12

Charakterystyka obciążenia dzielnika napięcia

R1

R3 - reprezentuje obiążenie dzielnika

Etoda transfiguracji - wykorzystanie min.

U3

E

pojęcia oporności zastępczej

R2

R3

Połączone równolegle elemety R2 , R3 można zastąpić

R R

R

2

3

23 =

I

R +

R1

2

R3

E

R23

U3

Oporność zastępcz a połączenia szeregowego

R R

R

2

3

123 = R1 + R23 = R1 +

R +

I

2

R3

NPK

E

R123

U

E - U = 0; E = R123I

E

I =

R123

R R

U

2

3

3 = R23 I =

E

R

+

+

1R 2

R 2R3 R3R1

U

3

I

Charakterystykę obciążenia dzielnika napięć

U3 = f(R3) wykonano dla : E = 1V,

R1 = 1, R2 = 2 .

E

U3

R3

R3

E

13

Wykład 5. 29.10.2009

Dzielnik prądu.

W obwodzie zadano źródło prądu J oraz elementy pasywne

R1, R2, R3 .

Wyznaczyć natężenie prądu w gałęzi trzeciej I3.

R1

I3

I

1

Oznaczamy prądy w obwodzie oraz stosownie

I2

napięcia.

U1

U2

R

R3

J

U

2

J

U3

a. bezpośrednie zastosowanie praw Kirchhoffa

I1 = J

PPK

1. J - I2 - I3 = 0 - w obwodzie nieznane są tylko dwa prądy I2, I3 ; do ich wyznaczenia wystarczą dwa równania; do równania (1) należy dopisać niezależne równanie wg. NPK - równanie dla oczka I zawierać będzie trzecią niewiadamą UJ . Równanie dla oczka II :

2. U2 - U3 = 0 ; R2I2 = R3I3

1

2

3

z powyższych równań:

I

II

R

I

2

3 =

J

R +

2

R3

Prąd w gałęzi „trzeciej” prąd I3 zależy tylko od prądu dopływającego do układu równoległego i wartości elementów oporności układu równoległego R2, R3 .

Opisany obwód nazywany bywa dzielnikiem prądu.

Charakterystyka zewnętrzna dzielnika prądu

J = 2A

I = f(R3)

R3

14

Metoda transfiguracji rozwiązywania obwodów - wykorzystanie pojęcia oporności zastępczej.

Ponieważ I1 = J , do połączenia równoległego R2 , R3 dopływa znany prąd J, napięcie U2 = U3 wynosi:

R

R R

1

I3

I

U

2

3

1

3 = R23 J =

J

R +

2

R3

I2

Natężenie prądu I

U

3

1

U2

R

U

R2

3

J

J

U3

U

R

I

3

2

3 =

=

J

R

+

3

R 2 R3

R1

R4

I1

Przykład

Obliczyć natężenie prądu I1 w obwodzie o elementach:

R2

R1 = 2Ω, R2 = 16Ω, R3 = 4Ω, R4 = 30Ω, R5 = 20Ω,

E

R5

R7

R

6 = 5Ω , R6 = 15Ω , E = 5 V

R3

R6

oporność zastępcza dwójnika pasywnego o zwartych zaciskach wnosi zero:

Rab = 0 ; w przykładzie R67 = 0

a

R R

20 ⋅ 30

60

IR = 0

R

4

5

=

45 =

=

12 Ω

Uab = 0

R +

=

+

4

R5

20

30

5

0

I

Ra

R345 = R3 + R45 = 4 + 12 = 16 Ω

b

R R

16 ⋅16

R

2

345

Rab = 0

2345 =

=

= 8 Ω

R +

+

Rb

2

R345

16 16

R12345 = R1 + R2345 = 2 + 8 = 10Ω

E

5

I1 =

=

= 0,5 A

R12345

10

Przykład.

Obliczyć taką wartość elementu R, aby oporność zastępcza dwójnika Rab wynosiła R.

R (R + R)

R

2

1

ab = R = R1 +

R1

R1

R + R + R

2

1

a

Po przekształceniach

Rab

R

R

2

b

R ( R1 + R2 + R ) = R1( R1 + R2 + R ) + R1R2 +R2 R

15

R2 + R (R1 + R2 - R1 - R2 ) - R1 ( R1 + 2R2 ) = 0

R = R (R + 2R )

1

1

2

Np. dla R1 = 2Ω, R2 = 3Ω , R = 4 Ω

Modele obwodowe źródeł energii elektrycznej

RE I

<

U = E - RE I

U

R = RE I

Charakterystyka źródła energii elektrycznej

E

U

<

E

U = E - R

E I

0

I

I

<

I = J - I

I

R

R

J

RJ

U

U

I = J -

R J

<

lub

U = RJJ - RJ I

Charakterystyka źródła energii elektrycznej

RJJ

U = RJJ - RJ I

0

I

16

Rownoważność modeli obwodowych źródeł energii

R E

I

I

<

<

U

I

R = RE I

R

≡

E

U

J

RJ

U

<

<

Równoważność modeli zachodzi, gdy charakterystyki zewnętrzne są identyczne. Wówczas: RE = RJ = R ; E = R J

Zasada superpozycji

W liniowym obwodzie elektrycznym, dowolny prąd ( dowolne napięcie ) jest algebraiczną sumą prądów ( napięć ) wywołanych źródłami działającymi z osobna. Pozostałe źródła zostają upasywnione.

Upasywnianie źródeł

<

<

J

=

0 ⇒ p rzerwa J

⇒

<

<

<

<

⇒

E

E = 0

zwarcie

<

<

Przykład

W obwodzie o danych parametrach: E = 6 V, J = 1 A, R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, sporządzić bilns mocy. Napięcia i prądy obliczyć stosując zasadę superpozycji.

Po zastrzałkowaniu prądów można zapisać:

I

1

I3

I

E

E

1 =

J

R

1

I + 1

I ; I2 =

J

I +

2

I2

1

R3

I

E

3 = J ; UJ =

J

U +

J

UJ

E

R2

J

UJ

UJ

I2

17

Skłdniki odczytujemy np. :

E

UJ -- napięcie na ródle prądu gdy działa E

J

UJ - napięie na źródle prądu gdy działa J

Superpozycja

E

=

Działa E

IE

1

I

0

3

R1

R

E

E

E

=

=

E

3

1

I

I2

= 2A ;

E

UJ = R2 1

I = 4 V.

R +

E

R

U

1

R2

2

J

E

I2

Działa J

I1 I3

J

R

I

2

= −

J

1

= - 2/3 A ;

R1

R + R

R3

1

2

E

R2

J

J

UJ

J

R

I

1

=

J

2

= 1/3 A

R + R

I2

1

2

J

R R

U =

1

2

J

(R3 + R + ) J = 11/3 V

1

R2

I1 = 2 - 2/3 = 4/3 A

I2 = 1/3 + 2 = 7/3 A

UJ = 4 + 11/3 = 23/3 V

PE = E I1 = 6 · 4/3 = 8 W

PJ = J UJ = 1· 23/3 = 23/3 W

Pźr = 47/3 W

PR1 = 1· (4/3)2 = 16/9 W

PR2 = 2 · (7/3)2 = 98/9 W

PR3 = 3 ( 1)2 = 3 W

PR = 47/3 W

Zazwyczaj stosując zasadę superpozycji liczy się w obwodzie niewiele wielkości np. jedną.

Element połączony sszeregowo ze źródłem prądu nie ma wpływu na rozpływ prądu i rozkład

napięć w reszcie obwodu. Ma wpływ na napięcie źródła prądu, a więc moc źródła.

18

Przykład

Obliczyć natężenie prądu I3 w obwodzie o danych: E1 = 15 V , E2 = 15V , R1 = 3Ω , R2 =6 Ω, R3 = 3 Ω. Zastosować zasadę superpozycji.

Działa E1 , E2 = 0

1

E

1

E

15

1

I

=

=

= 3A

R 2R3

5

R +

1

R +

2

R3

1

E

R

6

I

2

3 =

1

E

1

I

= 2 A

R +

= 3

2

R3

9

Działa E2 , E1 = 0

I3

E2

E

15

I

2

E

E2

2

=

=

= 2 A

1

R1R3

7 5

.

R +

2

R +

R3

1

R3

R1

R

R

2

E2

1

3

I

E

3

=

2

I2

= 1 A

R

+

= 2

R

1

6

I

E

3 =

2

I3 + 1

E

I3 = 2 + 1 = 3 A

19

Wykład 6 5.11.2009

Dopasowanie odbiornika do źródła energii

NPK

Rw I

E - Uw - U0 = 0

Uw = RwI

I ( Rw + R0 ) = E

R0

E

U0

E

I = R +

0

R w

P0 = U0 I = R0 I2

R

P

0

0 = E2 (

;

R

+

w

R )2

0

Największa moc odbiornika P0 przy zadanym źródłe energii ( E, Rw ) wystąpi gdy pochodna funkcji mocy { P0 (R0)} przyjmie wartość zero:

d(P )

2

+

−

+

0

(R

R )

R 2(R

R )

= 0 ;

w

0

0

w

0 = 0

d(R )

4

+

0

(R w R0)

z powyższego równania wynika zależność:

P0 = 72W

P0 = 64W

R0 = Rw

RR

0

0

Wykres mocy odbiornika odpowiada źródłu energii

o parametrach : E = 24V, Rw = 2Ω, I0= 6 A, P0max= 72W

Sprawność układu wynosi:

P

R I2

R I

η = 0 =

0

0

=

ź

P r

EI

E

w stanie dopasowania dla R0 = 2 Ω sprawność wynosi: η = 0,5

Do osiągnięcia mocy np. P0 = 64 W, można wybrać dwa przypadki: R01 = 1 Ω, I01 = 8A η = 0,33;

R02 = 4 Ω, I02 = 4 A , η = 0,66 (sprawdzić !)

20

Twierdzenie o źródle zastępczym (Thevenina)

Dowolny obwód liniowy lub część obwodu jeśli wyróżnimy w nim dwa zaciski a-b, można

zastąpić źródłem zastępczym, zawierającym szeregowe połączenie źródła napięcia ET i

elementu Rw .

a

a

a

a

a

En

Jn

Rw

Rw

Rn

Uab

E

≡

T

Rn

b

b

b

b

b

Źródło napięcia ET jest to napięcie Uab między wyróżnionymi zaciskami , oporność Rw zwana opornością wzierną zastępowanego obwodu, jest opornością zastępczą liczoną z zacisków a – b zastępowanego obwodu po jego upasywnieniu.

Przykład

W obwodzie dane są : E = 12 V, J = 2A, R1 = R2 = R3 = 3Ω. Obliczyć natęźenie prądu I3

stosująctwierdzenie o źródle zastępczym.

W celu wyznaczenia prądu I3 wyróżniamy zaciski a - b

w pobliżu końców gałęzi „3”.

a

Część obwodu na lewo od wyróżnionych zacisków zostanie

zastąpiona dwójnikiem Thevenina

J

E

I3

R3

R1

R2

Zastępowany obwód jest jednooczkowy, a prąd w oczku

b

narzucony jest przepisem źródła prądu.

Napięcie Uab obliczone zostanie z konturu zamkniętego NPK:

źródło napięcia, element R2 , przerwa a – b: Uab = E + R3J = ET

a

a

J

E

Rw

U

ET

ab

≡

R1

R2

b

b

Do wyznaczenia oporności wziernej Rw zastępowany obwód zostaje upasywniony (J = 0, E = 0):

21

a

J = 0

E = 0

Oporność zastępcza liczona z zacisków a-b

wynosi:

R1

R2

Rz = R2 = Rw

Po zastosowaniu twierdzenia o źródle zastępczym do części

b

obwodu, przystąpić można do obliczenia prądu I3 :

Dla tego jednooczkowego obwodu natężenie prądu I3

E

a

I

T

3 =

R

+

I3

w

R3

Rw

E

T

R3

E + R J

12 + 6

I

2

=

3 =

=

A

3

R +

2

R3

6

b

Obliczymy natężenie prądu I3 stosując zasadę superpozycji

a

I3

J

E

R

3

R1

R2

b

Działa J - dzielnik prądu

R

I ’

3

I ’

2

J

3 =

J

E = 0

R +

R

2

3

3

R3

I ’

=

3 =

2

A

1

3 + 3

R1

R2

Działa E - obwód jednooczkowy

E

I ’’

3 =

’’

R +

I

2

R3

J = 0

E

3

12

R3

I ’’

3 =

= 2A

3 + 3

R1

R2

I

’

’’

3 = I3 + I3 = 1 + 2 = 3 A

22

Przykład

W obwodzie dane są parametry wszystkich źródeł oraz elementów pasywnych: E1 = 2 V ; R1 = 2 Ω

E

E

1

4 = 2V ; R2 = 2 Ω

E5 = 2 V ; R4 = 2 Ω

I2

J3 = 2A ; R4 = 2 Ω

R

J

1

6 = 2 A ;

J6

J3

R2

a. obliczyć natążenie prądu I2 stosując twierdzenie o źródle zastępczym

b.napięcie Uab = ET obliczyć stosując twierdzenie o superpozycji

R

4

R6

E5

ponieważ należy obliczyć prąd I3 całą resztę obwodu

E

za wyjątkiem gałęzi „3”, należy zastąpić dwójnikiem

4

Thevenina

Zastępowana część obwodu

E1

R1

Uab

J

6

J3

R4

R

E

6

5

E4

zasada superpozycji - działa E1

E

1

prąd w obwodzie nie płynie

NPK w zaznaczonym konturze daje równanie

R1

U’ab

J6=0

U’ab = E1

J3=0

R4

R6

E5=0

E4=0

23

E1 = 0

Działa E4

U”ab = -E4

R

U”ab

J

1

6=0

J3=0

R

4

E5=0

R6

E4

E

1 = 0

Działa E

5

U”’ab

J6=0

R1

U’’’ab = - E5

J

3=0

R4

E5

R6

E

4=0

E1 = 0

Działa J3

U”’’a

R1

J6=0

b

J3

U’’’’ab = - R4 J3

R

R

4J3

4

E5=0

R6

E

Działa J

4=0

6

E1 = 0

U’’’’’

U”’’’a

ab = R1 J6 + R4 J6

R1

R1J6

b

J6=0

J3=0

R

R4J6

4

E5=0

R6

E4=0

24

Uab = E1 - E4 - E5 - R4J3 + (R1 + R4) J6 = 2 – 2 – 2 –2 · 2 + 4 · 2 = 2 V

ET = Uab = 2 V

E1 = 0

R1

RZ

J6=0

Rw = RZ = R1 + R4 = 4Ω

J3=0

R4

E5=0

R

6

a

I2

Rw= 4Ω

E4=0

E

R

T = 2V

2

b

E

2

1

I

T

=

3 =

=

A

R

+

+

w

R 2

4

2

3

Twierdzenie o źródle zastępczym (Nortona)

Dowolny obwód liniowy lub część obwodu, jeśli wyróżnimy w nim dwa zaciski a-b, można

zastąpić źródłem zastępczym, zawierającym równoległe połączenie źródła i elementu Rw .

a

a

a

En

Jn

Rw

≡

JN

Uab

Rn

b

b

b

Źródło prądu JN jest natężeniem prądu IZ w gałęzi zwierającej wyróżnione zaciski , oporność Rw zwana opornością wzierną zastępowanego obwodu, jest opornością zastępczą liczoną z zacisków a – b zastępowanego obwodu po jego upasywnieniu.

25

Przykład

W obwodzie o danychparametrach elementów aktywnych i pasywnych:

J = 2A, E = 10V, R1 = 1Ω , R2 = 2Ω , R3 = 3Ω ,

obliczyć natężenie prądu I3 stosując twierdzenie o źródle zastępczym I

Nortona.

J

E

3

R3

R1

R2

W celu obliczenia prdu I3 ,resztę obwodu (z wyjątkiem gałęzi „3” ) zastąpi się dwójnikiem Nortona

Obwów zastępowany z zaznaczoną gałęzią zwierającą

Dla obwodu zachodzizależność

J

J

I2

2

J

J

E

a

a

IZ = J + I2

IZ

Z

Oraz

R2

R

R1

R

b

E

E - R2I2 = 0 → I2 =

R 2

E

IZ = JN = J +

= 2 + 5 = 7 A

R 2

Obwód pasywny do liczenia oporności wziernej

J=0

E=0

a

RZ = Rw = R2 = 2Ω

R2

R

1

b

a

I3

J

Rw

R

N

3

Z dzielnika prądów

R

2

I

w

b

3 =

JN =

7 = 3,5 A

R

+

+

w

R3

2

2