POLITECHNIKA WROCA
AWSKA
WYDZIAA
PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI
Renata Wywrot
Modelowanie rozprzestrzeniania
siÄ™ epidemii SARS
Praca inżynierska
napisana pod kierunkiem naukowym
dr Rafała Werona
Wrocław, 2004r.
 2
SPIS TREÅšCI
POLITECHNIKA WROCA
AWSKA............................................................................. 1
WST
P....................................................................................................................... 3
1. Co to jest SARS?............................................................................................... 5
1.1. PRZYCZYNY ...............................................................................................................5
1.2. SPOSOBY ROZPRZESTRZENIANIA SI
...........................................................................5
1.3. OBJAWY.....................................................................................................................6
1.4. ZAPOBIEGANIE I LECZENIE...........................................................................................7
2. Krótka historia epidemii.................................................................................... 8
2.1. PIERWSZE PRZYPADKI ZACHOROWAC
..........................................................................8
2.2. OBOWI
ZEK ZGA
ASZANIA CHORÓB ZAKAy
NYCH............................................................8
2.3. ZANIEDBANIA ZE STRONY CHIC
SKICH WA
ADZ ...............................................................9
2.4. KOLEJNE EPIZODY W ROZWOJU EPIDEMII ....................................................................9
2.5. PODSUMOWANIE ......................................................................................................11
2.6. WYNIKI NAJNOWSZYCH BADAC
..................................................................................13
3. Epidemiologia - podstawowe pojęcia ............................................................ 15
3.1. OKREÅšLENIE EPIDEMIOLOGII ....................................................................................15
3.2. MIERNIKI EPIDEMIOLOGICZNE ROZPOWSZECHNIANIA SI
CHORÓB W POPULACJI ....16
3.2.1. Współczynnik rozpowszechniania....................................................................................... 17
3.2.2. Współczynnik zapadalności (skumulowanej) .................................................................... 18
3.2.3. Współczynnik zapadalności (gęstość zachorowań) ......................................................... 18
3.2.4. Współczynnik chorobowości ................................................................................................ 18
3.2.5. Badanie umieralności............................................................................................................ 19
3.3. SARS - DANE DLA HONGKONGU ...............................................................................20
4. Wybrane zagadnienia z teorii sieci ............................................................... 27
4.1. SIEĆ REGULARNA .....................................................................................................27
4.2. SIEĆ LOSOWA...........................................................................................................28
4.3. SIEĆ MAA
EGO ÅšWIATA..............................................................................................29
4.3.1. Sześć stopni separacji .......................................................................................................... 29
4.3.2. Schemat budowy Małego Świata ........................................................................................ 30
4.4. SIECI BEZSKALOWE ..................................................................................................30
4.4.1. Schemat budowy sieci bezskalowej.................................................................................... 31
4.4.2. Cechy sieci bezskalowych:................................................................................................... 32
4.4.3. Rozprzestrzenianie się wirusów w sieci bezskalowej....................................................... 32
4.5. PODSUMOWANIE ......................................................................................................34
5. Próba dopasowania modelu........................................................................... 35
5.1. PIERWSZY MODEL.....................................................................................................36
5.2. DRUGI MODEL ..........................................................................................................38
5.3. OPIS DZIAA
ANIA APLIKACJI  SYMULATOR EPIDEMII .....................................................44
BIBLIOGRAFIA........................................................................................................ 46
 3
WST
P
Sytuację, jaka zaistniała począwszy od listopada 2002 roku, w mniejszym lub
większym stopniu, znamy chyba wszyscy. Chodzi mianowicie o wybuch epidemii
SARS (od ang. Severe Acute Respiratory Syndrome  ostry zespół niewydolności
oddechowej), spowodowanej przez dotychczas nieznanego wirusa, zaliczonego
przez naukowców do grupy Corona. Jest to stosunkowo nowe zagadnienie i mimo iż
na ten temat napisano już sporo (głównie artykuły i doniesienia prasowe, dokumenty
Åšwiatowej Organizacji Zdrowia), to jednak brakuje z
ródła, traktującego ten problem
całościowo. Nic w tym dziwnego, ponieważ problem rozprzestrzeniania się epidemii
jest niezwykle złożony, wymaga znajomości bardzo wielu zagadnień z różnych
dziedzin nauki, poczÄ…wszy od medycyny, na statystyce i modelowaniu
stochastycznym skończywszy.
W swojej pracy postaram się omówić przyczyny i przebieg choroby oraz
przedstawić dostępne dane liczbowe obrazujące rozmiar epidemii, wobec której
medycyna XXI wieku stała się bezradna. Należy zdawać sobie sprawę z tego, iż nie
jest to, jak do tej pory, zagadnienie zamknięte. Wciąż w licznych światowych
laboratoriach trwają badania nad właściwościami wirusa i nadal niestety pojawiają się
nowe przypadki zachorowań. Z tego właśnie powodu badanie współczynników
opisujących rozprzestrzenianie się epidemii ograniczyłam do konkretnego miejsca
i czasu. Skupiłam się głównie na danych dotyczących zachorowań w Hongkongu
w okresie trwania epidemii.
Temat ten jest także doskonałą okazją do zaprezentowania najnowszych
dokonań naukowców w dziedzinie teorii sieci. Odpowiedni dobór sieci obrazującej
rozkład powiązań społecznych, jest warunkiem koniecznym dla stworzenia
prawidłowego modelu rozprzestrzeniania się wirusa. Dla porównania przedstawię
symulacje rozprzestrzeniania się epidemii SARS na różnych typach sieci (sieć
losowa, sieć bezskalowa, sieć Małego Świata, sieć regularna). Porównując wyniki
symulacji z oryginalnymi danymi liczbowymi, możemy podjąć się próby wyboru
modelu najbardziej odpowiadającego rzeczywistości.
 4
Załącznikiem do mojej pracy jest aplikacja stworzona za pomocą pakietu
Matlab, umożliwiająca użytkownikowi przeprowadzenie własnej symulacji dla
zadanych przez siebie parametrów.
 5
1. Co to jest SARS?
1.1. Przyczyny
Dzięki nadzwyczajnej współpracy wielu światowych laboratoriów naukowcom
udało się jednoznacznie zidentyfikować czynnik odpowiedzialny za wywołanie
zachorowań na nietypowe zapalenie płuc  jest to nowy koronawirus SCV z rodziny
Coronaviridae, do której należą m.in. wirusy wywołujące ok. 1/3 zachorowań na
nieżyt nosa. Do publicznej wiadomości, informację tę Światowa Organizacja Zdrowia
(WHO, World Health Organization) podała 16 kwietnia 2003 roku [1].
Wykluczono, że zachorowania powoduje wirus grypy lub inne wirusy mu pokrewne.
Co do pochodzenia odkrytego wirusa, wśród naukowców pojawiły się różne
tezy. Badacze z Wielkiej Brytanii wysnuli przypuszczenie, że wirus może mieć
pochodzenie kosmiczne [2]. Na podstawie badań stratosfery na wysokości 41 km,
naukowcy oszacowali, że każdego dnia spada na ziemię z kosmosu prawie tona
bakterii i innych mikroorganizmów. Nad Himalajami warstwa stratosfery jest
najcieńsza, co mogłoby tłumaczyć dlaczego wirus w pierwszej kolejności zaatakował
Chiny.
Zdecydowanie więcej zwolenników ma jednak teoria o przejściu wirusa SARS
ze zwierząt na ludzi [3]. Zdaniem epidemiologów koronawirus powodujący ostry
zespół niewydolności oddechowej występuje przede wszystkim u cywet, zwierząt
stanowiących lokalny specjał kulinarny w chińskiej prowincji Guangdong.
1.2. Sposoby rozprzestrzeniania siÄ™
Zachorowania szerzą się głównie drogą powietrzno - kropelkową. Najbardziej
narażone są osoby mające bezpośrednią styczność z chorym  90 % przypadków
zachorowań wystąpiło wśród personelu medycznego opiekującego się chorymi.
Naukowcy WHO wykryli, że groz
ny wirus, którym na całym świecie zaraziło się
ponad 8000 osób i który spowodował śmierć około 800 z nich, jest bardziej odporny,
niż początkowo przypuszczano [4]. Może przetrwać do czterech godzin na
powierzchni przedmiotów, a do czterech dni w ludzkich odchodach. Odkrycie
 6
naukowców potwierdza podejrzenie, że przeciekające rury kanalizacyjne przyczyniły
się do rozprzestrzenienia choroby w jednym z bloków w Hongkongu, gdzie w krótkim
czasie na SARS zachorowało 300 mieszkańców. Wyniki badań oznaczają także, że
wirus może przenosić się nie tylko przez kontakt z zarażoną osobą, która kicha
i kaszle, ale także przez dotykanie tych samych przedmiotów, takich jak klamki czy
przyciski w windach. Ponadto z badań WHO przeprowadzonych w Chinach,
Hongkongu, Japonii i Niemczech wynika, że wirusa nie zabija ani temperatura
poniżej zera, ani środki chemiczne powszechnie używane do sterylizacji.
1.3. Objawy
Początkowe objawy są mało charakterystyczne, przypominają grypę: gorączka
powyżej 38°C z towarzyszÄ…cymi czÄ™sto dreszczami i ogólnym poczuciem choroby.
W ciągu trzech do siedmiu kolejnych dni pojawia się także suchy kaszel i duszność.
Inne objawy towarzyszÄ…ce zachorowaniom to:
" osłabienie,
" bóle kostno-mięśniowe,
" bóle głowy,
" brak apetytu,
" zaburzenia świadomości,
" wysypka,
" biegunka,
" obniżenie liczby płytek krwi i leukocytów.
Około dziesięciu do dwudziestu procent zachorowań przebiega z ostrą
niewydolnością oddechową wymagającą wspomaganego oddychania (podłączenie
chorego do respiratora). Przypadki śmiertelne odnotowano głównie u osób starszych,
wcześniej przewlekle chorujących lub u tych, u których choroba została wykryta
dopiero w póz
nym stadium. Podejrzenie SARS występuje głównie u osób, u których
stwierdzono kontakt z inną chorą na SARS osobą w ciągu kilku wcześniejszych dni,
lub też powrót z terenów najbardziej zagrożonych SARS (Chiny, Hongkong,
Wietnam, Singapur i prowincja Ontario w Kanadzie).
 7
1.4. Zapobieganie i leczenie
Badania wykonywane w celu rozpoznania SARS to przede wszystkim badanie
RTG (rentgenografia  polega na robieniu zdjęć za pomocą promieniowania X) klatki
piersiowej, a także badania krwi. Po jednoznacznym zidentyfikowaniu wirusa
odpowiedzialnego za wywoływanie SARS, naukowcy mogli przystąpić do
opracowywania testu diagnostycznego, który wykrywałby chorobę już we wczesnym
stadium [1]. Opracowanie odpowiednio czułego testu w przypadku SARS okazało
się jednak dosyć skomplikowane, ze względu na nietypowe zachowanie się wirusa.
W poczÄ…tkowej fazie choroby, wirus rozsiewa siÄ™ stosunkowo wolno, co utrudnia jego
wykrycie we krwi pacjenta. Stworzenie testu, który pozwoliłby rozpoznawać wirusa
zanim jeszcze pacjent zacznie zarażać innych, stało się sprawą priorytetową dla
naukowców, obecnie stosowane testy nie dają jeszcze niezawodnych wyników.
Skutecznym sposobem zapobiegania zachorowaniu jest ochrona dróg
oddechowych przez użycie masek z tzw. filtrami HEPA, zatrzymującymi najmniejsze
cząstki i aerozole. Również maski z gazy lub bibuły zmniejszają w znacznym stopniu
ryzyko zakażenia się [5]. Pacjenci, zgodnie z zaleceniami WHO powinni być
izolowani, najlepiej w pokojach z podciśnieniem, z zachowaniem rygorystycznych
barier epidemicznych.
Antybiotyki sÄ… nieskuteczne w leczeniu SARS. Jak do tej pory
najskuteczniejszym lekarstwem jest po prostu profilaktyka. Do chwili obecnej
śmiertelność w przypadku zachorowania na SARS jest oceniana na około 10%.
W przypadku osób starszych wskaz
nik ten przekracza 50%.
 8
2. Krótka historia epidemii
2.1. Pierwsze przypadki zachorowań
W listopadzie 2002 roku, w południowo-wschodnich Chinach (prowincja
Guangdong) odnotowano pierwsze przypadki nietypowego zapalenia płuc - SARS.
W lutym 2003 roku zachorowania wystąpiły również w Hongkongu, Wietnamie oraz
Singapurze. Jako pierwszy chorobę rozpoznał włoski epidemiolog, stojący na czele
organizacji  Lekarze Bez Granic , Carlo Urbani [6]. Obserwował on przypadki
nietypowego zapalenia płuc wśród pacjentów i załogi Francuskiego Szpitala w Hanoi,
w Wietnamie. W lutym 2003 diagnozował 48-letniego biznesmena z tym nieznanym
dotąd schorzeniem, sam zaraził się od niego i zmarł 29 marca 2003 roku w szpitalu
w Bangkoku. Po pewnym czasie za sprawą podróżnych choroba rozprzestrzeniła się
na cały świat.
2.2. Obowiązek zgłaszania chorób zakaz
nych
Poszczególne państwa mają obowiązek zgłaszania zachorowań na niektóre
choroby (ospa naturalna, cholera, dżuma, żółta febra) Światowej Organizacji
Zdrowia, która z kolei informuje o tym inne państwa członkowskie. System ten
ułatwia szybkie zastosowanie właściwych środków profilaktycznych chroniących
przed rozprzestrzenianiem się chorób zakaz
nych. To samo dotyczy nowych, nie
zarejestrowanych wcześniej zjawisk chorobowych.
Informacje o chorobach zakaz
nych służą do bieżącej oceny sytuacji
epidemiologicznej całego kraju i poszczególnych jego regionów. Śledzenie
zachorowalności na choroby zakaz
ne jest częścią ważnego systemu nadzoru
epidemiologicznego sygnalizujÄ…cego rozpoczynajÄ…cÄ… siÄ™ epidemiÄ™ choroby zakaz
nej.
Obliczanie współczynników zapadalności w największym stopniu zależy od
prawidłowej i pełnej zgłaszalności tych chorób. Tego właśnie obowiązku nie dopełniły
władze chińskie, skutkiem czego rozprzestrzenianie się wirusa SARS nie zostało
w porÄ™ zatrzymane.
 9
2.3. Zaniedbania ze strony chińskich władz *
Mimo, iż chorobę zidentyfikowano już jesienią 2002 roku to żadne media
w Chinach nie poinformowały społeczeństwa o tym problemie. Na skutek owej
blokady informacyjnej zastosowanej przez chińskie władze, obywatele nie byli
świadomi epidemii SARS, więc nie stosowali żadnych środków zapobiegawczych. To
z kolei spowodowało, że choroba po cichu zaczęła rozpowszechniać się w Chinach.
Rozprzestrzeniła się od prowincji Guangdong do innych prowincji, a z Chin do innych
krajów. Informacje o tej nowej chorobie pojawiły się dopiero za sprawą mediów
z Hongkongu, gdy zachorowali tam pierwsi pacjenci. W ciÄ…gu kilku tygodni w samym
Hongkongu liczba chorych wzrosła do ponad 700, z czego 16 osób zmarło. WHO
została powiadomiona dopiero w lutym 2003 roku  z czteromiesięcznym
opóz
nieniem.
W wyniku międzynarodowej krytyki, władze Chińskiej Republiki Ludowej
przyznały się do winy i wyraziły ubolewanie z powodu swoich zaniedbań. Bao Tong 
były osobisty sekretarz Zhao Ziyanga, powiedział, że celowe wstrzymywanie
raportów o SARS jest największym skandalem władz chińskich w XXI wieku.
Dopiero 1 kwietnia, prawie pół roku po pierwszym oficjalnym przypadku SARS,
państwowe media opublikowały pierwszy artykuł tłumaczący ludziom jak
zabezpieczyć się przed SARS. Od tego czasu chińskie władze i system ochrony
zdrowia podjęły szeroko zakrojone wysiłki w celu opanowania epidemii, podjęły także
bardziej ścisłą współpracę z instytucjami międzynarodowymi, głównie z WHO.
2.4. Kolejne epizody w rozwoju epidemii **
Luty 2003
Pod koniec lutego amerykański biznesmen podróżujący z Szanghaju, przez
Hongkong do Hanoi w Wietnamie zachorował na SARS. Trafił do szpitala, gdzie
zaraziło się od niego 30 osób. Bez objawów poprawy został przewieziony do
Hongkongu, gdzie zmarł.
*
Na podstawie [7]
**
Na podstawie [8, 9, 10, 11]
 10
Marzec 2003
W osobnym ognisku choroby w szpitalu w Hongkongu pojedynczy pacjent
zainfekował 68 pracowników szpitala.
27 marca WHO zaleciła wykonywanie badań u podróżujących z zagrożonych
rejonów. Wprowadzono kwarantannę. W Singapurze i Hongkongu szkoły zostały
zamknięte na 10 dni, aby przeciwdziałać rozwojowi epidemii.
Kwiecień 2003
16 kwietnia dzięki globalnej współpracy 13 ośrodków naukowych z 10 krajów ( m. in.
z Hongkongu, Chin, Kanady, Wielkiej Brytanii, USA) naukowcy potwierdzili, że
przyczynÄ… choroby SARS jest nowy koronawirus.
21 kwietnia pekiński uniwersytet Jiaotong został zamknięty, a 118 osób pracujących
albo mieszkających w miasteczku uniwersyteckim trafiło pod obserwację
z podejrzeniem SARS. W ramach zapobiegania rozwojowi epidemii zajęcia zostały
odwołane. Podobnie uczyniono na innych pekińskich uczelniach.
Lipiec 2003
WHO ogłosiła koniec epidemii wirusa, który (wg danych WHO z 26 września 2003r)
zabił około 800 osób, a zaraził ponad 8000 na całym świecie.
Wrzesień 2003
W Singapurze zaraził się 27 letni student medycyny, pracownik laboratorium
wirusologii.
Grudzień 2003
17 grudnia kolejny izolowany przypadek SARS odnotowano na Tajwanie. Zarażony
został 44-letni pracownik laboratorium, który podróżował póz
niej do Singapuru, gdzie
odbywała się konferencja naukowa poświęcona SARS. Wszyscy uczestnicy
konferencji zostali poddani kwarantannie.
 11
Styczeń 2004
Kolejny przypadek nietypowego zapalenia płuc pojawił się w Kantonie w Chinach.
Zarażony został 32-letni mężczyzna.
Do lipca 2003 roku, WHO usunęła wszystkie kraje z listy szczególnie
zagrożonych epidemią . Stan zagrożenia z powodu SARS wobec konkretnych krajów
był odwoływany, jeśli przez 20 kolejnych dni (podwójny okres inkubacji wirusa) nie
notowano tam nowych zachorowań.
Bezpośrednio po wygaśnięciu epidemii, WHO ostrzegała, że jesienią
koronawirus powodujący SARS może ponownie zaatakować i to w zmutowanej
formie. Niektórzy eksperci obawiają się, że choroba ta, podobnie jak grypa, będzie
powracać okresowo. Szef WHO w lipcu 2003 roku, ostrzegł, że w XXI wieku świat
może stanąć w obliczu wielu epidemii, podobnych do tej, jaką wywołał wirus SARS.
2.5. Podsumowanie
Na SARS na całym świecie (wg danych WHO zaktualizowanych dnia
26 września 2003r., zamieszczonych w poniższej tabeli) zapadło 8098 osób, w tym
4273 kobiety i 3779 mężczyzn (nie ma danych dotyczących płci 46 zmarłych osób),
zmarło 774 osoby. Śmiertelność wśród osób chorujących oszacowano na 9.6%. 143
przypadki na świecie, to ludzie powracający z terenów objętych epidemią. Wśród
pracowników służby zdrowia odnotowano 1707 przypadków zachorowań (21%
wszystkich zachorowań) [12].
Oznaczenia w tabeli:
a - W 46 przypadkach, niemożliwe jest określenie płci chorych.
b - A
ącznie z pracownikami służby zdrowia, którzy zachorowali w innych regionach.
c - W USA zanotowano prawdopodobnie przypadki SARS, które wystąpiły po 5 lipca
2003.
d - A
ącznie z pracownikami służby zdrowia, którzy zachorowali w innych regionach.
 12
Tabela 1. Podsumowanie epidemii SARS na świecie
A
ączna liczba przypadków
Pracownicy Data Data
Rozpiętość Liczba Zgony
Region Kobiety Mężczyz
ni Suma służby pierwszego ostatniego
wieku zgonów (%)
zdrowia zachorowania zachorowania
Australia 4 2 6 15 (1-45) 0 0 1 (16) 26-02-03 1-04-03
5327
Chiny 2674 2607 Nieznana 349 7 1002 (19) 16-Nov-02 3-06-03
a
Chiny,
977 778 1755 40 (0-100) 299 17 386 (22) 15-02-03 31-05-03
Hong Kong
Chiny,
0 1 1 28 0 0 0 (0) 5-05-03 5-05-03
Makao
Chiny,
218 128 346 42 (0-93) 37 11 68 (20) 25-02-03 15-06-03
Tajwan
Filipiny 8 6 14 41 (29-73) 2 14 4 (29) 25-02-03 5-05-03
49
Francja 1 6 7 1 14 2 (29) d 21-03-03 3-05-03
(26 - 56)
Hiszpania 0 1 1 33 0 0 0 (0) 26-03-03 26-03-03
Indie 0 3 3 25 (25-30) 0 0 0 (0) 25-04-03 6-05-03
Indonezja 0 2 2 56 (47-65) 0 0 0 (0) 6-04-03 17-04-03
Irlandia 0 1 1 56 0 0 0 (0) 27-02-03 27-02-03
Kanada 151 100 251 49 (1-98) 43 17 109 (43) 23-02-03 12-06-03
Korea 0 3 3 40 (20-80) 0 0 0 (0) 25-04-03 10-05-03
Kuwejt 1 0 1 50 0 0 0 (0) 9-04-03 9-04-03
Malezja 1 4 5 30 (26-84) 2 40 0 (0) 14-03-03 22-04-03
Mongolia 8 1 9 32 (17-63) 0 0 0 (0) 31-03-03 6-05-03
Niemcy 4 5 9 44 (4-73) 0 0 1 (11) 9-03-03 6-05-03
Nowa
1 0 1 67 0 0 0 (0) 20-04-03 20-04-03
Zelandia
Rosja 0 1 1 25 0 0 0 (0) 5-05-03 5-05-03
Rumunia 0 1 1 52 0 0 0 (0) 19-03-03 19-03-03
Singapur 161 77 238 35 (1-90) 33 14 97 (41) 25-02-03 5-05-03
 13
Tabela 1. c.d.
A
ączna liczba przypadków
Pracownicy Data Data
Rozpiętość Liczba Zgony
Region Kobiety Mężczyz
ni Suma służby pierwszego ostatniego
wieku zgonów (%)
zdrowia zachorowania zachorowania
Szwajcaria 0 1 1 35 0 0 0 (0) 9-03-03 9-03-03
Szwecja 3 2 5 43 (33-55) 0 0 0 (0) 28-03-03 23-04-03
Tajlandia 5 4 9 42 (2-79) 2 22 1 (11) b 11-03-03 27-05-03
USA 14 15 29 33 (0-83) 0 0 0 (0) 24-02-03 13-07-03 c
Wielka
2 2 4 59 (28-74) 0 0 0 (0) 1-03-03 1-04-03
Brytania
Wietnam 39 24 63 43 (20-76) 5 8 36 (57) 23-02-03 14-04-03
30.5
WÅ‚ochy 1 3 4 0 0 0 (0) 12-03-03 20-04-03
(25-54)
Zachodnia
0 1 1 62 1 100 0 (0) 3-04-03 3-04-03
Afryka
2.6. Wyniki najnowszych badań
Naukowcom z zespołu Marie Lin z Taipei Mackay Memorial Hospital udało się
zidentyfikować wariant genu, który czyni daną osobę szczególnie podatną na rozwój
ostrego zespołu niewydolności oddechowej - SARS i sprzyja poważnym powikłaniom
choroby [13]. Wspomniana wersja genu jest szczególnie rozpowszechniona
u mieszkańców południowych Chin. Wyniki w/w badań pomogą wyjaśnić, dlaczego
w czasie epidemii SARS, wiosną 2003 r., najwięcej osób zainfekowanych wirusem
wywołującym chorobę odnotowano w krajach południowo-wschodniej Azji oraz
w prowincji Guangdong w południowych Chinach.
Gen koduje białko należące do białek zgodności tkankowej człowieka - tzw.
białek HLA, które biorą udział w rozwoju reakcji układu odporności. Okazało się, że
posiadanie wersji HLA-B*4601 było związane z cięższym, zagrażającym życiu
przebiegiem infekcji SARS. Ponadto, wśród rodowitych Tajwańczyków, którzy rzadko
posiadają ten wariant genu, nie zaobserwowano przypadków SARS. Jak podkreślają
 14
autorzy, wariant HLA-B*4601 występuje również rzadko w populacji mieszkańców
Europy. Tym można m.in. tłumaczyć fakt, że w czasie grasującej epidemii wśród
Europejczyków odnotowano tylko nieliczne przypadki choroby.
Podobne badania pozwolą w przyszłości prowadzić badania przesiewowe,
identyfikujÄ…ce osoby najbardziej podatne na infekcje koronawirusem SCV
wywołującym SARS. Ale nie tylko. Określenie grupy ludzi najbardziej zagrożonych
zachorowaniem jest także bardzo ważne z punktu widzenia teorii sieci.
 15
3. Epidemiologia - podstawowe pojęcia
3.1. Określenie epidemiologii *
Epidemiologia jest to nauka o rozprzestrzenianiu się chorób zakaz
nych,
o przyczynach i prawach szerzenia się chorób w populacji ludzkiej, o ich natężeniu
i zapobieganiu im. Historia tej dziedziny nauki sięga czasów Hipokratesa, który jako
pierwszy dopatrzył się związku między przyczyną choroby, a środowiskiem życia
człowieka. Obalając pogląd o nadnaturalnym pochodzeniu chorób, stał się
prekursorem dzisiejszej epidemiologii środowiskowej. Epidemiologia oparta jest na
szczegółowych naukach medycznych i przyrodniczych. Ogromne zastosowanie ma
również wiele metod statystycznych oraz informatycznych.
Wprowadz
my kilka pojęć
Populacja generalna  zbiór osób, których cechy są przedmiotem obserwacji w celu
określenia ryzyka zachorowania .
Populacja narażona  obejmuje te osoby, co do których zachodzi realne ryzyko
zarażenia. W rzeczywistości nie jest możliwe ustalenie dokładnej liczby osób
narażonych, ponieważ mogą istnieć nie zarejestrowane przypadki choroby, czyli
takie, których nie bierzemy pod uwagę jako potencjalne z
ródło zarażenia.
Liczby bezwzględne  są to bardzo ważne, podstawowe informacje ilościowe,
wskazujące liczbę przypadków choroby. Mimo iż informują bardzo dobitnie
o wielkości danego problemu zdrowotnego, w analizach i wnioskowaniu
epidemiologicznym rzadko siÄ™ je stosuje.
Liczby względne  określają stosunek populacji z określoną cechą (chorobą), do
całej populacji. Liczby względne niosą znacznie wyraz
niejsze informacje o danym
zjawisku oraz mają cechę porównywalności z danymi z innych populacji i lat lub
z innych regionów geograficznych.
*
Na podstawie [14].
 16
Choroba (-)
Choroba (+)
Eksponowani
Populacja generalna
Rys.3.1.1. Definicja populacji narażonej (eksponowanej)
3.2. Mierniki epidemiologiczne rozpowszechniania się chorób
w populacji *
Badanie rozpowszechniania chorób polega na określeniu częstości ich
występowania w całej populacji lub w poszczególnych jej podgrupach (wg wieku, płci,
zawodu, miejsca zamieszkania). W tym celu, na podstawie zebranych informacji
ilościowych, dotyczących badanego schorzenia, należy wyznaczyć odpowiednie
współczynniki, m.in. zapadalności i chorobowości.
Badanie chorobowości jest o wiele bardziej skomplikowane niż na przykład
badanie umieralności. Dzieje się tak dlatego, że choroba jest zjawiskiem
dynamicznym i wielokrotnym, śmierć zaś jest wydarzeniem jednorazowym. Przypadki
zgonu łatwo jest policzyć, choroba jest natomiast stanem zmiennym, podlegającym
dużym wahaniom w czasie. Rejestracja przypadków chorobowych i ich przyczyn nie
jest łatwa ze względu na to, że chorzy zmieniają miejsce zamieszkania lub leczą się
na tę samą dolegliwość w niezależnych placówkach, między którymi nie ma
przepływu informacji.
*
Na podstawie [14].
 17
W celu określenia rozpowszechniania chorób zakaz
nych, posługujemy się
liczbami względnymi tj. współczynnikami informującymi o częstości występowania
choroby w populacji.
Choroby występujące w populacji w jakimś przedziale czasowym można
sklasyfikować w następujący sposób:
1) choroby zaczynające się i kończące w tym okresie,
2) choroby zaczynające się w tym okresie, ale trwające dłużej,
3) choroby, które zaczęły się dawniej, ale zakończyły się w tym okresie,
4) choroby, które zaczęły się dawniej i trwają nadal.
Przy określaniu współczynników zapadalności i chorobowości należy zawsze
podać, czy w liczniku są dane dotyczące liczby epizodów choroby, czy liczby osób
chorych. Zapadalność dotyczy jedynie nowych zachorowań, a chorobowość nowych
i zadawnionych. Różnice pojawiają się głównie przy chorobach długotrwałych
i przewlekłych, natomiast przy chorobach o krótkim przebiegu różnice mogą być
niewielkie.
3.2.1. Współczynnik rozpowszechniania
liczba opisanych przypadków choroby w pewnym okresie
wsp. rozp. = × K
liczba osób narażonych (w tym samym okresie)
(1)
K - stała, wskazująca dla jakiej umownej jednostki ludności dla określonego miejsca
i czasu, obliczany jest dany współczynnik. Standardową jednostką ludności,
w stosunku do której przelicza się zwykle liczbę zdarzeń, jest 1000, 10 000,
100 000,1 000 000 osób, przy czym wybór wielkości tej jednostki (K) jest kwestią
przyjętej konwencji i zależy od częstości występowania określonych zdarzeń.
Do najbardziej pożytecznych mierników rozpowszechniania chorób
w populacji należą współczynnik zapadalności i współczynnik chorobowości.
 18
3.2.2. Współczynnik zapadalności (skumulowanej)
Współczynnik ten określa liczbę nowych zachorowań, które wystąpiły w danym
czasie (kat. 1+2) w stosunku do średniej liczby ludności narażonej na ryzyko
zachorowania.
liczba nowych zachorowań (1 + 2)
wsp. zapadalnoÅ›ci = × K
liczba osób narażonych
(2)
3.2.3. Współczynnik zapadalności (gęstość zachorowań)
Określa rzeczywiste prawdopodobieństwo wystąpienia zachorowań
w populacji, w przeliczeniu na sumaryczny okres narażenia wszystkich członków
danej populacji. Jest on najbardziej czułą miarą średniego tempa pojawiania się
zachorowań w danej populacji na przestrzeni pewnego okresu.
liczba nowych zachorowań
wsp. zapadalnoÅ›ci = × K
sumaryczny osoboczas narażenia na ryzyko
(3)
Mianownik zawiera liczbę osób wolnych od choroby, pomnożoną przez okres
ekspozycji, na którą byli oni narażeni  jest to tzw. osoboczas narażenia.
3.2.4. Współczynnik chorobowości
Określa proporcję osób w populacji, które były chore w danym czasie bez
względu na to, kiedy zachorowały (kat. 1+2+3+4), w stosunku do średniej liczby
ludności narażonej na ryzyko zachorowania.
 19
liczba chorych w danym okresie
wsp. chorobowoÅ›ci = × K
liczba osób narażonych
(4)
Jeśli współczynnik chorobowości odnosi się do bardzo krótkiego odcinka czasowego
(dzień, godzina), to nazywany jest współczynnikiem chorobowości punktowej.
3.2.5. Badanie umieralności
Badanie umieralności jest jedną z najdłużej stosowanych metod oceny stanu
zdrowia ludności. Określa ono prawdopodobieństwo zgonu w pewnej populacji
w pewnym okresie. W celu poprawnego obliczenia współczynnika umieralności
konieczne jest wyszczególnienie jednostek czasu, przyczyn zgonów oraz ustalenie
rodzaju populacji (populacja generalna lub jej część wg wieku, płci, itp.), do której
odnosi się dany współczynnik.
Współczynnik umieralności ogólnej
liczba zgonów ogólem w danym czasie
wsp. umieralnoÅ›ci = × K
liczba ludnosci narażona na ryzyko zgonu w danym czasie
(5)
Możemy także obliczać cząstkowe współczynniki umieralności wg wieku, płci
i przyczyn zgonu.
Wskaz
nik umieralności proporcjonalnej
Przedstawia proporcję zgonów z powodu określonej przyczyny w stosunku do
ogółu zgonów.
liczba zgonów z powodu danej choroby
wsp. umieralnoÅ›ci = × K
liczba zgonów ogólem
(6)
 20
Zastosowanie i wybór najbardziej odpowiedniego miernika częstości choroby
w populacji zależy od przedmiotu i celu badania. Współczynniki chorobowości są
wartościowymi miernikami zdrowia ludności dla organizatora ochrony zdrowia,
ponieważ informują o zapotrzebowaniu na usługi medyczne, ale mają niewielkie
znaczenie, jeżeli chodzi o ustalenie etiologii (przyczyn choroby). W tym przypadku
najbardziej odpowiednie będą współczynniki zapadalności. Wnioskowanie
o zapadalności niekiedy opiera się na współczynnikach umieralności, ale mają one
znaczenie tylko w tych chorobach, w których współczynnik śmiertelności jest wysoki,
a okres pomiędzy wystąpieniem choroby a zgonem nie jest zbyt długi. Przykładem
takiej choroby jest właśnie SARS.
3.3. SARS - dane dla Hongkongu
Hongkong jest autonomicznym regionem Chin o powierzchni 1074,25 km2,
leżący nad Morzem Południowochińskim. W 2000 roku zamieszkiwany był przez
7,116 mln osób, co daje średnią gęstość zaludnienia 6624 osoby / km2 [15].
Do wyliczenia potrzebnych współczynników przyjęłam następujące dane:
" Populację generalną stanowią wszyscy mieszkańcy Hongkongu (7,116 mln).
" Populacja narażona na ryzyko zarażenia SARS to wszyscy wolni od wirusa
mieszkańcy regionu (ogólna liczba mieszkańców  liczba wszystkich
przypadków choroby + liczba osób, które wyzdrowiały)
" Dla stałej K przyjmuję wartość K = 10000.
DysponujÄ…c danymi dynamicznymi [16] dotyczÄ…cymi rozwoju epidemii nietypowego
zapalenia płuc w Hongkongu, dla każdego kolejnego dnia wyliczam współczynniki
zapadalności (2) i chorobowości punktowej (4). Wyniki obliczeń zawiera poniższa
tabela.
Tabela 2. Podsumowanie epidemii SARS w Hongkongu
liczba wszystkich Liczba liczba liczba
liczba nowych liczba wsp. wsp.
data przypadków chorych w wszystkich nowych
zachorowań wyleczonych zapadalności chorobowości
SARS danym dniu zgonów zgonów
1 17.03.03 95 95 94 1 1 0 0,13350375 0,132098447
2 18.03.03 123 28 122 1 0 0 0,039348628 0,171447595
3 19.03.03 150 27 145 5 4 0 0,037943464 0,203770456
4 20.03.03 173 23 167 6 1 0 0,032322315 0,234688111
 21
Tabela 2. c.d.
liczba wszystkich Liczba liczba liczba
liczba nowych liczba wsp. wsp.
Data przypadków chorych w wszystkich nowych
zachorowań wyleczonych zapadalności chorobowości
SARS danym dniu zgonów zgonów
5 21.03.03 203 30 197 6 0 0 0,042159719 0,27684882
6 22.03.03 222 19 215 7 1 0 0,026701226 0,302145458
7 23.03.03 240 18 232 8 1 0 0,025295963 0,326036853
8 24.03.03 260 20 250 10 2 0 0,028106704 0,351333804
9 25.03.03 286 26 276 10 0 0 0,036538849 0,387873936
10 26.03.03 316 30 306 10 0 0 0,042160388 0,43003596
11 27.03.03 367 51 357 10 0 0 0,071673174 0,501712216
12 28.03.03 425 58 415 10 0 0 0,081511333 0,583227638
13 29.03.03 470 45 460 10 0 0 0,063241951 0,646473277
14 30.03.03 501 31 490 11 1 0 0,043566867 0,688637578
15 31.03.03 530 29 517 13 2 0 0,040756268 0,726585876
16 1.04.03 685 155 669 16 3 0 0,217839969 0,940225415
17 2.04.03 708 23 692 16 0 0 0,032324745 0,9725532
18 3.04.03 734 26 717 17 1 0 0,03654115 1,007692474
19 4.04.03 761 27 744 17 0 0 0,037946723 1,045643021
20 5.04.03 800 39 780 20 3 0 0,054812233 1,096244659
21 6.04.03 830 30 809 21 1 0 0,042163434 1,137007268
22 7.04.03 883 53 860 23 2 0 0,074489288 1,208694109
23 8.04.03 928 45 903 25 2 0 0,063246022 1,269136841
24 9.04.03 970 42 943 27 2 0 0,059029969 1,325363351
25 10.04.03 998 28 814 30 3 154 0,039352616 1,144036758
26 11.04.03 1059 61 858 32 2 169 0,085733039 1,205884378
27 12.04.03 1108 49 858 35 3 215 0,068867552 1,205884887
28 13.04.03 1140 32 878 40 5 222 0,044974886 1,233998428
29 14.04.03 1190 50 914 47 7 229 0,070273684 1,284602938
30 15.04.03 1232 42 933 56 9 243 0,059030127 1,311312098
31 16.04.03 1268 36 950 61 5 257 0,050597408 1,335209373
32 17.04.03 1297 29 960 65 4 272 0,040759103 1,349266863
33 18.04.03 1358 61 914 81 16 363 0,085734304 1,284609076
34 19.04.03 1358 0 914 81 0 363 0 1,284609076
35 20.04.03 1368 10 885 82 1 401 0,014054749 1,24384525
36 21.04.03 1402 34 872 94 12 436 0,047786138 1,225573904
37 22.04.03 1434 32 874 99 5 461 0,044975233 1,228386062
38 23.04.03 1458 24 831 105 6 522 0,03373125 1,167944519
39 24.04.03 1479 21 789 109 4 581 0,029514686 1,10890891
40 25.04.03 1510 31 781 115 6 614 0,043569286 1,097664911
41 26.04.03 1527 17 774 121 6 632 0,023892831 1,087826532
42 27.04.03 1540 13 719 129 8 692 0,018270868 1,010519522
43 28.04.03 1557 17 709 138 9 710 0,02389267 0,996464869
44 29.04.03 1572 15 663 150 12 759 0,021081667 0,931809663
45 30.04.03 1589 17 641 157 7 791 0,023892505 0,900887986
46 1.05.03 1600 11 604 162 5 834 0,015459787 0,848882834
47 2.05.03 1611 11 563 170 8 878 0,015459715 0,791256322
48 3.05.03 1621 10 544 179 9 898 0,014054267 0,764552104
49 4.05.03 1630 9 535 182 3 913 0,012648829 0,75190263
50 5.05.03 1637 7 520 187 5 930 0,009837965 0,730820221
51 6.05.03 1646 9 495 193 6 958 0,012648778 0,695682775
52 7.05.03 1654 8 466 204 11 984 0,01124333 0,654923946
 22
Tabela 2. c.d.
liczba liczba
liczba liczba
wszystkich liczba nowych chorych w liczba wsp. wsp.
data wszystkich nowych
przypadków zachorowań danym wyleczonych zapadalności chorobowości
zgonów zgonów
SARS dniu
53 8.05.03 1661 7 445 208 4 1008 0,00983789 0,625408712
54 9.05.03 1667 6 442 210 2 1015 0,008432476 0,621192386
55 10.05.03 1674 7 427 212 2 1035 0,00983787 0,6001101
56 11.05.03 1678 4 416 213 1 1049 0,005621632 0,584649767
57 12.05.03 1683 5 399 218 5 1066 0,007027029 0,560756884
58 13.05.03 1689 6 374 225 7 1090 0,008432413 0,525620411
59 14.05.03 1698 9 343 227 2 1128 0,012648568 0,482050979
60 15.05.03 1703 5 309 234 7 1160 0,007026956 0,434265852
61 16.05.03 1706 3 297 238 4 1171 0,004216169 0,41740069
62 17.05.03 1710 4 276 243 5 1191 0,005621545 0,387886638
63 18.05.03 1712 2 267 246 3 1199 0,00281077 0,375237844
64 19.05.03 1714 2 250 251 5 1213 0,002810766 0,351345703
65 20.05.03 1718 4 236 253 2 1229 0,005621522 0,331669785
66 21.05.03 1719 1 227 255 2 1237 0,001405379 0,319021047
67 22.05.03 1722 3 217 258 3 1247 0,004216133 0,304966956
68 23.05.03 1724 2 209 260 2 1255 0,002810753 0,293723687
69 24.05.03 1724 0 196 262 2 1266 0 0,275453367
70 25.05.03 1725 1 192 263 1 1270 0,001405374 0,269831756
71 26.05.03 1726 1 183 267 4 1276 0,001405373 0,257183211
72 27.05.03 1728 2 174 269 2 1285 0,002810743 0,244534616
73 28.05.03 1730 2 165 270 1 1295 0,00281074 0,231886013
74 29.05.03 1732 2 157 273 3 1302 0,002810738 0,2206429
75 30.05.03 1736 4 158 274 1 1304 0,005621477 0,222048331
76 31.05.03 1739 3 151 278 4 1310 0,004216106 0,212210657
77 1.06.03 1741 2 149 280 2 1312 0,002810737 0,20939992
78 2.06.03 1747 6 146 282 2 1319 0,00843221 0,205183786
79 3.06.03 1747 0 138 283 1 1326 0 0,193940648
80 4.06.03 1748 1 126 283 0 1339 0,001405365 0,177075945
81 5.06.03 1748 0 121 284 1 1343 0 0,170049026
82 6.06.03 1750 2 114 286 2 1350 0,002810726 0,160211367
83 7.06.03 1750 0 113 286 0 1351 0 0,158805981
84 8.06.03 1751 1 110 287 1 1354 0,001405362 0,15458985
85 9.06.03 1753 2 100 288 1 1365 0,002810721 0,140536049
86 10.06.03 1754 1 96 290 2 1368 0,00140536 0,13491457
87 11.06.03 1754 0 94 290 0 1370 0 0,132103812
88 12.06.03 1755 1 87 291 1 1377 0,001405359 0,122266191
89 13.06.03 1755 0 82 293 2 1380 0 0,11523935
90 14.06.03 1755 0 80 293 0 1382 0 0,112428603
91 15.06.03 1755 0 77 294 1 1384 0 0,1082125
92 16.06.03 1755 0 74 295 1 1386 0 0,103996399
93 17.06.03 1755 0 73 295 0 1387 0 0,102591028
94 18.06.03 1755 0 67 295 0 1393 0 0,094158809
95 19.06.03 1755 0 63 296 1 1396 0 0,08853735
96 20.06.03 1755 0 56 296 0 1403 0 0,07869979
97 21.06.03 1755 0 52 296 0 1407 0 0,073078335
98 22.06.03 1755 0 48 296 0 1411 0 0,067456887
99 23.06.03 1755 0 42 296 0 1417 0 0,059024726
 23
Tabela 2. c.d.
liczba liczba
liczba liczba
wszystkich liczba nowych chorych w liczba wsp. wsp.
data wszystkich nowych
przypadków zachorowań danym wyleczonych zapadalności chorobowości
zgonów zgonów
SARS dniu
100 24.06.03 1755 0 40 296 0 1419 0 0,056214009
101 25.06.03 1755 0 40 296 0 1419 0 0,056214009
102 26.06.03 1755 0 37 296 0 1422 0 0,051997936
103 27.06.03 1755 0 34 297 1 1424 0 0,047781874
104 28.06.03 1755 0 33 297 0 1425 0 0,046376518
105 29.06.03 1755 0 29 297 0 1429 0 0,040755099
106 30.06.03 1755 0 28 298 1 1429 0 0,039349751
107 1.07.03 1755 0 28 298 0 1429 0 0,039349751
108 2.07.03 1755 0 28 298 0 1429 0 0,039349751
109 3.07.03 1755 0 27 298 0 1430 0 0,037944397
110 4.07.03 1755 0 27 298 0 1430 0 0,037944397
111 5.07.03 1755 0 27 298 0 1430 0 0,037944397
112 6.07.03 1755 0 27 298 0 1430 0 0,037944397
113 7.07.03 1755 0 27 298 0 1430 0 0,037944397
114 8.07.03 1755 0 26 298 0 1431 0 0,036539044
115 9.07.03 1755 0 26 298 0 1431 0 0,036539044
116 10.07.03 1755 0 24 298 0 1433 0 0,033728339
117 11.07.03 1755 0 24 298 0 1433 0 0,033728339
118 12.07.03 1755 0 24 298 0 1433 0 0,033728339
119 13.07.03 1755 0 22 298 0 1435 0 0,030917635
120 14.07.03 1755 0 8 299 1 1448 0 0,011242756
121 15.07.03 1755 0 7 300 1 1448 0 0,009837411
Poniższe wykresy (3.3.1 i 3.3.2) przedstawiają, jak kształtowały się
współczynniki zapadalności i chorobowości w ciągu 121 dni trwania epidemii wirusa
SARS w Hongkongu. Kolejne dwa wykresy ilustrują jak kształtuje się współczynnik
chorobowości w zależności od zapadalności (3.3.3) oraz w zależności od ilości osób,
które w danym dniu wyzdrowiały (3.3.4)
 24
Kolejne dni trwania epidemii
Wykres.3.3.1. Współczynnik zapadalności
Kolejne dni trwania epidemii
Wykres.3.3.2. Współczynnik chorobowości
Wspó
Å‚
czynnik
zapadalno
Å›
ci
Wspó
Å‚
czynnik
chorobowo
Å›
ci
 25
Kolejne dni trwania epidemii
Wykres.3.3.3. Współczynnik chorobowości a zapadalność
Kolejne dni trwania epidemii
Wykres.3.3.4. Współczynnik chorobowości a wyleczalność
Wspó
Å‚
czynnik chorobowo
Å›
ci i zapadalno
Å›
ci
Wspó
Å‚
czynnik chorobowo
Å›
ci i wyzdrowienia
 26
Współczynnik zapadalności (wykres 3.3.1) obrazuje liczbę osób, które zachorowały
w danym dniu, natomiast współczynnik chorobowości (wykres 3.3.2) liczbę osób
chorych w danym dniu (zarażonych w tym dniu lub wcześniej). Jak widać na wykresie
3.3.3, zapadalność ma bezpośredni wpływ na chorobowość. Widoczne skoki
zapadalności (np. w okolicach 17 dnia epidemii) mają swoje odbicie we wzroście
chorobowości. Dla porównania, na wykresie 3.3.4, na tej samej skali, przedstawiłam
współczynnik chorobowości w zależności od liczby osób, które w danym dniu
powróciły do zdrowia. Według danych WHO (przypuszczalnie niepełnych dla
pierwszych dni epidemii) [16] pierwsze przypadki wyzdrowienia, po przejściu
SARS, pojawiły się dopiero 10 kwietnia 2003 roku, a więc w 25 dniu trwania epidemii.
Na wykresie chorobowości (3.3.4) wyraz
nie widoczny jest ten nagły skok (pojawienie
się 154 wyleczonych osób). Wyraz
na tendencja spadkowa dla współczynnika
chorobowości pojawia się w okolicach 30 dnia, wtedy właśnie wyleczalność zaczyna
dominować nad pojawianiem się nowych zachorowań.
Spośród 7,116 mln. mieszkańców Hongkongu, 1755 osób zaraziło się
wirusem SARS, a więc 0,02466% ogółu ludności. Zmarło 299 osób (około 17%
zarażonych), co stanowi 0,0042 % wszystkich mieszkańców. Prawie 83%
zarażonych powróciło do zdrowia w czasie do 15 lipca 2003 roku.
 27
4. Wybrane zagadnienia z teorii sieci *
Sieci to struktury wszechobecne. SieciÄ… jest Internet, czy systemy komunikacji
i przesyłania energii, ale sieciami są także społeczeństwa, w których poszczególnych
obywateli Å‚Ä…czÄ… przyjaz
nie, zwiÄ…zki rodzinne, stosunki zawodowe.
Pomimo wszechobecności sieci i ich znaczenia naukowcy wciąż nie do końca
rozumieją ich strukturę i własności. Ciągle jeszcze nie wiemy dlaczego w niektórych
systemach społecznych i komunikacyjnych tak szybko rozprzestrzeniają się wirusy
chorobotwórcze lub komputerowe, dlaczego niektóre sieci działają nawet wtedy, gdy
znakomita większość ich węzłów zostanie uszkodzona. Dzięki najnowszym
badaniom zaczynamy poznawać odpowiedzi na podobne pytania.
Wybór odpowiedniej sieci opisującej społeczeństwo jest sprawą priorytetową
dla przeprowadzenia wiarygodnej symulacji rozprzestrzeniania się chorób
w populacji. Prawidłowy model sieci społecznej powinien posiadać trzy następujące
cechy:
małą średnią odległość między węzłami (gwarantuje szybki przepływ
informacji w sieci),
wysoki współczynnik gronowania (zapewnia spełnienie warunku, że bliskie
sobie osoby trzymajÄ… siÄ™ zazwyczaj razem  mieszkajÄ… blisko siebie),
potęgowy rozkład wiązań (istnieją węzły o bardzo dużej liczbie połączeń,
chociaż większość z nich ma zaledwie kilka).
Przyjrzyjmy siÄ™ zatem kilku rodzajom sieci.
4.1. Sieć regularna
Sieć regularna jest najprostszym modelem, który jednak nie ma zastosowania
do opisu sieci społecznej, czy wielu innych złożonych układów. Cechą
charakterystyczną tego typu sieci jest jednakowa liczba połączeń dla każdego węzła
(jednostajny rozkład połączeń). W otaczającej nas rzeczywistości z takimi
modelami mamy do czynienia bardzo rzadko. Sieć ta charakteryzuje się wysokim
współczynnikiem gronowania, jednak średnia odległość między węzłami jest na tyle
*
Na podstawie [17, 18]
 28
długa, że sieć ta nie nadaje się do modelowania zależności społecznych.
Rysunek 4.1.1 przedstawia jednowymiarową sieć regularną, w której punkty
(węzły) łączą się z najbliższymi sąsiadami pierwszego i drugiego rzędu.
Rys.4.1.1. Schemat budowy sieci regularnej
4.2. Sieć losowa
Przez ponad 40 lat nauka uznawała wszystkie złożone sieci za struktury
całkowicie losowe. W roku 1959, próbując opisać sieci informacyjne, a także te
wystÄ™pujÄ…ce w przyrodzie, Pal Erdös i Alfred Renyi wskazali, że takie ukÅ‚ady można
skutecznie modelować przy założeniu, ze połączenia węzłów są rozmieszczone
losowo. Prostota podejścia oraz elegancja niektórych twierdzeń ożywiły na nowo
teorię grafów i doprowadziły do powstania nowej gałęzi matematyki zajmującej się
sieciami losowymi.
Budową sieci losowej rządzi mający kształt dzwonu rozkład Poissona i węzły
z liczbą połączeń znacząco różną od średniej trafiają się rzadko. Sieci losowe
nazywa się też wykładniczymi, gdyż prawdopodobieństwo, że węzeł jest połączony
z k innymi, maleje wykładniczo dla dużych k. Tworząc swój model, Erdos i Renyi
zakładali, ze dany jest kompletny katalog wszystkich węzłów sieci, a póz
niej dopiero
losowo rozmieszcza się w niej połączenia. Dlatego właśnie, w przeciwieństwie do
sieci bezskalowych w sieciach losowych centra (węzły o bardzo dużej liczbie
połączeń, zdecydowanie większej od średniej liczby połączeń dla pozostałych
węzłów) po prostu nie mogą istnieć. Cechą charakterystyczną tej sieci jest krótka
średnia droga między węzłami, ale współczynnik gronowania jest bardzo niski.
 29
Podobnie więc jak sieć regularna, nie będzie w prawidłowy sposób obrazować
rozkładu połączeń społecznych. Na rysunku 4.2.1 przedstawiony jest przykładowy
rozkład połączeń dla omawianej sieci.
Rys.4.2.1. Schemat budowy sieci losowej
4.3. Sieć Małego Świata
4.3.1. Sześć stopni separacji
W wyniku doświadczenia przeprowadzonego w 1967 roku przez
amerykańskiego psychologa Stanleya Milgrama, w sieci powiązań społecznych
stwierdzono sześć stopni separacji. Przeprowadzony eksperyment polegał na
rozesłaniu do kilkuset losowo wybranych osób przesyłki, która miała dotrzeć do
konkretnego adresata. Było jednak pewne zastrzeżenie  nie wolno było przesyłać
bezpośrednio do wybranej osoby. Przesyłka miała być dostarczona do znajomej
osoby, co do której zachodziło największe prawdopodobieństwo, że może znać
adresata. Każda osoba, która dostała paczkę  po drodze , miała wysłać do Milgrama
kartkę. W ten sposób naukowiec mógł śledzić los przesyłek. Okazało się, że
większość paczek dotarła do celu, po przejściu przez nie więcej niż sześć par rąk. Na
podstawie tego typu doświadczeń stwierdzono, że łańcuch łączący dowolne dwie
osoby na świecie ma średnio sześć ogniw, co potwierdza znane powiedzenie, jak
mały jest nasz Świat.
 30
4.3.2. Schemat budowy Małego Świata
W 1998 roku dwaj matematycy, Watts i Strogatz, zaproponowali nowy model
sieci zwany dzisiaj siecią Małego Świata. Postanowili oni połączyć w sobie
pozytywne cechy sieci regularnej (wysoki współczynnik gronowania) i losowej (krótka
średnia droga między węzłami.). Algorytm tworzenia sieci Małego Świata jest bardzo
prosty. Wystarczy wprowadzić drobne zaburzenie w sieci regularnej, tj. zerwać około
1% połączeń tej sieci, a następnie zerwane połączenia rozmieścić losowo (rysunek
4.3.1).
sieć regularna zerwane połączenia rozlosowanie zerwanych
połączeń
Rys.4.3.1. Schemat tworzenia sieci Mały Świat
Sieć Małego Świata spełnia zatem już dwa warunki modelu sieci społecznej. Średnia
odległość między węzłami jest na tyle krótka, że zapewnia stosunkowo szybki
przepływ informacji w sieci, współczynnik gronowania natomiast, na tyle wysoki, że
dobrze obrazuje istnienie pewnych grup w społeczeństwie. Niestety model ten nie
przewiduje istnienia osób, które mają zdecydowanie więcej znajomych od większości
ludzi (rozkład wiązań nie jest potęgowy).
4.4. Sieci bezskalowe
W ciągu kilku ostatnich lat naukowcy pracujący w różnych dziedzinach odkryli,
że liczne sieci są zdominowane przez stosunkowo niewielką liczbę węzłów,
połączonych z wieloma innymi punktami danej sieci. Sieci zawierające takie ważne
 31
węzły, nazywane centrami, zazwyczaj są  bezskalowe  tzn. niektóre węzły mają
niemal nieograniczoną liczbę połączeń. W sieciach bezskalowych, nie można mówić
o stałej liczbie węzłów, może ich wciąż przybywać, co powoduje rozrastanie się sieci
(np. Internet). Rozrost ten nie jest jednak przypadkowy. Nowe węzły sieci zwykle
łączą się z tymi, które dysponują większą liczbą połączeń  to tłumaczy powstawanie
centrów. Budową sieci bezskalowych rządzi rozkład potęgowy. Rozkłady potęgowe
są zupełnie inne od rozkładów w kształcie dzwonu, charakteryzujących sieci losowe,
nie majÄ… pojedynczego maksimum, ale sÄ… opisywane przez funkcje malejÄ…ce.
W ostatnich latach naukowcy wykryli struktury bezskalowe w niektórych
sieciach społecznych, np. sieć osób połączonych pocztą elektroniczną, sieć prac
naukowych, w której łączami są cytowania, sieć współpracy między naukowcami
w kilku dyscyplinach, m.in. w fizyce i informatyce, czy sieć aktorów w Hollywood.
4.4.1. Schemat budowy sieci bezskalowej
W sieci bezskalowej kolejne węzły z większym prawdopodobieństwem
przyłączają się do tych węzłów, które aktualnie mają najwięcej połączeń. Proces
tworzenia sieci bezskalowej przedstawiony jest na rysunku 4.4.1.
Rys.4.4.1. Algorytm tworzenia sieci bezskalowej
 32
4.4.2. Cechy sieci bezskalowych:
Niektóre węzły mają olbrzymią liczbę połączeń z innymi, podczas gdy
większość węzłów jedynie kilka. Te szczególnie popularne węzły, zwane
centrami, mogą mieć setki, tysiące, a nawet miliony połączeń.
Sieci te dzięki niejednorodnej budowie są dość odporne na przypadkowe
uszkodzenia(np. w Internecie jednocześnie uszkodzeniu może ulec aż 80%
losowo wybranych węzłów i nie będzie to miało wpływu na ogólne działanie
sieci)
Sieci bezskalowe są jednak zupełnie nieodporne na skoordynowane atak
z powodu ogromnego uzależnienia od centrów. Usunięcie zaledwie kilku
kluczowych centrów, może spowodować rozszczepienie całej sieci na
zupełnie izolowane części.
4.4.3. Rozprzestrzenianie się wirusów w sieci bezskalowej
Wiedza o sieciach bezskalowych może bardzo ułatwić zrozumienie procesów
rozprzestrzeniania się chorób zakaz
nych. Teoria dyfuzji przez dziesiÄ…tki lat
intensywnie badana zarówno przez epidemiologów, jak i specjalistów od marketingu,
przewiduje istnienie krytycznego progu rozprzestrzeniania się zakażeń w danej
populacji. Wszelkie wirusy i choroby, których zaraz
liwość nie przekracza owego
dobrze określonego progu, są skazane na wymarcie, natomiast te, których
zaraz
liwość jest większa od krytycznej, rozprzestrzeniają się w tempie wykładniczym
i w końcu penetrują cały układ.
Romualdo Pastor Satorras i Aleksandro Vespigniani doszli niedawno do
niepokojącego wniosku. Stwierdzili mianowicie, że w sieci bezskalowej ów krytyczny
poziom zaraz
liwości jest równy zero, co oznacza, że nawet mało zaraz
liwe wirusy
będą się rozprzestrzeniać i uporczywie utrzymywać. Ponieważ centra są połączone
z wieloma innymi węzłami, uszkodzony węzeł sieci będzie zazwyczaj infekować
przynajmniej jedno centrum. A gdy centrum zostanie już zainfekowane, natychmiast
przekaże wirusa licznym innym węzłom, co w końcu doprowadzi do zakażenia
innych centrów, które rozsieją wirusa w całym układzie.
W świetle powyższych faktów tradycyjna metoda losowego uodparniania
 33
(poddawania szczepieniom ochronnym losowo wybranej grupy należącej do
populacji narażonej), stosowana przez publiczne służby zdrowia, może łatwo
zawieść, gdyż z bardzo dużym prawdopodobieństwem pominięte zostaną niektóre
centra. Aby mieć pewność, że wszystkie centra zostały uodpornione, należałoby
poddać zabiegom ochronnym praktycznie wszystkich. Szczepienie przeciwko odrze
jest na przykład skuteczne dopiero, gdy obejmie 90% populacji.
Logiczne, więc wydaje się, aby w pierwszej kolejności profilaktyce poddać
centra, czyli osoby o największej liczbie kontaktów. Z własności sieci bezskalowych
wynika, ze taka taktyka mogłaby być skuteczna nawet wówczas, gdy zostałaby ona
zastosowana do niewielkiego ułamka populacji, pod warunkiem, że ułamek ten
zawierałby wszystkie centra.
Takie rozumowanie niesie jednak za sobÄ… rozmaite dylematy natury etycznej.
Bowiem nawet, jeśli uda się wskazać osoby  centra, to dlaczego miałyby mieć one
pierwszeństwo w dostępie do leków, czy różnych zabiegów ochronnych? Mimo tych
wątpliwości, wiedza o centrach może stać się w przyszłości bardzo przydatna
w rozwiązywaniu problemów z dystrybucją leków np. przeciwko AIDS w krajach,
gdzie nie ma środków, by objąć ochroną wszystkich. W przypadku gospodarki często
bywa, że celem wcale nie jest powstrzymanie epidemii, ale jej wywołanie. Wirusowe
kampanie reklamowe często specjalnie kierowane są do centrów sieci społecznej,
aby przyspieszyć akceptację jakiegoś produktu. Specjaliści od marketingu już od
dawna wiedzieli, że niektórzy klienci znacznie bardziej niż inni przyczyniają się do
powstania promocyjnego zgiełku, jednak dopiero ostatnie badania sieci
bezskalowych pozwalają na ścisłą analizę tego zjawiska.
Określenie czy dana sieć jest bezskalowa, czy nie, jest ważne, gdy chcemy
zrozumieć zachowanie całego układu. Jednak bezskalowość nie jest jedynym
czynnikiem warunkującym zachowanie się sieci  zwłaszcza sieci społecznych.
W obrębie jednego gospodarstwa domowego tworzą się znacznie silniejsze więzi niż
przypadkowe znajomości, stąd wszelkie choroby i wirusy będą z większym
prawdopodobieństwem rozprzestrzeniać się wzdłuż takich połączeń.
W rzeczywistości do zatrzymania jakiejś epidemii mogłoby nie wystarczyć poddanie
wszystkich centrów profilaktyce. Skuteczniejsze rozwiązania mogą wymagać
uwzględnienia nie tylko liczby kontaktów, ale także ich częstości, czasu trwania
i charakteru.
 34
4.5. Podsumowanie
Należy sobie zdawać sprawę z tego, iż żadna z sieci opisanych w tym
rozdziale nie do końca nadaje się do przedstawienia rozprzestrzeniania się chorób
w populacji ludzkiej. Sieci te w sposób mniej lub bardziej zbliżony do rzeczywistości
odzwierciedlają kontakty międzyludzkie. Jeżeli uznamy, że połączenie węzłów w sieci
to relacja znajomości, to musimy liczyć się z faktem, że rozprzestrzenianie się
wirusów rządzi się innymi prawami; to czy daną osobę znamy czy nie, nie zawsze ma
wpływ na prawdopodobieństwo jej zarażenia. Fakt ten nie pozostaje jednak bez
znaczenia. Oczywistą sprawą jest to, że jeżeli zachoruje jeden członek rodziny, to
pozostała część domowników (najbliżsi sąsiedzi w sieci) jest w stopniu najwyższym
wystawiona na ryzyko zarażenia. Nie oznacza to jednak, że chory nie może zarażać
zupełnie przypadkowych osób. Tak więc, nawet w przypadku, gdy zarażona osoba
jest samotna (punkt izolowany sieci społecznej), w żadnym przypadku nie możemy
stwierdzić, że nie będzie ona zarażać innych. Cały problem opisania sieci społecznej
skupia się na stwierdzeniu, czym właściwie są owe połączenia węzłów. W przypadku
rozprzestrzeniania się chorób, między węzłami zaistnieje połączenie, gdy dojdzie do
bezpośredniego zetknięcia się co najmniej dwóch osób. Tego typu relacje są bardzo
trudne, jeżeli nie niemożliwe do opisania. Możemy więc tylko w sposób bardzo
przybliżony dopatrywać się pewnych zależności.
 35
5. Próba dopasowania modelu
Tworzenie modelu matematycznego ( deterministycznego, czy stochasty-
cznego) jest próbą opisania jakiegoś  kawałka rzeczywistości za pomocą pewnych
reguł, wzorów i symboli. Umiejętność tworzenia takich modeli może być niezwykle
użyteczna, daje nie tylko możliwość opisywania zjawisk przyrodniczych za pomocą
pewnych formuł, ale także pozwala w pewnym stopniu przewidywać dalszy rozwój
danego zjawiska. Jest to bardzo istotna własność w wielu dziedzinach, m.in.
w medycynie (badanie rozprzestrzeniania się chorób), w finansach (określanie
kursów walut i papierów wartościowych, analiza ryzyka). Dopasowywanie modelu
matematycznego składa się z czterech etapów powtarzanych aż do momentu
otrzymania zadowalajÄ…cego wyniku. Te cztery etapy to:
o analiza zjawiska, które chcemy modelować,
o sformułowanie modelu,
o zaprojektowanie modelu,
o interpretacja wyników, porównanie z danymi rzeczywistymi.
Analiza zjawiska
Interpretacja i analiza Sformułowanie
wyników modelu
Skonstruowanie
modelu
Podstawowym etapem jest stworzenie modelu najprostszego,
przeanalizowanie wyników symulacji, a następnie wprowadzanie kolejnych założeń.
Jeżeli otrzymane wyniki nie odzwierciedlają w sposób wystarczający rzeczywistości,
należy ponownie przeanalizować problem, wprowadzić do modelu nieprzewidziane
wcześniej warunki, zmienić jego formułę itd.
 36
5.1. Pierwszy model
Podstawowym modelem, od którego rozpoczynam badanie procesu
rozprzestrzeniania się wirusa SARS, jest model przewidujący jedynie zarażanie.
W każdym kolejnym kroku symulacji wg tego modelu, zarażani są wszyscy  zdrowi
sąsiedzi  chorego węzła. Symulacja kończy się wówczas, gdy wszystkie węzły sieci
są zarażone. Model ten umożliwia zbadanie właściwości sieci, a mianowicie jej
przepustowość, szybkość przepływu informacji, nie bardzo jednak nadaje się do
opisywania rozprzestrzeniania siÄ™ epidemii w populacji ludzkiej. Nie przewiduje on
bardzo wielu ważnych okoliczności towarzyszących temu procesowi, m.in.
zdrowienia, umieralności, izolacji zarażonych itp.
Poniższe wykresy ilustrują przykładową symulację pierwszego modelu dla
sieci losowej, bezskalowej i Małego Świata (1000 węzłów). Dla większej czytelności
wykresu symulacji dla sieci regularnej, przyjęłam sieć składającą się ze 100 węzłów.
W sieci regularnej niezależnie od ilości węzłów w każdym kroku symulacji
omawianego modelu (poza pierwszym i ostatnim) zarażają się dokładnie cztery
węzły.
Sieć losowa Sieć bezskalowa
Kolejne kroki symulacji Kolejne kroki symulacji
Rys.5.1.1. Liczba węzłów zarażanych w każdym kolejnym kroku symulacji
pierwszego modelu dla sieci losowej i bezskalowej.
Liczba zara
ż
onych w
Ä™
z
Å‚
ów
Liczba zara
ż
onych w
Ä™
z
Å‚
ów
 37
Sieć Małego Świata Sieć regularna
Kolejne kroki symulacji Kolejne kroki symulacji
Rys.5.1.2. Liczba węzłów zarażanych w każdym kolejnym kroku symulacji
pierwszego modelu dla sieci Mały Świat i sieci regularnej.
Jak widać na powyższych wykresach najszybciej zarażone zostały wszystkie
węzły sieci bezskalowej (11 kroków). Wynika to z budowy tej sieci, gdy zarażone
zostanie co najmniej jedno centrum, dalsze rozprzestrzenianie odbywa siÄ™ bardzo
szybko. W sieci losowej istnieje prawdopodobieństwo występowania izolowanych
fragmentów, dlatego nie mamy pewności, czy zaraziły się wszystkie węzły. Nie mniej
jednak, liczba kroków (16) jest większa niż dla sieci bezskalowej, co świadczy
o mniejszej przepustowości sieci. Najwolniej  zarażanie węzłów zachodzi w sieci
regularnej, w każdym kolejnym zarażane są dokładnie cztery węzły. Na wykresie
przedstawiającym sieć Małego Świata możemy zauważyć, jak bardzo 1%-owe
zaburzenie może wpłynąć na budowę i właściwości sieci. W początkowej fazie
symulacji zarażanie przebiega podobnie jak na sieci regularnej, ale już w 5 kroku
tendencja ta zanika.
Z całą pewnością możemy stwierdzić, że sieć regularna nie nadaje się do
modelowania procesów zachodzących w populacji ludzkiej. Jest zbyt idealna i nie
uwzględnia ani odrobiny losowości. Z symulacji pierwszego modelu nie możemy
jednak wnioskować o przydatności pozostałych sieci do modelowania tego typu
procesów.
Liczba zara
ż
onych w
Ä™
z
Å‚
ów
Liczba zara
ż
onych w
Ä™
z
Å‚
ów
 38
5.2. Drugi model
Rozprzestrzenianie się wirusów to wbrew pozorom bardzo skomplikowany
proces. Nie każdy człowiek jest w jednakowym stopniu narażony na ryzyko
zachorowania, wynika to m.in. z różnic w odporności organizmów, różnego stopnia
i czasu ekspozycji na czynnik chorobotwórczy, itp. Jeżeli już dojdzie do zarażenia,
nie każdy przypadek choroby ma taki sam przebieg, niektórzy zdrowieją szybko lub
ich zarażenie nigdy się nie ujawnia (są jedynie nosicielami), zaś inne przypadki
kończą się śmiercią pacjenta. Wskaz
nik rozmiaru epidemii może być ponadto
zaniżany poprzez izolację zarażonych osób, bądz
kwarantannę osób, u których
podejrzewa się zarażenie.
Dla stworzenia jak najlepiej dopasowanego, dynamicznego modelu
rozprzestrzeniania się wirusa konieczna jest znajomość kilku podstawowych danych
na temat choroby i jej przebiegu (dynamiczne dane dotyczące nowych zakażeń,
średni czas trwania  utajonej fazy choroby  pacjent jest nosicielem, ale nie zaraża,
średni czas trwania infekcji, wskaz
nik śmiertelności). Aby wyliczyć średni czas
trwania choroby, konieczne jest dysponowanie danymi zawierajÄ…cymi daty
zachorowania konkretnych osób, oraz daty ich wyzdrowienia lub śmierci. Niestety
uzyskanie tych danych było niemożliwe, dlatego więc skupiłam się na stworzeniu
prostszej wersji modelu, nie uwzględniającej średniego czasu trwania choroby,
a jedynie prawdopodobieństwa zarażenia i wyzdrowienia.
Symulacja przeprowadzana wg omawianego modelu wymaga wprowadzenia
minimalnych i maksymalnych wartości dla prawdopodobieństw zarażenia
i wyzdrowienia. W początkowej fazie symulacji prawdopodobieństwo zarażenia jest
najwyższe, w każdym kolejnym kroku stopniowo maleje, by w ostatnim kroku
osiągnąć wartość minimalną. Z prawdopodobieństwem wyzdrowienia jest odwrotnie:
początkowo niskie wzrasta do wartości maksymalnej osiąganej w ostatnim kroku
symulacji.
Takie zachowanie się prawdopodobieństw jest zgodne z intuicjami. Początek
epidemii SARS pozostał niezauważony, a właściwie zignorowany. Nie podjęto
wówczas żadnych środków zapobiegawczych, dzięki czemu wirus rozprzestrzenił się
w bardzo szybkim tempie. Prawdopodobieństwo zarażenia było w tym czasie
 39
najwyższe. W miarę rozwoju epidemii zaczęto wprowadzać środki ochronne (maski
z filtrami, kwarantanna osób z podejrzeniem SARS, izolacja zarażonych), aby
zahamować jej dalszy rozwój. Ponadto służby medyczne skupiły się na walce
z epidemią, opracowywaniu nowych metod leczenia, a więc prawdopodobieństwo
wyzdrowienia zaczęło stopniowo wzrastać.
W modelu nie uwzględniam izolacji oraz  śmierci pojedynczych węzłów.
Chwilowe lub całkowite wyłączenie węzła z sieci zaburzałoby w sposób znaczący jej
strukturę (zrywanie połączeń). W rzeczywistości śmierć lub chwilowe odizolowanie
pacjenta nie oznacza przecież utraty połączeń w sieci społecznej.
W omawianym modelu w pierwszej kolejności losowane jest  z
ródło epidemii
(jeden lub więcej węzłów). W każdym kolejnym kroku sprawdzam, czy badany
 chory punkt wyzdrowieje (prawdopodobieństwo wyzdrowienia). Jeżeli pozostaje
 chory staje siÄ™ potencjalnym z
ródłem zarażenia sąsiadów w sieci
(prawdopodobieństwo zarażenia), jeżeli wyzdrowieje, wraca do grupy węzłów
narażonych na ryzyko zachorowania.
Poniżej zamieszczone są wykresy (Rys.5.2.1) przykładowej realizacji drugiego
modelu dla poszczególnych sieci. Symulację przeprowadziłam dla następujących
parametrów:
- ilość węzłów sieci = 1000,
- minimalne prawdopodobieństwo zarażenia = 0.2,
- maksymalne prawdopodobieństwo zarażenia = 0.9,
- minimalne prawdopodobieństwo wyzdrowienia = 0,
- maksymalne prawdopodobieństwo wyzdrowienia = 0.8,
- liczba  z
ródeł epidemii = 1,
- maksymalna liczba kroków symulacji = 200,
- na wykresie przedstawiona jest całkowita liczba chorych
w poszczególnych krokach symulacji.
Dla porównania, na rysunku 5.2.2 przedstawiona jest rzeczywista liczba chorych
w każdym kolejnym dniu trwania epidemii SARS w Hongkongu. Aby wykres danych
rzeczywistych miał cechę porównywalności z wynikami symulacji, zamieszczona na
nim całkowita liczba chorych nie uwzględnia liczby osób zmarłych z powodu SARS.
 40
Sieć losowa Sieć bezskalowa
Kolejne kroki symulacji Kolejne kroki symulacji
Sieć Małego Świata Sieć regularna
Kolejne kroki symulacji Kolejne kroki symulacji
Rys.5.2.1. Liczba wszystkich chorych węzłów w każdym kolejnym kroku symulacji
drugiego modelu dla sieci losowej, bezskalowej, Mały Świat i sieci regularnej.
Kolejne dni trwania epidemii
Rys.5.2.2. Rzeczywista liczba chorych w każdym kolejnym dniu trwania epidemii.
Liczba chorych w
Ä™
z
Å‚
ów
Liczba chorych w
Ä™
z
Å‚
ów
Liczba chorych w
Ä™
z
Å‚
ów
Liczba chorych w
Ä™
z
Å‚
ów
Liczba wszystkich chorych
 41
Porównując wyniki przeprowadzonej symulacji z wykresem danych
rzeczywistych widzimy, że żadna z sieci nie odzwierciedla rzeczywistości w stopniu
zadowalającym. Kształty wykresów symulacji znacznie odbiegają od kształtu wykresu
danych rzeczywistych. Dla tak dobranych prawdopodobieństw, możemy dopatrywać
się pewnych zbieżności jedynie dla sieci Małego Świata, dla pierwszych dni epidemii,
którym odpowiadają pierwsze kroki symulacji.
Poniższe wykresy (Rys.5.2.3) ilustrują symulację drugiego modelu, na tej
samej sieci, ale ze zmienionymi wartościami prawdopodobieństw (dla
prawdopodobieństwa zarażenia i wyzdrowienia: min = 0.01, max = 0.3)
Sieć losowa Sieć bezskalowa
Kolejne kroki symulacji Kolejne kroki symulacji
Sieć Małego Świata Sieć regularna
Kolejne kroki symulacji Kolejne kroki symulacji
Rys.5.2.3. Liczba wszystkich chorych węzłów oraz liczba zarażonych w każdym
kolejnym kroku symulacji drugiego modelu dla sieci losowej, bezskalowej, Mały
Åšwiat i sieci regularnej.
Liczba chorych w
Ä™
z
Å‚
ów
Liczba chorych w
Ä™
z
Å‚
ów
Liczba chorych w
Ä™
z
Å‚
ów
Liczba chorych w
Ä™
z
Å‚
ów
 42
Kolejne dni trwania epidemii
Rys.5.2.4. Rzeczywista całkowita liczba chorych i zarażonych w każdym kolejnym
dniu trwania epidemii.
Przy tak dobranych prawdopodobieństwach dopasowanie modelu jest
znacznie dokładniejsze, szczególnie dla sieci bezskalowej. Znacznie większe
dopasowanie cechuje także sieć losową, natomiast dla sieci Małego Świata, liczba
chorych wzrasta zbyt Å‚agodnie.
Kształt wykresu symulacji dla sieci bezskalowej jest bardziej regularny
niż wykres danych rzeczywistych (Rys. 5.2.4), co wynika z sztywnych reguł
matematycznych, wg których zaprogramowany jest model symulacji, a które
w rzeczywistości są znacznie bardziej elastyczne. Ponadto model nie uwzględnia
bardzo ważnego parametru jakim jest średni czas trwania infekcji. Mimo to sieć
bezskalowa wydaje się być najlepszą do modelowania rozprzestrzeniania się chorób
w populacji, spośród sieci zaprezentowanych w niniejszej pracy.
Porównując wyniki symulacji z danymi rzeczywistymi możemy pominąć skalę
a skupić się jedynie na kształcie wykresów, które dla symulacji przeprowadzonych na
sieciach 100, 500, czy 1000  elementowych są bardzo zbliżone. Kształt wykresów
symulacji w największym stopniu zależy od doboru wartości prawdopodobieństw.
Wiemy, że w rzeczywistości prawdopodobieństwo zarażenia się wirusem SARS
w wyniku bezpośredniego kontaktu z chorą osobą było bliższe prawdopodobieństwu
przyjętemu w pierwszej symulacji (0.9). Należy jednak pamiętać, że symulację
przeprowadzamy dla sieci o 1000 węzłów, a więc 1 węzeł odpowiada około 7116
Liczba wszystkich chorych
 43
osobom w rzeczywistej sieci społecznej. Dlatego, aby uzyskane wyniki symulacji jak
najwierniej odzwierciedlały rzeczywistość, należy te prawdopodobieństwa znacznie
zaniżyć.
 44
5.3. Opis działania aplikacji  Symulator epidemii
Symulator epidemii jest aplikacjÄ… stworzonÄ… za pomocÄ… pakietu Matlab.
Program uruchamiany jest poprzez wywołanie w oknie poleceń Matlaba pliku
index.m, który otwiera interfejs użytkownika. Obsługa aplikacji polega głównie na
wyborze opcji wskazanych przez program.
Użytkownik może wygenerować lub wczytać z pliku, zapisaną wcześniej,
dowolną liczbę spośród czterech rodzajów sieci (losowa, bezskalowa, Mały Świat,
regularna). Generowane sieci mogą mieć 10, 100, 500, 1000 lub 2000 węzłów. Po
wygenerowaniu lub wczytaniu żądanych sieci, pojawia się kolejne okno graficzne,
umożliwiające wybór modelu symulacji.
Ponadto można także obejrzeć wybrany wykres dotyczący struktury zadanych
sieci. Może to być wykres połączeń, który ilustruje posortowaną malejąco liczbę
połączeń dla każdego węzła, co umożliwia odczytanie stopnia spójności sieci
(występowanie punktów izolowanych, nie posiadających żadnych połączeń). Drugi
wykres ilustruje wartości dystrybuanty empirycznej dla liczby połączeń sieci
(prawdopodobieństwo występowania poszczególnych wartości), dzięki czemu
możemy odczytać przybliżony rozkład połączeń sieci.
Wybierając model pierwszy otwiera się okno graficzne umożliwiające
przeprowadzenie symulacji wg tego modelu, oraz obejrzenie wybranego wykresu
danych rzeczywistych. Wykres danych rzeczywistych otwierany jest
w nowym oknie, aby była możliwość porównania ich z wynikami symulacji. Dla
wykresu danych rzeczywistych dostępne są trzy opcje:
- wykres zarażonych (5.2.4)  liczba węzłów, które zarażają się w każdym
kolejnym kroku symulacji,
- wykres chorych (5.2.2) - całkowita liczba aktualnie chorych w każdym
kolejnym kroku symulacji,
- wykres wyzdrowiałych  liczba węzłów wyzdrowiałych w każdym kolejnym
kroku symulacji.
Można wybrać każdą z opcji osobno lub w dowolnym zestawieniu.
Użycie przycisku  POWRÓT powoduje ponowne otwarcie okna z wyborem modelu.
 45
Wybór modelu drugiego otwiera kolejne okno, umożliwiające wprowadzenie
żądanych parametrów z klawiatury. Należy podać minimalne i maksymalne
prawdopodobieństwa zarażenia i wyzdrowienia. W przypadku wprowadzenia
wartości większej jako minimalną (lub mniejszej jako maksymalną) program
automatycznie je zamienia.
Liczba początkowo zarażonych, to inaczej liczba z
ródeł epidemii. Aby
symulacja miała sens powinno być co najmniej jedno z
ródło. Wprowadzenie większej
liczby z
ródeł, przy wysokim prawdopodobieństwie wyzdrowienia, sprawia, że
symulacja nie jest dławiona w pierwszych krokach.
Maksymalna liczba kroków symulacji, to sztuczne ograniczenie długości
trwania symulacji. Ograniczenie to jest konieczne w przypadkach gdy liczba węzłów
zarażanych w danym kroku równoważy liczbę węzłów, które zdrowieją, skutkiem
czego liczba chorych utrzymuje się na stałym poziomie.
Wybór typu wykresu (jak wyżej) dotyczy zarówno symulacji, jak i wykresu
danych rzeczywistych. Przycisk  POWRÓT ponownie otwiera okno z wyborem
modelu.
W każdym kolejnym oknie graficznym dostępna jest pomoc ułatwiająca
i wyjaśniająca zasady korzystania z aplikacji. Przycisk  RESTART powoduje
uruchomienie całego programu od początku,  ZAMKNIJ zamyka wszystkie okna
graficzne programu.
 46
BIBLIOGRAFIA
[1] WHO (2003), Unprecedented collaboration identifies new pathogen in record
time, http://www.who.int/csr/sars/archive/2003_04_16/en/.
[2] PAP (2003-05-23), Wirus SARS z kosmosu?, http://info.onet.pl.
[3] Telewizyjna Agencja Informacyjna TVP S.A. (2003-05-23), SARS: oskarżona
cyweta, http://wiadomosci.tvp.pl/wiadomosci/1,2003052336874.strona.
[4] PAP (2003-05-05), SARS może przenosić się przez dotyk, http://info.onet.pl.
[5] Medical Web Designs (2003-04-08), Nietypowe zapalenie płuc  SARS,
www.zdrowie.med.pl.
[6] Joanna Gacka (2003-09-10), SARS powróci??,
http://newsroom.gery.pl/news/8077.html.
[7] Bao Tonga, (2003-04-08), Ocena wiarygodności propagandy rządu chińskiego
w obliczu wybuchu epidemii SARS, The Voice of America (08/04/2003),
http://pl.clearharmony.net/articles/200309/111.html.
[8] Wikipedia (2003), SARS, http://pl.wikipedia.org/wiki/SARS.
[9] NetworkPL.com © (2003), SARS z laboratorium
http://www.networkpl.com/modules.php?name=News&file=article&sid=4048.
[10] PAP (2003.12.19), SARS ma wielkie oczy, Super Express (19/12/2003).
[11] Telewizyjna Agencja Informacyjna TVP S.A. (2004-01-05), Chiny potwierdzajÄ…
SARS, http://ww2.tvp.pl/tvppl/127,2004010575129.strona.
[12] WHO (2003), Summary of probable SARS cases with onset of illness
http://www.who.int/csr/sars/country/table2003_09_23/en/.
[13] BMC Medical Genetics (2003), Association of HLA class I with SARS coronavirus
Infection, http://www.biomedcentral.com/1471-2350/4/9/abstract.
[14] Prof. dr hab. med. Wiesław Jędrychowski (1999), Epidemiologia-
wprowadzenie i metody badań, Wydawnictwo lekarskie PZWL, Warszawa 1999.
[15] Popularna Encyklopedia Powszechna (2000) Fogra Oficyna Wydawnicza.
[16] WHO (2003), Cumulative Number of Reported Probable Cases of Severe
Acute Respiratory Syndrome (SARS), http://www.who.int/csr/sars/country/en/.
[17] Albert - Laszlo Barabasi, Eric Bonabeau, Sieci bezskalowe, Åšwiat Nauki
(6/2003).
[18] Katarzyna Sznajd  Weron, W sieci małego świata, Wiedza i życie (2/2004).