Rozwi¡zania
Indeks
Ekonomia Mat. / 19 czerwca 2008r.
1 2 3 4 5 6
×
1. Funkcja produkcji jest okre±lona wzorem
√
√
2
Q(K, L) =
K +
L
,
gdzie K, L > 0. Niech q > 0 b¦dzie zadan¡ wielko±ci¡ produkcji. Pokaza¢, »e funkcja K(L) zadana równaniem Q(K, L) = q jest malej¡ca i wypukªa, tj. dK/dL < 0 i d2K/dL2 > 0.
Rozwi¡zanie. Równanie
√
√
2
Q(K, L) =
K +
L
= q
deniuje funkcj¦ K = K(L). Ró»niczkuj¡c to równanie po L otrzymujemy
√
!
p
K0(L)
1
2
L +
K(L)
+ √
= 0
2pK(L)
2 L
sk¡d
pK(L)
K0(L) = −
√
< 0.
L
Ro»niczkuj¡c ponownie otrzymujemy
√L + pK(L)
K00(L) =
> 0.
2L3/2
2. Rynek w chwili t jest zdeniowany poprzez funkcje poda»y S(t) = −γ + δP (t) + uP 0(t) + wP 00(t) i popytu D(t) = α − βP (t).
Zakªadamy, »e rynek w ka»dej chwili jest w równowadze oraz α, β, γ, δ > 0, u, w > 0 i u2 > 4w(β + δ). Znale¹¢ równowag¦ oraz pokaza¢, »e dla takich zaªo»e« jest ona asymptotycznie stabilna.
Rozwi¡zanie. Zaªo»enie o znajdowaniu si¦ rynku w równowadze prowadzi do równania ró»-
niczkowego postaci
−γ + δP (t) + uP 0(t) + wP 00(t) = α − βP (t) lub po przeksztaªceniu
wP 00(t) + uP 0(t) + (β + δ)P (t) = α + γ.
Równowaga wynosi wi¦c (α + γ)/(β + δ). Wielomian charakterystyczny dla równania jednorod-nego jest postaci
W (λ) = wλ2 + uλ + β + δ.
Poniewa» u2 > 4w(γ + δ) (na mocy zaªo»enia) zatem istniej¡ dwa pierwiastki rzeczywiste λ1, λ2
oraz korzystaj¡c z pozostaªych zaªo»e«
β + δ
u
λ1λ2 =
> 0
i λ1 + λ2 = − < 0
w
w
a wi¦c λ1,2 < 0 i w konsekwencji równowaga jest asymptotycznie stabilna.
3. Niech dany b¦dzie rynek scharakteryzowany funkcj¡ popytu Dt = α − βPt oraz funkcj¡
poda»y St = −γ + δP ?, gdzie P ? = P ? + η(P
), η ∈ (0, 1). Zakªadamy, »e rynek jest t
t
t−1
t−1 − P ?
t−1
w równowadze w ka»dym okresie t.
a) Poka», »e zachowanie si¦ cen Pt jest opisane równaniem ró»nicowym postaci
ηδ
η(α + γ)
Pt+1 − 1 − η −
Pt =
.
β
β
b) Znajd¹ rozwi¡zanie tego równania.
Rozwi¡zanie. Poniewa» Dt = St wi¦c
α + γ − βP
α − βP
t
t = −γ + δP ? ⇒ P ? =
.
t
t
δ
Wstawiaj¡c uzyskan¡ zale»no±¢ do równania na P ? otrzymujemy po prostych przekszaªceniach t
ηδ
η(α + γ)
Pt+1 − 1 − η −
Pt =
.
β
β
Równowaga wynosi (α + γ)/(β + δ) st¡d rozwi¡zanie to
ηδ t
α + γ
α + γ
Pt =
1 − η −
P0 −
+
.
β
β + δ
β + δ
4. Niech dana b¦dzie funkcja x(t) speªniaj¡ca równanie ró»niczkowe postaci ˙x = 2t/ ln(x) razem z warunkiem x(0) = e. Znale¹¢ ekstrema funkcji x.
Rozwi¡zanie. Poniewa» ˙x = 2t/ ln(x) wi¦c ˙x(t) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy t = 0. Aby znale¹¢ drug¡ pochodn¡ ró»niczkujemy 2t/ ln(x) otrzymuj¡c 2 ln(x) − 2t ˙x/x
¨
x =
(ln(x))2
sk¡d ¨x(0) = 2 ln(x(0))/(ln(x(0)))2 = 2 > 0 a wi¦c t = 0 jest min. funkcji.
5. Niech funkcja warto±ci bedzie zadana pewn¡ funkcj¡ V (t) = f(t) a roczna nominalna stopa wynosi r i zakªadamy ci¡gªy model dyskontowania. a) Pokaza¢, »e warunki pierwszego rz¦du na 2
ekstremum warto±ci bie»¡cej (present value) A(t) sprowadzaj¡ si¦ do równo±ci r i stopy wzrostu V . b) Pokaza¢, »e warunki drugiego rz¦du sprowadzaj¡ si¦ do faktu, »e stopa wzrostu V musi by¢ malej¡ca.
Rozwi¡zanie. Warto±¢ bie»¡za wynosi A(t) = e−rtf(t) sk¡d dA
f 0(t)
dV /dt
= e−rtf 0(t) − e−rtrf (t) = 0 ⇒ r =
=
.
dt
f (t)
V
Warunk drugiego rz¦du (na max) s¡ postaci d2A = e−rt f(t)r2 − 2f0(t)r + f00(t) < 0
dt2
Podstawiaj¡c r = f0(t)/f(t) otrzymujemy 0(t)
d2A
e− tff(t) (f (t)f 00(t) − f 0(t)2)
=
< 0
dt2
f (t)
wnioskujemy1, »e f00f − (f0)2 < 0. Poniewa»
d V 0(t)
f 00f − (f 0)2
=
dt
V (t)
f 2
zatem otrzymujemy »¡dan¡ równowa»nosci (podobnie równowa»ne s¡ warunki dla min).
1Zakªadamy, »e warto±¢ V jest dodatnia.
3