EGZAMIN 2 z ALGEBRY 12 luty 2013
ImiÄ™ i nazwisko grupa
(CZYTELNIE !)
Zad 1 Zad 2 Zad 3 Zad 4 Zad 5 Zad 6 " z egz Ćwicz Razem Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1. Niech U = {(x1, x2, x3)" R3 : x1 - 3x2 + 2x3 = 0 '" 2x1 - x2 - x3 = 0 }. Uzasadnić, \
e U jest
podprzestrzenią wektorową przestrzeni V = R3 i określić jej wymiar. Znalez
ć rzut prostokątny
wektora w = (6, - 2, -1) na U.
Określić odwzorowanie F : R3 R3 takie, \
e F(v) jest rzutem prostokÄ…tnym dowolnego wektora
v " R3 na zbiór U . Wyznaczyć jądro Ker F tego odwzorowania.
2. Co to są macierze podobne? Uzasadnić dlaczego macierze podobne maja te same wartości własne. Do
1 2 - 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
jakiej macierzy jest podobna macierz A = 2 1 2śł ?
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- 2 2 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Wyznaczyć A10 . Uzasadnić metodę postępowania powołując się na własności działań na macierzach.
(Przytoczyć wszystkie te własności.)
3. Wyprowadzić wzór na odległość punktu od prostej danej parametrycznie. Wyznaczyć równanie
x + 2 y + 3z - 9 = 0
Å„Å‚
sfery o środku w punkcie (- 5, 7, -1) stycznej do prostej l :
òÅ‚3x + 2y + z + 5 = 0
ół
4. Liczba z = 2 - i jest pierwiastkiem równania z4 - 2z3 + z2 - 6z + 20 = 0 . Wyznaczyć argument
Å„Å‚ Ä„ z Ä„ üÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
główny 14 potęgi pierwiastka tego równania zawartego w zbiorze " C : < arg < .
ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚z 3 żł
2
íÅ‚1 + i Å‚Å‚
ół þÅ‚
5. Wektory v1 = (1,-2, 0, 1, 1), v2 = (1,-1, 1, 0, 2), v3 = (3,-4, 2, 1, 5), v4 = (1,-3,-1, 2, 0) nale\
Ä… do
podprzestrzeni wektorowej U ‚" R5 . Wybrać z poÅ›ród nich wektory tworzÄ…ce bazÄ™ tej podprzestrzeni.
Wyznaczyć pozostałe wektory (wektor) w zale\
ności od wektorów wybranych do bazy. Czy wybór
wektorów bazy jest jednoznaczny? Czy wektor w = (0, 0, 1, 0, 0) nale\
y do podprzestrzeni U ?
Odpowiedzi uzasadnij.
6. Dane sÄ… punkty A(1,-2,1) , B(7,1,-8), C(7,-3,0). Znalez
ć płaszczyznę, na której le\
y trójkąt ABC
oraz prostą zawierającą wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C .
W jakiej proporcji ta wysokość dzieli bok AB ?