Egzamin z Matematyki 1 - teoria. 2 lutego 2012.
1. Podać w lasności wyznacznika. Obliczyć 1
0 1 3 1
0
1 1 1 5
1
1 0 1 3 .
−1
0 1 0 2
2
1 0 1 1
2. Podać definicje ciag lości funkcji w punkcie. Sprawdzić ciag lość funkcji:
,
,
,
(x − 1) sin( 1 ) dla x < 1
x−1
f (x) =
1
dla x = 1 .
1
e1−x
dla x > 1
3. Podać warunek wystarczajacy istnienia ekstremum funkcji.
Sprawdzić, czy
√
,
funkcja f (x) = x 4 − x2 ma ekstrema lokalne.
4. Podać warunek konieczny istnienia punktu przegiecia. Sprawdzić, czy funkcja
,
f (x) = x4 + 2x2 + 1 ma punkt przegiecia.
,
5. Podać twierdzenie o pochodnej funkcji górnej granicy ca lkowania. Obliczyć F 0(x) jeżeli
√
Z
x sin t
F (x) =
dt
0
t
Egzamin z Matematyki 1 - zadania. 2 lutego 2012.
1. A Rozwiazać uk lad równań
,
x + y − z
= 1
2x − y + 2z = 2
3x + z
= 3
B Rozwiazać metoda macierzowa
,
,
,
x + y + z
= −1
2x − y
= 4
−x + 2y − z = 1
2. A Przedstawić w postaci kartezjańskiej : (1−i)8i9
(2+2i)12
x − y + z = 0
B Napisać równania parametryczne rzutu prostopad lego prostej l : 2x − z + 1 = 0
na p laszczyzne π : 2x + y − z + 3 = 0.
,
3. A Znaleźć asymptoty krzywej y = x − arctgx.
B Obliczyć granice lim
,
x→0+(arctgx)x.
4. A R
x+3
√
dx
x2+x+1
B R cos4 x dx.
5. A R e
dx
1 x(1−ln2 x)
B Obliczyć d lugość luku
x = r cos t(1 + cos t) y = r sin t(1 + cos t) gdzie t przebiega przedzia l [0, 2π].