Zadanie 1

Zmienna losowa ma rozkład normalny, elementy typowe znajdują się w przedziale (1,5 ; 8,5). Jakie są prawdopodobieństwa, że: P( X < − 5

,

0 ); P( X >

)1

,

2

; P(0 < X < 7

,

1 ).

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład N(44;3,5). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki: a) P( X > x =

1 )

9

,

0 652

b) P( X < x =

2 )

8

,

0 842

c) P( x < X < 4 ,

9 2 =

3

) ,07135

d) P(44 3

, < X < x =

4 )

,

0 2871

Zadanie 3

Naszkicuj krzywą gęstości rozkładu normalnego, gdy m = 2; σ = 3 .

Zadanie 4

Prawdopodobieństwo, że samochód osobowy posiada na wyposażeniu gaśnicę z homologacją wynosi 0,71.

Poddano kontroli 690 pojazdów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba pojazdów z gaśnicami będzie : a) wynosiła dokładnie 489,

b) przekroczy 500,

c) będzie się zawierać w przedziale <481;490>,

d) będzie mniejsza od 460.

Zadanie 1

Zmienna losowa ma rozkład normalny, elementy typowe znajdują się w przedziale (35 ;95). Jakie są prawdopodobieństwa, że: P( X < 0) ; P( X > 125) ; P(10 < X < 127).

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład N(144;3). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki: a) P( X > x =

1 )

0

,

0 692

b) P( X < x =

2 )

1

,

0 487

c) P( x < X < 14 ,

4 2 =

3

) ,00135

d) P(139 < X < x =

4 )

5

,

0 871

Zadanie 3

Naszkicuj krzywą gęstości rozkładu normalnego, gdy m = − ; 1

σ = 2 .

Zadanie 4

Badania przeprowadzone na zlecenie CBS News wykazały, że 67% Amerykanów uważa, że rząd powinien bić bilon, mimo, że nie jest to ekonomicznie uzasadnione. Dla próby liczącej 258 osób wyznacz prawdopodobieństwa, że taki pogląd podziela:

a) dokładnie 168 osób,

b) ponad 160 osób i mniej niż 180 osób,

c) od 170 osób (włącznie) do 175 osób (włącznie),

d) ponad 185 osób.

Zadanie 1

Zmienna losowa ma rozkład normalny, elementy typowe znajdują się w przedziale (120 ; 180). Jakie są prawdopodobieństwa, że: P( X < 155); P( X > 210); P(104 < X < 114) .

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład N(450;45). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki: a) P( X > x =

1 )

0

,

0 652

b) P( X < x =

2 )

0

,

0 954

c) P( x < X < 492 =

3

) 1,

0 035

d) P(430 < X < x =

4 )

3

,

0 271

Zadanie 3

Naszkicuj krzywą gęstości rozkładu normalnego, gdy m = 3; σ = 3 .

Zadanie 4

58% pracowników Uczelni należy do kasy zapomogowo – pożyczkowej. Wyznacz prawdopodobieństwa, że wśród próby liczącej 635 osób do kasy należy:

a) dokładnie 355 osób,

b) więcej niż 340 i mniej niż 380 osób

c) nie mniej niż370 i nie więcej niż 390 osób,

d) mniej niż 320 osób.

Zadanie 1

Dla zbiorowości o rozkładzie normalnym wariancja wynosi 240 j.m.2 , klasyczny współczynnik zmienności 45% .

Jakie są prawdopodobieństwa, że P( X < 35); P( X > 4 ) 1 ; P(0 < X < 40).

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład N(45;5,5). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki: a) P( X > x =

1 )

5

,

0 908

b) P( X < x =

2 )

0

,

0 845

c) P( x < X < 4 ,

4 7 =

3

) 5,

0 005

d) P(50 < X < x =

4 )

0

,

0 232

Zadanie 3

Prawdopodobieństwo tego, że osoba, która ma 70 lat przeżyje następne 5 lat wynosi 0,8. W pewnej gminie żyje 156 siedemdziesięciolatków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że następne 5 lat przeżyje: a) dokładnie 111 osób,

b) ponad 136 osób,

c) co najwyżej 50 osób,

d) nie mniej niż 120 osób i nie więcejniż130 osób.

Zadanie 4

Przeciętna ilość punktów uzyskanych w trakcie egzaminu z MSG wynosiła 48 z odchyleniem standardowym 22.

a) Jaki odsetek zdających przekroczył 90 punktów, zakładamy rozkład normalny ?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma punktów uzyskana przez 210 studentów przybiera wartość z przedziału (9500 ; 9999) ?

c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia liczba punktów przypadających na jednego studenta w 210

osobowej grupie będzie zawierać się w przedziale od 50 do 52 punktów ?

Zadanie 1

Dla zbiorowości o rozkładzie normalnym wariancja wynosi 408 j.m.2 , klasyczny współczynnik zmienności 25% .

Jakie są prawdopodobieństwa, że P( X < 85); P( X > 7 ) 1 ; P(75 < X < 90) .

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład N(356;55). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki: a) P( X > x =

1 )

0

,

0 908

b) P( X < x =

2 )

6

,

0 845

c) P( x < X < 355 9

,

=

3

) 5,

0 619

d) P(359 < X < x =

4 )

1

,

0 232

Zadanie 3

Amerykańskie statystyki zdrowia informują, że 61,7% wszystkich obrażeń ciała zdarza się poza domem.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla 253 wybranych przypadków obrażeń ciała poza domem miało miejsce:

a) dokładnie 121,

b) więcej niż 165,

c) mniej niż 142,

d) więcej niż 144 i nie więcej niż 155.

e) Ile wynosi ósmy decyl zmiennej losowej – liczba obrażeń ciała poza domem ?

Zadanie 4

Z badań przeprowadzonych przez A.C. Nielsen Company wynika, że 10% amerykańskich dzieci w wieku 2-5

lat spędza przed telewizorem ponad 35,14 godziny tygodniowo, drugi kwartyl wynosi 27,15 godzin tygodniowo, rozkład jest normalny.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane dziecko ogląda telewizję od 22 do 23 godzin tygodniowo?

b) Wylosowano próbę liczącą 201 dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni czas dla tej próby przekroczy 26 godzin ?

c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla tej próby (201 dzieci) łączny czas nie przekroczy 5555 godzin ?

Zadanie 1

Dla zbiorowości o rozkładzie normalnym wariancja wynosi 40 j.m.2 , klasyczny współczynnik zmienności 5% .

Jakie są prawdopodobieństwa, że P( X < 125); P( X > 126) ; P(130 < X < 135) .

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład N(145;32). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki: a) P( X > x =

1 )

0

,

0 671

b) P( X < x =

2 )

9

,

0 045

c) P( x < X < 148 =

3

) 8,

0 981

d) P(150 < X < x =

4 )

1

,

0 132

Zadanie 3

Amerykańskie statystyki zdrowia informują, że 38,3% wszystkich obrażeń ciała zdarza się w domu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla 444 losowo wybranych przypadków obrażeń ciała, w domu miało miejsce: a) dokładnie 185,

b) mniej niż 166,

c) ponad 200,

d) nie mniej niż 150 i nie więcej niż 188.

e) Ile wynosi pierwszy kwartyl zmiennej losowej – liczba obrażeń ciała w domu ?

Zadanie 4

Z badań przeprowadzonych przez A.C. Nielsen Company wynika, że amerykańskie dzieci w wieku 2-5 lat przeciętnie spędzają przed telewizorem 27,15 godziny tygodniowo. Wiadomo, że 5% dzieci spędza przed telewizorami mniej niż 16,9 godziny, a rozkład czasu jest normalny.

a) Jaki procent dzieci spędza przed telewizorem od 40 do42 godzin ?

b) Wylosowano próbę liczącą 412 dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni czas dla tej próby zmieści się w przedziale 26,2 – 26,8 godzin ?

c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla tej próby (412 dzieci) łączny czas nie przekroczy 11500 godzin ?

Zadanie 1

Centralnie położone 4,6% zbiorowości o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale (0,15 ; 0,85). Jakie są prawdopodobieństwa, że P(− 2 < X < − 5

,

1 ); P( X > 8

,

2 ); P( X > ,

0 25) .

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład normalny, wiadomo że przedział µ + σ

2 ; µ + σ

3

wynosi: 1 ;

2 20 . Proszę

znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki:

a) P( X < x =

1 )

6

,

0 791

b) P( X > x =

2 )

1

,

0 092

c) P( x < X < 7 =

3

) 3,

0 135

d) P(0 < X < x =

4 )

0

,

0 751

Zadanie 3

Pewien biznesmen zakupił okazyjnie 1000 puszek z żywnością dla kotów. Na podstawie wcześniejszych doświadczeń wie, że przeciętnie 18% puszek jest przeterminowanych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeterminowanych będzie:

a) dokładnie 71 puszek,

b) mniej niż 60 puszek,

c) więcej niż 100 puszek,

d) nie mniej niż 90 i nie więcej niż 96 puszek.

e) Jaka jest dominanta liczby puszek przeterminowanych w próbie ?

Zadanie 4

Zmienne losowe X , X ......, X

są niezależne o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem λ = 2 .

1

2

80

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma tych zmiennych losowych przekroczy 202 ?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia tych zmiennych przybierze wartości z przedziału (1,9 ; 2,05)

?

Zadanie 1

Centralnie położone 16% zbiorowości o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale (5 ; 8). Jakie są prawdopodobieństwa, że P( X < 0

,

6 5); P( X > − 8

,

0 ); P( X < 5

,

5 ) .

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład normalny, wiadomo że przedział µ + σ

2 ; µ + σ

3

wynosi: 4 ;

0 55 . Proszę

znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki:

a) P( X < x =

1 )

0

,

0 981

b) P( X > x =

2 )

7

,

0 092

c) P( x < X < 50 =

3

) 3,

0 091

d) P(0 < X < x =

4 )

0

,

0 791

Zadanie 3

Prawdopodobieństwo przyjścia na świat chłopca wynosi 0,515. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 800 noworodków liczba chłopców:

a) nie przekroczy liczby dziewczynek,

b) wyniesie dokładnie 444,

c) przekroczy 380,

d) przekroczy 425 i nie przekroczy 450.

Zadanie 4

Zmienne losowe X , X ......, X

są niezależne o jednakowym rozkładzie dwumianowym

1

2

100

E( X ) = 5; σ = ,

1 2 .

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma tych zmiennych losowych przybierze wartość z przedziału (480 ;504)?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia tych zmiennych przekroczy 4,75 ?

Zadanie 1

Centralnie położone 12% zbiorowości o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale (0,1 ; 0,8). Jakie są prawdopodobieństwa, że P(−1 < X < − 3

,

0 5); P( X > − 8

,

0 ); P( X > 9

,

0 5).

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład normalny, wiadomo że przedział µ + σ

2 ; µ + σ

3

wynosi:

;

5 29 . Proszę

znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki:

a) P( X < x =

1 )

,

0 2911

b) P( X > x =

2 )

8

,

0 712

c) P( x < X < 0 =

3

) ,02935

d) P(− 45 5

, < X < x =

4 )

1

,

0 751

Zadanie 3

Prawdopodobieństwo przyjścia na świat dziewczynki wynosi 0,485. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 322 noworodków, liczba dziewczynek:

a) przekroczy liczbę chłopców,

b) przekroczy 144,

c) wyniesie dokładnie 130,

d) będzie większa niż 162 i mniejsza niż 173.

Zadanie 4

Zmienne losowe X są niezależne i mają jednakowe rozkłady P{ X

x

dla j = ,

1

,

3

,

2

4. Jakie

i =

j }=

,

0 25

i

jest prawdopodobieństwo, że z wylosowanej 156 elementowej próby:

a) suma przyjmie wartość większą od 344 ,

b) średnia arytmetyczna z wylosowanej próby znajdzie się w przedziale (2,51 ; 2,52) , c) średnia arytmetyczna z wylosowanej próby nie przekroczy 2,8 ?