1
ZGINANIE BELEK Z MATERIAàU SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNEGO
W ZAKRESIE SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNYM
1. MATERIAà SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNY
σ
σ
σ
σ
Re
Re
R
ε
ε
ε
ε
materiaá idealnie
materiaá idealnie
materiaá idealnie
mat. ideal. sprĊĪ. z liniowym
sprĊĪysty
sprĊĪysto-plastyczny
sztywno-plastyczny
umocnieniem plastycznym
2. ZAàOĩENIA
1. Materiaá idealnie sprĊĪysto-plastyczny (mat. Prandtla) o jednakowych wáasnoĞciach na rozciąganie i na Ğciskanie
σ
Re
- εpl
ε
εpl
- Re
2. Obowiązuje zasada zesztywnienia
3. Obowiązuje hipoteza páaskich przekrojów (hip. Bernouli’ego) 4. Wpáyw siá poprzecznych na osiągniĊcie stanu plastycznego jest pomijany 5. Zginanie zachodzi jedynie w gáównych páaszczyznach bezwáadnoĞci 3. ROZKàAD NAPRĉĩEē NORMALNYCH W PRZEKROJU ZGINANYM
z
σ
m ax
x < R e
σ
=
x
R e
Re
Re
Re
Re
1
2
3
4
4
5
dg
M
yc
dd
yo
dg
dd
>
σ x < Re σ x < Re
σ < R
R
x
e
e
Re
Re
1. Stan liniowo sprĊĪysty
2. Graniczny stan sprĊĪysty (max. naprĊĪenie normalne w co najmniej jednym punkcie przekroju osiąga wartoĞü równą granicy plastycznoĞci R
=
e ; moment zginający M
M )
3. Stan jednostronnie sprĊĪysto-plastyczny
4. Stan dwustronnie sprĊĪysto-plastyczny
5. Graniczny stan plastyczny (naprĊĪenie normalne w caáym przekroju osiąga wartoĞü równą granicy plastycznoĞci Re ) - w uplastycznionym przekroju powstaje tzw. przegub plastyczny, który róĪni siĊ od "zwykáego" przegubu tym, Īe przenosi moment równy tzw. granicznemu momentowi plastycznemu przekroju M)
2
4. GRANICZNA NOĝNOĝû SPRĉĩYSTA PRZEKROJU (graniczny moment sprĊĪysty M)
Granicznym momentem sprĊĪystym M (graniczną noĞnoĞcią sprĊĪystą przekroju) nazywamy moment zginający o takiej wartoĞci, która jest wystarczająca do uplastycznienia przekroju w co najmniej jednym punkcie (naprĊĪenie normalne σx jest równe granicy plastycznoĞci Re) z
σ
M
x = Re
σx =
z
Iyc
M
M
Re =
z max
Iyc
x
Iyc
M = Re z max
M = Re W spr
5. GRANICZNA NOĝNOĝû PLASTYCZNA PRZEKROJU (granicz. moment plastycz. M) Granicznym momentem plastycznym
M
(graniczną noĞnoĞcią plastyczną przekroju)
nazywamy moment zginający o takiej wartoĞci, która jest wystarczająca do uplastycznienia caáego przekroju (naprĊĪenie normalne σx w kaĪdym punkcie przekroju jest równe granicy plastycznoĞci Re )
Re
z
z
M
A
y
1
z‘
z
c
yo
A2
Re
• równania równowagi
(
N )
x =
x dA =
³³ σ
0
(1)
A
(
M )
x =
x z dA =
³³ σ
0
(2)
A
Ad. (1)
− Re A1 + Re A2 = 0
A1 + A2 = A
warunek okreĞlający poáoĪenie osi obojĊtnej
A1 = A 2 = 1 2 A
Ad. (2)
M =
Re z dA −
Re z dA = Re Sy
1 −
³³
³³
o (A )
Re Syo (A2 )
A1
A2
M = Re [Sy
1 −
o (A )
Syo (A2 )]
lub
M =
Re z' dA −
Re z' dA = Re Sy
1 −
³³
³³
c (A )
Re Syc (A2 )
A1
A2
y
+
=
= −
c - oĞ ciĊĪkoĞci
Sy
0
c (A1)
Syc (A2 )
Syc (A2 )
Syc (A1)
M = 2 Re Syc (A1)
ZGINANIE SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNE
3
• plastyczny wskaĨnik wytrzymaáoĞci przekroju def
Wpl = Sy
1 −
2
= 2
o (A )
Syo (A )
Syc (A1)
M = Re W pl
•
M
Wpl
wspóáczynnik ksztaátu
k =
=
> 1
M
Wspr
6. PRZYKàADY
• Obliczyü wspóáczynnik ksztaátu dla przekroju prostokątnego i koáowego z
b h2
2
Wspr =
;
W
= 2 S (A1) = 2 b h h b h
pl
yc
=
6
2 4
4
A1
h h
ª h § h º b h2
h
Wpl = Syo (A1) − Syo(A2 ) = b
− b
−
2 4
2 ©¨
·
4¹¸
y
¬«
¼» = 4
c= yo
A2
b h2
b h2
M
Wpl
M = R
e
;
M = Re
k =
=
= 15
.
b
6
4
M
Wspr
d
z
Wspr = π 3
32
A1
d2 4 d 2
3
π
W
= 2 S (A1)
d
pl
yc
= 2 1
=
2
4
3 π
6
d
yc= yo
A2
Wpl
32
k =
=
= 17
Wspr
6 π
.
• Obliczyü wspóáczynnik ksztaátu dla nastĊpujących przekrojów : 2
5
2
3
20
k = 1.52
6
k = 1.76
k = 1.42
7
5
2
2 2
5 5 5
3
4 3
1
1
5
1
9
10
8
k = 1.45
15
k = 2.34
k = 2.38
1
4
2
6
9
12
ZGINANIE SPRĉĩYSTO-PLASTYCZNE
4
7. NOĝNOĝû GRANICZNA BELEK ZGINANYCH
7.1 NOĝNOĝû GRANICZNA PRZEKROJU
• graniczny moment sprĊĪysty (graniczna noĞnoĞü sprĊĪysta przekroju) M
• graniczny moment plastyczny (graniczna noĞnoĞü plastyczna przekroju) M
7.2 NOĝNOĝû GRANICZNA BELEK
• graniczna noĞnoĞü sprĊĪysta (graniczne obciąĪenie sprĊĪyste) P - jest to taka wielkoĞü obciąĪenia zewnĊtrznego (z reguáy wyraĪonego poprzez pewien parametr obciąĪenia), która powoduje w co najmniej jednym punkcie belki powstanie naprĊĪenia normalnego równego granicy plastycznoĞci
• graniczna noĞnoĞü plastyczna (graniczne obciąĪenie plastyczne) P - jest to taka wielkoĞü obciąĪenia zewnĊtrznego, która powoduje uplastycznienie co najmniej jednego przekroju belki (powstanie co najmniej jednego przegubu plastycznego)
• noĞnoĞü graniczna P∗ - jest to taka wielkoĞü obciąĪenia zewnĊtrznego, która powoduje uplastycznienie tylu przekrojów (tzn. powstanie tylu przegubów plastycznych), Īe belka zamienia siĊ w mechanizm.
7.2.1 Belki statycznie wyznaczalne
• graniczna noĞnoĞü sprĊĪysta P
M
max (P) = M
P
• graniczna noĞnoĞü plastyczna P
M
max (P) = M
P
• noĞnoĞü graniczna P∗
do zamiany belki statycznie wyznaczalnej w mechanizm wystarcza powstanie jednego przegubu, a ten tworzy siĊ juĪ przy obciąĪeniu równym granicznemu obciąĪeniu plastycznemu.
Tak wiĊc w belkach statycznie wyznaczalnych graniczna noĞnoĞü plastyczna i noĞnoĞü graniczna są pojĊciami toĪsamymi, tzn. P∗ = P
Przykáad
Wyznaczyü graniczne obciąĪenie sprĊĪyste, plastyczne i noĞnoĞü graniczną belki (Re=300 MPa).
4 q
q
Mmax = 4 q
Re Wspr
1
4
2
M = 4 q = R
e Wspr
q =
4
Re Wpl
M = 4 q = R
e Wpl
q =
4 q
2 q
4
M
A = 12 + 12 = 24 cm2
z
Sm = 12×7 +12×3 = 120 cm3
2
y
A
o
1
oĞ ciĊĪkoĞci
zc = 120/24 = 5 cm
yc
o
6
Ğ obojĊtna A1 = A2 = 1/2 A = 12 cm2
yo
5
m
I
3
2
3
2
yc
6
2 12 12
2
2
6
12 12
2
W
3
spr =
= ×
+
×
+ ×
+
×
= 2 .
7 2 cm
2
2 2
zmax
5
W
3
pl = 2 Syc (A1) = 2 × 12 × 2 = 48 cm
q = 2 0
. 4 kN / m
q = 3 6
. 0 kN / m
q∗ = q = 3 6
. 0 kN / m
5
7.2.2 Belki statycznie niewyznaczalne
• graniczna noĞnoĞü sprĊĪysta P
W celu wyznaczenia granicznej noĞnoĞci sprĊĪystej P naleĪy po wyznaczeniu (metodami mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystaü warunek : M
max (P) = M
P
• graniczna noĞnoĞü plastyczna P
W celu wyznaczenia granicznej noĞnoĞci plastycznej P naleĪy po wyznaczeniu (metodami mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystaü warunek : M
max (P) = M
P
• noĞnoĞü graniczna P∗
♦ metoda Ğcisáa
W celu wyznaczenia noĞnoĞci granicznej naleĪy po wyznaczeniu wykresu momentów zginających „wprowadziü” do belki przegub plastyczny (wraz z obustronnie przyáoĪonymi do niego momentami skupionymi, równymi M ) w przekroju maksymalnego momentu zginającego. Powtórnie naleĪy wyznaczyü wykres momentów dla belki o nowym schemacie statycznym i nowym obciąĪeniu. ProcedurĊ taką naleĪy kontynuowaü aĪ do zamiany belki w mechanizm. Oznacza to, Īe w belce n-krotnie statyczne niewyznaczalnej maksymalna iloĞü powyĪszych operacji moĪe wynosiü n+1 (moĪe teĪ byü mniejsza - zaleĪy to od schematu i obciąĪenia).
ObciąĪenie, przy którym belka zamienia siĊ w mechanizm jest noĞnoĞcią graniczną P∗ .
♦ metoda kinematyczna
Metoda kinematyczna oparta jest na tzw. twierdzeniach ekstremalnych teorii plastycznoĞci (patrz np.: Jacek Skrzypek, PlastycznoĞü i peázanie, PWN, Warszawa, 1987). Istota tej metody polega na znalezieniu i analizie wszystkich kinematycznie dopuszczalnych (tzn.
zgodnych z wiĊzami kinematycznymi) schematów zniszczenia belki.
W belce n-krotnie statycznie niewyznaczalnej maksymalna liczba przegubów plastycznych, jaka prowadzi do zamiany belki w mechanizm wynosi „n+1”. W przypadku mechanizmu o tej liczbie przegubów mówimy o tzw. peánym mechanizmie (schemacie) zniszczenia.
W przypadku, gdy moĪna utworzyü mechanizm obejmujący tylko czĊĞü belki (co ma miejsce przy liczbie przegubów mniejszej niĪ „n+1”) mówimy o tzw. niecaákowitym mechanizmie (schemacie) zniszczenia.
Stosując zasadĊ prac wirtualnych naleĪy wyznaczyü obciąĪenia niszczące dla kaĪdego z kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia. Najmniejszą z uzyskanych w ten sposób wartoĞci obciąĪenia uznajemy za noĞnoĞü graniczną P∗ .
MoĪna wykazaü, Īe jest to górne oszacowanie rzeczywistej noĞnoĞci granicznej belki.