Tomasz Gawron
Informatyka, gr 11
BRAMKI LOGICZNE
Układy logiczne, takie jak bramki lub funktory, to układy elektroniczne, które wykonują oparte na algebrze
Boole'a operacje. Układy cyfrowe mogą być sklasyfikowane ze względu na użyta technologię wytwarzania albo
zasadniczy schemat podstawowego funktora. Funkcjonalnie układy logiczne klasyfikujemy na układy
kombinacyjne i układy sekwencyjne. Ze względu na stopień skomplikowania współczesnych układów wykonuje się
je w postaci układów scalonych.
Użyte przeze mnie definicje, aksjomaty i twierdzenia, którymi posłużyłem się w rozwiązaniach
algebraicznych:
- + = , = + (prawa deMorgana)
- = (prawo podwójnej negacji)


- a" = + (definicja bramki XOR, inaczej  suma modulo 2 )
- a|b = = + (definicja bramki NAND, inaczej  funkcja Sheffera )
- a“!b = + = (definicja bramki NOR, inaczej  funkcja Pierce a )
- 1 =
- + 0 =
Każde z powyższych przekształceń zaczerpnąłem z książki W. Głocki  Układy cyfrowe wyd. III.
Zadanie 1
MajÄ…c do dyspozycji bramki AND oraz NOT zbuduj bramkÄ™ OR.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

a + b = a + b = a b
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
a b a+b
ab

1 1 1 0 1
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
0 0 0 1 0
Zadanie 2
MajÄ…c do dyspozycji bramki OR oraz NOT zbuduj bramkÄ™ AND.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

ab = ab = a + b
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
a b ab
a + b
+
1 1 1 0 1
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
0 0 0 1 0
Zadanie 3
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ XOR zbuduj bramkÄ™ NOT.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

= 0 + = 0 + 1 = a" 1
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.

a 1 a"
1 1 0 0
0 1 1 1
Zadanie 4
MajÄ…c do dyspozycji bramki XOR oraz AND zbuduj bramkÄ™ OR.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.


a + b = a + b = a b = (a + 0)(b + 0) = (a1 + 0)(b1 + 0) = ( ) ( = ( ) ( + 0
a" 1 a" 1) a" 1 a" 1)


( ) ( )(
)
= ( ) ( " 1 + a" 1 1 " 0 = ( a" 1 a" 1 ) a" 1
a" 1 a" 1) a"
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.

1
a b + a" 1 a" 1 a" 1 1
( )
a"
( )(
)
( a" a" ) a"
1 1 1 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 1 1 1 0 0 1
0 0 1 0 1 1 1 0
Zadanie 5
MajÄ…c do dyspozycji bramki XOR oraz OR zbuduj bramkÄ™ AND
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.


( ) ( ) ( ) ( )
ab = ab = a + b = a + 0 + (b + 0) = a1 + 0 + (b1 + 0) = a" 1 + = a" 1 + +
( a" 1) ( a" 1)

( ) ( ) ( )
( )
= a" 1 + " 1 + a" 1 + 1 " 0 = ( a" 1 + a" 1 ) a" 1
( a" 1) a"
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.

1
a b a" 1 a" 1 a" 1 + 1
( )
a"
( ) (
)
( a" + a" ) a"
1 1 1 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 1 0
Zadanie 6
MajÄ…c do dyspozycji bramki AND, OR oraz NOT zbuduj bramkÄ™ XOR.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.
RozwiÄ…zanie przedstawione w tym zadaniu jest definicyjnym zapisem Boolowskim bramki XOR.

a" = +
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.

a b
a"
+
1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0
Zadanie 7
Zbuduj bramkÄ™ NAND korzystajÄ…c z bramek AND oraz NOT.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.
RozwiÄ…zanie przedstawione w tym zadaniu jest definicyjnym zapisem Boolowskim bramki NAND.
a|b =
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
a b a|b

1 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
Zadanie 8
Zbuduj bramkÄ™ NOR korzystajÄ…c z bramek OR oraz NOT
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.
RozwiÄ…zanie przedstawione w tym zadaniu jest definicyjnym zapisem Boolowskim bramki NOR.
a“!b = +
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
a b a“!b +
+
1 1 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
Zadanie 9
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ NOT
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.
= + 0 = |1
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
a 1 |
1 1 0 0
0 1 1 1
Zadanie 10
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ AND.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

( | )
= = | = | + 0 = |1
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
( | )
a b 1 | |
1 1 1 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 1 0
Zadanie 11
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ OR.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

+ = + = + 0 + + 0 = |1 + |1 = |1 |( |1)

b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
a b 1 +
|1 |1 | |( | )
1 1 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0 1
0 0 1 0 1 1 0
Zadanie 12
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ NOT.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.
= " 1 = “! 0

b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.

a 0 “!
1 0 0 0
0 0 1 1
Zadanie 13
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ OR.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

+ = + = “! = “! " 1 = ( “! ) “! 0
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
0
a b + “! ( “! ) “!
1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0
Zadanie 14
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ AND.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

( )
= = “! = " 1 “! " 1 = ( “! 0) “! ( “! 0)

b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
0
a b a “! 0 b “! 0 ( “! ) “! ( “! )
1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0
Zadanie 15
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ NOR.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

( | )( | ) ( | )( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )
“! = = 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 | 1 = ( 1 1 1 = ( 1 | 1 )|1
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
1 ( | ) ( | ) ( | ) ( | )
a b “! a|1 b|1 1 | 1 ( | )|
1 1 1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 0 1
Zadanie 16
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ NAND.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

( ) ( )
| = = 1 = “! 0 = “! 0 = ( “! ) “! 0 = ( 1 “! 1) “! 0 = ( “! 0 “! b “! 0 ) “! 0

b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b | a “! 0 b “! 0 a “! 0 “! b “! 0 ( “! “! “! ) “!
1 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 1 0 1
Zadanie 17
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NAND zbuduj bramkÄ™ XOR.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )
a" = + = + 0 + + 0 = 1 + 1 = 1 1 + 1 1 =
( | )
1 1 1 |(((( |1)| )|1)|1)
W powyższych obliczeniach skorzystałem z wcześniej wyliczonych zależności w zadaniach 9, 10 i 11.
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.

( | ) ( | )
a b 1 a| b 1 a 1 |b ( | ) ( | )
a" a b 1 |1 a 1 b |1
( | )
|(((( | )| )| )| )
1 1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0
Zadanie 18
MajÄ…c do dyspozycji bramkÄ™ NOR zbuduj bramkÄ™ XOR.
a) RozwiÄ…zanie algebraiczne.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a" = + = “! 0 + “! 0 = “! 0 “! “! 0 “! 0 + “! 0 “! 0 “! “! 0 = ( “! 0 “!
( ) ( ) ( )
“! 0 “! 0 “! “! 0 “! 0 “! “! 0 ) “! 0
W powyższych obliczeniach skorzystałem z wcześniej wyliczonych zależności w zadaniach 12, 13 i 14.
b) Schemat logiczny układu.
c) Tabela prawdy.
( “! 0) “! 0 ( “! 0) “! 0
a b 0 a" ( “! 0) “! ( “! 0) “! 0 ( “! 0) “! 0 “! ( “! 0) ( ( “! ) “! ( “! ) “! “! ( “! ) “! “! ( “! ) ) “!
1 1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
WniOSKi
Jak łatwo zauważyć, każda z bramek logicznych da się przedstawić na kilka różnych sposobów za
pomocÄ… kombinacji innych bramek. PrzedstawiÄ…jÄ…c jednÄ… bramkÄ™ za pomocÄ… innej niezawsze
rozwiązanie jest proste co widać na chociażby dwóch ostatnich przykładach. Zamiana taka jednak jest
stosowana np. ze względu na przewagę szybkości działania jednak bramki nad drugą. Przykładem może
tutaj być Bramka NAND. Wykorzystywane one są  obok bramek NOR  w pamięciach flash. W
stosunku do pamięci NOR pamięć NAND ma krótszy czas zapisu i kasowania, większą gęstość
upakowania danych, korzystniejszy stosunek kosztu pamięci do jej pojemności oraz dziesięciokrotnie
większą wytrzymałość.
Układy przeze mnie przedstawione mogą nie być najprostszymi rozwiązaniami ponieważ nie
zostały sprawdzone żadną z metod minimalizacji funkcji boolowskich.