WSTĘP DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
2.07.2013
Imię i nazwisko:
W poniższym teście, jeśli podana odpowiedź jest poprawna (Państwa zdaniem), to zaznaczamy ją następująco:
T , w przeciwnym wypadku: N . Za każdą poprawną odpowiedź otrzymujemy +1 punkt,
za każdą błędną odpowiedź − 0 . 5 punktu, za brak odpowiedzi 0 punktów. Ostatnie trzy pytania punktowane są inaczej (od 0 do 2 lub 4 punktów).
Punktacja: [15,18) punktów - ocena 3, [18,21) punktów - ocena 3.5, [21,25) punktów- ocena 4, [25,28) punktów- ocena 4,5, [28,30] punktów - ocena 5. Powodzenia.
Równanie y0( x) + xy( x) = 2 xy 2( x) jest równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu; Funkcje: 3 i exp(3 t) są liniowo niezależne;
Równanie ux = uy jest równaniem różniczkowym cząstkowym;
Przypuśćmy, że równanie x000 = f ( x) posiada dla dowolnego warunku początkowego dokładnie jedno rozwiązanie globalne. Wówczas rozwiązanie to jest funkcją co najmniej klasy C 3;
Równanie x00 + x = 0 posiada nieskończenie wiele rozwiązań okresowych;
Zagadnienie x0 = a( t) x + b( t), x( t 0) = x 0, dla a, b : R → R ciągłych, może nie posiadać rozwiązania globalnego; Równanie x0 = x posiada nieskończenie wiele rozwiązań;
Równanie x0 = (2 − x)( x + 1) posiada dokładnie dwa rozwiązania stałe: x( t) = 2 i x( t) = − 1;
√
Równanie x0 =
t x 2 posiada dla dowolnego warunku początkowego x( t 0) = x 0, t 0 > 0, dokładnie jedno rozwiązanie lokalne;
Równanie x000( t) = 0, t ∈ R, posiada dokładnie jedno rozwiązanie stałe; Funkcja y( t) jest rozwiązaniem zagadnienia: y00 = t − 5 y, y(2) = 1. Wówczas y00(2) = − 3; Równanie (cos x − x sin x) ydx + ( x cos x − 2 y) dy = 0 jest zupełne; Czynnik całkujący równania y 2 dx + ( x 2 − 2 xy) dy = 0 jest postaci 1 ; x 2
Wiemy, że bazą rozwiązań równania x00 + bx0 + cx = 0 są funkcje sin t oraz cos t. Wówczas rozwiązaniem zagadnienia x00 + bx0 + cx = 0, x(0) = 0, x( π/ 2) = 2 jest funkcja 2 sin t; Funkcja u( x, y) =
x
nie jest harmoniczna na
2 − {(0 , 0) };
x 2+ y 2
R
Funkcja u( x, y) =
x
spełnia równanie różniczkowe Laplace’a na
2 − {(0 , 0) };
x 2+ y 2
R
Równanie uxx − uxy + 1 u
2
yy + 5 uy − 5 ux = 0 jest eliptyczne;
Rozwiązanie zagadnienia początkowego dla równania ciepła wyraża się wzorem d’Alamberta;
W przypadku dwuwymiarowym równanie falowe stanowi uproszczony model drgań membrany;
Równanie uxx + uyy = f ( x, y) jest równaniem Poissona;
1. (4 punkty) Rozważmy równanie x000 + k( t) − h( x) + x0 − g( x0, x00) = 0, gdzie x : R → R. Zapisać równanie w postaci układu trzech równań pierwszego rzędu. Wypisać szczegółowo wszystkie założenia, dla których problem ma jednoznaczne rozwiązanie lokalne dla dowolnego warunku początkowego.
1
0
2. (4 punkty) Podaj definicję etA dla dowolnej macierzy kwadratowej A. Niech A =
. Wyznacz z definicji
− 1
1
element drugiego wiersza i pierwszej kolumny macierzy B( t) = etA (to znaczy element b 21( t)).
3. (2 punkty) Niech A będzie obszarem ograniczonym w
3
R . Załóżmy, że f ∈ C( A). Wykaż, że zagadnienie
uxx + uyy + uzz = f ( x, y, z)
w A ,
u = 0
na ∂A
posiada co najwyżej jedno rozwiązanie u ∈ C 2( A) ∩ C( ¯
A).