ZGINANIE SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNE

1

ZGINANIE BELEK Z MATERIAàU SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNEGO

W ZAKRESIE SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNYM

1. MATERIAà SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNY

σ

σ

σ

σ

Re

Re

R

ε

ε

ε

ε

materiaá idealnie

materiaá idealnie

materiaá idealnie

mat. ideal. sprĊĪ. z liniowym

sprĊĪysty

sprĊĪysto-plastyczny

sztywno-plastyczny

umocnieniem plastycznym

2. ZAàOĩENIA

1. Materiaá idealnie sprĊĪysto-plastyczny (mat. Prandtla) o jednakowych wáasnoĞciach na rozciąganie i na Ğciskanie

σ

Re

- εpl

ε

εpl

- Re

2. Obowiązuje zasada zesztywnienia

3. Obowiązuje hipoteza páaskich przekrojów (hip. Bernouli’ego) 4. Wpáyw siá poprzecznych na osiągniĊcie stanu plastycznego jest pomijany 5. Zginanie zachodzi jedynie w gáównych páaszczyznach bezwáadnoĞci 3. ROZKàAD NAPRĉĩEē NORMALNYCH W PRZEKROJU ZGINANYM

z

σ

m ax

x < R e

σ

=

x

R e

Re

Re

Re

Re

1

2

3

4

4

5

dg

M

yc

dd

yo

dg

dd

>

σ x < Re σ x < Re

σ < R

R

x

e

e

Re

Re

1. Stan liniowo sprĊĪysty

2. Graniczny stan sprĊĪysty (max. naprĊĪenie normalne w co najmniej jednym punkcie przekroju osiąga wartoĞü równą granicy plastycznoĞci R

=

e ; moment zginający M

M )

3. Stan jednostronnie sprĊĪysto-plastyczny

4. Stan dwustronnie sprĊĪysto-plastyczny

5. Graniczny stan plastyczny (naprĊĪenie normalne w caáym przekroju osiąga wartoĞü równą granicy plastycznoĞci Re ) - w uplastycznionym przekroju powstaje tzw. przegub plastyczny, który róĪni siĊ od "zwykáego" przegubu tym, Īe przenosi moment równy tzw. granicznemu momentowi plastycznemu przekroju M)

ZGINANIE SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNE

2

4. GRANICZNA NOĝNOĝû SPRĉĩYSTA PRZEKROJU (graniczny moment sprĊĪysty M)

Granicznym momentem sprĊĪystym M (graniczną noĞnoĞcią sprĊĪystą przekroju) nazywamy moment zginający o takiej wartoĞci, która jest wystarczająca do uplastycznienia przekroju w co najmniej jednym punkcie (naprĊĪenie normalne σx jest równe granicy plastycznoĞci Re) z

σ

M

x = Re

σx =

z

Iyc

M

M

Re =

z max

Iyc

x

Iyc

M = Re z max

M = Re W spr

5. GRANICZNA NOĝNOĝû PLASTYCZNA PRZEKROJU (granicz. moment plastycz. M) Granicznym momentem plastycznym

M

(graniczną noĞnoĞcią plastyczną przekroju)

nazywamy moment zginający o takiej wartoĞci, która jest wystarczająca do uplastycznienia caáego przekroju (naprĊĪenie normalne σx w kaĪdym punkcie przekroju jest równe granicy plastycznoĞci Re )

Re

z

z

M

A

y

1

z‘

z

c

yo

A2

Re

• równania równowagi

(

N )

x =

x dA =

³³ σ

0

(1)

A

(

M )

x =

x z dA =

³³ σ

0

(2)

A

Ad. (1)

− Re A1 + Re A2 = 0

A1 + A2 = A

warunek okreĞlający poáoĪenie osi obojĊtnej

A1 = A 2 = 1 2 A

Ad. (2)

M =

Re z dA −

Re z dA = Re Sy

1 −

³³

³³

o (A )

Re Syo (A2 )

A1

A2

M = Re [Sy

1 −

o (A )

Syo (A2 )]

lub

M =

Re z' dA −

Re z' dA = Re Sy

1 −

³³

³³

c (A )

Re Syc (A2 )

A1

A2

y

+

=

Ÿ

= −

c - oĞ ciĊĪkoĞci

Sy

0

c (A1)

Syc (A2 )

Syc (A2 )

Syc (A1)

M = 2 Re Syc (A1)

ZGINANIE SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNE

3

• plastyczny wskaĨnik wytrzymaáoĞci przekroju def

Wpl = Sy

1 −

2

= 2

o (A )

Syo (A )

Syc (A1)

M = Re W pl

•

M

Wpl

wspóáczynnik ksztaátu

k =

=

> 1

M

Wspr

6. PRZYKàADY

• Obliczyü wspóáczynnik ksztaátu dla przekroju prostokątnego i koáowego z

b h2

2

Wspr =

;

W

= 2 S (A1) = 2 b h h b h

pl

yc

=

6

2 4

4

A1

h h

ª h § h º b h2

h

Wpl = Syo (A1) − Syo(A2 ) = b

− b

−

2 4

2 ©¨

·

4¹¸

y

¬«

¼» = 4

c= yo

A2

b h2

b h2

M

Wpl

M = R

Ÿ

e

;

M = Re

k =

=

= 15

.

b

6

4

M

Wspr

d

z

Wspr = π 3

32

A1

d2 4 d 2

3

π

W

= 2 S (A1)

d

pl

yc

= 2 1

=

2

4

3 π

6

d

yc= yo

A2

Wpl

32

k =

=

= 17

Wspr

6 π

.

• Obliczyü wspóáczynnik ksztaátu dla nastĊpujących przekrojów : 2

5

2

3

20

k = 1.52

6

k = 1.76

k = 1.42

7

5

2

2 2

5 5 5

3

4 3

1

1

5

1

9

10

8

k = 1.45

15

k = 2.34

k = 2.38

1

4

2

6

9

12

ZGINANIE SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNE

4

7. NOĝNOĝû GRANICZNA BELEK ZGINANYCH

7.1 NOĝNOĝû GRANICZNA PRZEKROJU

• graniczny moment sprĊĪysty (graniczna noĞnoĞü sprĊĪysta przekroju) M

• graniczny moment plastyczny (graniczna noĞnoĞü plastyczna przekroju) M

7.2 NOĝNOĝû GRANICZNA BELEK

• graniczna noĞnoĞü sprĊĪysta (graniczne obciąĪenie sprĊĪyste) P - jest to taka wielkoĞü obciąĪenia zewnĊtrznego (z reguáy wyraĪonego poprzez pewien parametr obciąĪenia), która powoduje w co najmniej jednym punkcie belki powstanie naprĊĪenia normalnego równego granicy plastycznoĞci

• graniczna noĞnoĞü plastyczna (graniczne obciąĪenie plastyczne) P - jest to taka wielkoĞü obciąĪenia zewnĊtrznego, która powoduje uplastycznienie co najmniej jednego przekroju belki (powstanie co najmniej jednego przegubu plastycznego)

• noĞnoĞü graniczna P∗ - jest to taka wielkoĞü obciąĪenia zewnĊtrznego, która powoduje uplastycznienie tylu przekrojów (tzn. powstanie tylu przegubów plastycznych), Īe belka zamienia siĊ w mechanizm.

7.2.1 Belki statycznie wyznaczalne

• graniczna noĞnoĞü sprĊĪysta P

M

Ÿ

max (P) = M

P

• graniczna noĞnoĞü plastyczna P

M

Ÿ

max (P) = M

P

• noĞnoĞü graniczna P∗

do zamiany belki statycznie wyznaczalnej w mechanizm wystarcza powstanie jednego przegubu, a ten tworzy siĊ juĪ przy obciąĪeniu równym granicznemu obciąĪeniu plastycznemu.

Tak wiĊc w belkach statycznie wyznaczalnych graniczna noĞnoĞü plastyczna i noĞnoĞü graniczna są pojĊciami toĪsamymi, tzn. P∗ = P

Przykáad

Wyznaczyü graniczne obciąĪenie sprĊĪyste, plastyczne i noĞnoĞü graniczną belki (Re=300 MPa).

4 q

q

Mmax = 4 q

Re Wspr

1

4

2

M = 4 q = R

Ÿ

e Wspr

q =

4

Re Wpl

M = 4 q = R

Ÿ

e Wpl

q =

4 q

2 q

4

M

A = 12 + 12 = 24 cm2

z

Sm = 12×7 +12×3 = 120 cm3

2

y

A

o

1

oĞ ciĊĪkoĞci

zc = 120/24 = 5 cm

yc

o

6

Ğ obojĊtna A1 = A2 = 1/2 A = 12 cm2

Ÿ

yo

5

m

I

3

2

3

2

yc

6

2 12 12

2

2

6

12 12

2

W

3

spr =

= ×

+

×

+ ×

+

×

= 2 .

7 2 cm

2

2 2

zmax

5

W

3

pl = 2 Syc (A1) = 2 × 12 × 2 = 48 cm

q = 2 0

. 4 kN / m

q = 3 6

. 0 kN / m

q∗ = q = 3 6

. 0 kN / m

ZGINANIE SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNE

5

7.2.2 Belki statycznie niewyznaczalne

• graniczna noĞnoĞü sprĊĪysta P

W celu wyznaczenia granicznej noĞnoĞci sprĊĪystej P naleĪy po wyznaczeniu (metodami mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystaü warunek : M

Ÿ

max (P) = M

P

• graniczna noĞnoĞü plastyczna P

W celu wyznaczenia granicznej noĞnoĞci plastycznej P naleĪy po wyznaczeniu (metodami mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystaü warunek : M

Ÿ

max (P) = M

P

• noĞnoĞü graniczna P∗

♦ metoda Ğcisáa

W celu wyznaczenia noĞnoĞci granicznej naleĪy po wyznaczeniu wykresu momentów zginających „wprowadziü” do belki przegub plastyczny (wraz z obustronnie przyáoĪonymi do niego momentami skupionymi, równymi M ) w przekroju maksymalnego momentu zginającego. Powtórnie naleĪy wyznaczyü wykres momentów dla belki o nowym schemacie statycznym i nowym obciąĪeniu. ProcedurĊ taką naleĪy kontynuowaü aĪ do zamiany belki w mechanizm. Oznacza to, Īe w belce n-krotnie statyczne niewyznaczalnej maksymalna iloĞü powyĪszych operacji moĪe wynosiü n+1 (moĪe teĪ byü mniejsza - zaleĪy to od schematu i obciąĪenia).

ObciąĪenie, przy którym belka zamienia siĊ w mechanizm jest noĞnoĞcią graniczną P∗ .

♦ metoda kinematyczna

Metoda kinematyczna oparta jest na tzw. twierdzeniach ekstremalnych teorii plastycznoĞci (patrz np.: Jacek Skrzypek, PlastycznoĞü i peázanie, PWN, Warszawa, 1987). Istota tej metody polega na znalezieniu i analizie wszystkich kinematycznie dopuszczalnych (tzn.

zgodnych z wiĊzami kinematycznymi) schematów zniszczenia belki.

W belce n-krotnie statycznie niewyznaczalnej maksymalna liczba przegubów plastycznych, jaka prowadzi do zamiany belki w mechanizm wynosi „n+1”. W przypadku mechanizmu o tej liczbie przegubów mówimy o tzw. peánym mechanizmie (schemacie) zniszczenia.

W przypadku, gdy moĪna utworzyü mechanizm obejmujący tylko czĊĞü belki (co ma miejsce przy liczbie przegubów mniejszej niĪ „n+1”) mówimy o tzw. niecaákowitym mechanizmie (schemacie) zniszczenia.

Stosując zasadĊ prac wirtualnych naleĪy wyznaczyü obciąĪenia niszczące dla kaĪdego z kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia. Najmniejszą z uzyskanych w ten sposób wartoĞci obciąĪenia uznajemy za noĞnoĞü graniczną P∗ .

MoĪna wykazaü, Īe jest to górne oszacowanie rzeczywistej noĞnoĞci granicznej belki.