ĆKatowice 1
Błędy Ex post
Błędy Ex post- badanie trafności prognozy Błędy ex post wyznaczane są dla kolejnych
okresów t, dla których wyznaczyliśmy wartości prognoz i dla których znamy prawdziwe wartości
zmiennych prognozowanych, czyli w momencie w którym prognoza jest już zrealizowana. Błędy ex
post można obliczać dla pojedynczej jednostki czasu, jak również dla zadanego przedziału czasu
powiedzmy od [n + 1, . . . , T ]- zwanego przedziałem empirycznej weryfikacji prognozy.
Dla pojedynczej jednostki czasu
W przypadku, gdy chcemy wyznaczyć błąd dla pojedynczej obserwacji, mamy:
Bezwzględny błąd prognozy.
"
e" = yt - yt , gdzie t > n (1)
t
gdzie:
yt- wartość empiryczna zmiennej Y w czasie t > n
"
yt - wartość prognozy zmiennej Y w czasie t > n
Może być stosowany dla zmiennych mierzonych na skali przedziałowej i ilorazowej.
Względny błąd prognozy.
"
yt - yt
re = (2)
"
yt
Powyższa zależność nie spełnia warunku symetrii, tzn wyżej ocenia przeszacowanie prognozy
niż niedoszacowanie.
Dla przedziału weryfikacji prognozy
W przypadku, gdy chcemy wyznaczyć błędy ex post dla pewnego odcinka czasu, by scharakteryzo-
wać odchylenia wyznaczonych prognoz od danych rzeczywistych, możemy skorzystać z najpopular-
niejszych miar syntetycznych:
Błąd średni (średniokwadratowy-root mean squared error):


T

1
"
RMSE = (yt - yt )2 (3)
T - n
t=n+1
Miara ta porównywana jest bezpośredni z odchyleniem standardowym reszt (oznaczanym np.
2
jako Se ). Przy czym przyjmuje się, że wektor prognoz można uznać za zadowalający, gdy spełniona
2
jest relacja RMSE Su
Błąd średniokwadratowy względny (root average squared error)


2
T
"

1 yt - yt

RASE = � 100 (4)
"
T - n yt
t=n+1
średni absolutny błąd (mean absolute error)
T

1
"
MAE = |yt - yt | (5)
T - n
t=n+1
Średni absolutny błąd procentowy (mean absolute percentage error)
26 listopada 2009
ĆKatowice 2

T
"


1 yt - yt

MAP E = � 100 (6)
"
T - n yt
t=n+1
Błąd maksymalny (maximum error):

"
yt - yt

MAXE = max � 100 (7)
"
t"n+1,...T yt
Powyższe błędy nie spełniają warunku unormowania. Błędem który spełnia zarówno warunek
symetrii i unormowania jest błąd AMAPE, którego warotości tego błędu należą do przedziału
[0%, 200%]
Dostosowany średni względny błąd (addapted mean absolute percentage error):

T
"


1 yt - yt

AMAP E = (8)
1 "
t - n (yt + yt )
2
t=n+1
Błąd ten spełnia warunek symetrii i unormowania, wartości AMAP E " [0%, 200%]
W sytuacji, gdy w szeregu czasowym występują obserwacje nietypowe, tzn. istnieją szczegól-
nie małe lub duże wartości błędów, to można skorzystać z błędów medianowych- wyznaczając je
podobnie ja wartości mediany dla szeregu rozdzielczego punktowego.
W celu weryfikacji ewentualnych z
ródeł błędów prognoz dla zmiennych mierzonych na skali
ilorazowej pomocne mogą być błędy zwane współczynnikami Theila:
T

"
(yt - yt )2
t=n+1
I2 = (9)
T

2
yt
t=n+1
Miernik ten przyjmuje wartości równe zero w sytuacji, gdy oszacowane prognozy są idealnie
trafne. W sytuacji, gdy istnieją różnice pomiędzy danymi empirycznymi, a prognozowanymi to
wartość I2 rośnie. W celu identyfikacji ewentualnych błędów prognoz dokonuje się dekompozycji
współczynnika Theila na trzy składowe.
2 2 2
I2 = I1 + I2 + I3 (10)
gdzie:
(yt - y")2
2 t
I1 = (11)
T

1 2
yt
T -n
t=n+1
(sr - sp)2
2
I2 = (12)
T

1 2
yt
T -n
t=n+1
2srsp(1 - r)
2
I3 = (13)
T

1 2
yt
T -n
t=n+1
gdzie:
sr- odchylenie standardowe wartości Y - rzeczywistych
"
sp- odchylenie standardowe wartości Y - prognozowanych
"
r- współczynnik korelacji liniowej Pearsona pomiędzy zmiennymi Y i Y
26 listopada 2009
ĆKatowice 3
Wartości poszczególnych błędów 11 do 13, mogą wskazywać potencjalne z
ródła błędów prognoz:
2
I1 - obciążoność prognozy
2
I2 - niedostateczna elastyczność
2
I3 - niedostateczna zgodność prognoz z rzeczywistym kierunkiem zmian.
Aby uzyskać informacje o udziale poszczególnych przyczyn w całkowitym błędzie prognozy moż-
na wyznaczyć wartości poszczególnych składowych jako względne wartości:
2 2 2
I1 2 I2 2 I3
2
IĆ = , IĆ = , IĆ = . (14)
1
I2 2 I2 3 I2
26 listopada 2009