3} przestrzeni euklidesowej
,
R[x]3 z iloczynem
skalarnym:
Z
1
< f, g > =
f (x)g(x)dx.
−1
6.
Znaleźć rzut ortogonalny wektora x = [2, −1, 1] na podprzestrzeń Lin{[1, 0, 0], [0, 1, 0]}
przestrzeni
3
R z iloczynem skalarnym danym wzorem: (1) < [x1, x2, x3], [y1, y2, y3] > = x1y1 + x2y2 + x3y3; (2) < [x1, x2, x3], [y1, y2, y3] > = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3; (3) < [x1, x2, x3], [y1, y2, y3] > = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 + x3y3.
7. Znaleźć rzut ortogonalny wielomianu f (x) = 4 + 3x + x2 − x3 na podprzestrzeń U = Lin{1, x}
w przestrzeni R[x]3 z iloczynem skalarnym: Z
1
< f, g > =
f (x)g(x)dx.
−1
8. Sprawdzić, że funkcje 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . tworza uk lad ortogo-
,
nalny w przestrzeni funkcji ciag lych C[−π, π] z iloczynem skalarnym
,
Z
π
< f, g > =
f (x)g(x)dx.
−π
1