PRAKTYCZNE TABLICE MATEMATYCZNE
PRAKTYCZNE TABLICE MATEMATYCZNE
PRAKTYCZNE TABLICE MATEMATYCZNE
PRAKTYCZNE TABLICE MATEMATYCZNE
MATURA PODSTAWOWA
MATURA PODSTAWOWA
MATURA PODSTAWOWA
MATURA PODSTAWOWA
PODSTAWY
PODSTAWY
PODSTAWY
PODSTAWY
Podstawowe cechy podzielności liczb
Podstawowe cechy podzielności liczb
Podstawowe cechy podzielności liczb
Podstawowe cechy podzielności liczb
Liczba jest podzielna przez 2, jeśli ostatnia z jej cyfr jest parzysta, czyli jest jedną z liczb: 2, 4, 6, 8, 0.
Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3. Przykład: 104628:
suma cyfr 1+0+4+6+2+8=21, 21: 3=7. Liczba 104628 jest podzielna przez 3.
Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez
4. Przykład: 104628 dzieli się przez 4, bo 28 dzieli się przez 4.
Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.
Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3.
Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9.
Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0.
Kolejność wykonywania działań arytmetycznych
Kolejność wykonywania działań arytmetycznych
Kolejność wykonywania działań arytmetycznych
Kolejność wykonywania działań arytmetycznych
Zaczynamy wykonując obliczenia od działań w takich nawiasach, które nie zawierają innych
nawiasów.
Z wszystkich działań najpierw wykonujemy potęgowanie i pierwiastkowanie.
Następnie wykonujemy mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania.
Na końcu wykonujemy dodawanie i odejmowanie.
Procenty
Procenty
Procenty
Procenty
1% = % ó ·
Procent składany:
Procent składany:
Procent składany:
Procent składany:
Jeżeli zakładamy lokatę wpłacając kwotę , a odsetki są doliczane razy ( okresów kapitalizacji),
przy czym oprocentowanie za okres kapitalizacji wynosi % , to po upływie okresów kapitalizacji
na koncie bÄ™dziemy mieli: · 1 +
Przykład:
Przykład: składamy 1000 zł na okres dwóch lat. Oprocentowanie w skali rocznej wynosi 4%, a
Przykład:
Przykład:
kapitalizacja odsetek jest kwartalna. Wobec tego oprocentowanie za okres kapitalizacji (za kwartał)
wynosi 1%. Okresów kapitalizacji jest 8 (8 kwartałów). Po upływie dwóch lat na koncie będziemy
mieli: 1000 · 1 +
Jeżeli uwzględniamy 20% podatek od odsetek bankowych, wzór jest następujący:
, ·
· 1 + , gdyż zostanie nam doliczone tylko 0,8 (80%) odsetek.
Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna
| |
| | = 0 | | = | | | · | = | | · | | = | + | | | + | |
| |
0
| | - odległość liczby od liczby 0 na osi liczbowej
-
-
-
| |
- odległość liczb i na osi liczbowej
Równania i nierówności z wartością bezwzględną:
Równania i nierówności z wartością bezwzględną:
Równania i nierówności z wartością bezwzględną:
Równania i nierówności z wartością bezwzględną:
| | ( )
Jeżeli 0 to = = =
| | ( )
Przykład: = 28 = 28 = 28
| | ( ) ( )
Jeżeli 0 to ,
| | ( ) ( )
Przykład: 28 28 28 28,28
| | ( ) ( ) ( )
Jeżeli 0 to ", , +"
| | ( ) ( ) ( )
Przykład: 28 28 28 ", 28 28, +"
Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia
( )
Kwadrat sumy: + = + 2 +
( )
Kwadrat różnicy: = 2 +
( )( )
Różnica kwadratów: = +
( )
Sześcian sumy: + = + 3 + 3 +
( )
Sześcian różnicy: = 3 + 3
( )( )
Suma sześcianów: + = + +
( )( )
Różnica sześcianów: = + +
( )
Kwadrat sumy trzech składników: + + = + + + 2 + 2 + 2
Przybliżenia
Przybliżenia
Przybliżenia
Przybliżenia
Jeżeli liczba jest przybliżeniem liczby , to
błąd przybliżenia: .
| |
błąd bezwzględny:
| |
błąd względny:
Wartości średnie
Wartości średnie
Wartości średnie
Wartości średnie
Åšrednia arytmetyczna n liczb , , , & , :
Åšrednia geometryczna n liczb nieujemnych , , , & , : · · · & ·
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
Sposoby zapisywania zdań złożonych
Sposoby zapisywania zdań złożonych
Sposoby zapisywania zdań złożonych
Sposoby zapisywania zdań złożonych
Koniunkcja zdań: " " lub " " lub " , " lub
Alternatywa zdań: " " lub " "
Implikacja zdań: " ż " lub " "
Równoważność zdań: " , " lub " "
Tabela wartości logicznych zdań złożonych
Tabela wartości logicznych zdań złożonych
Tabela wartości logicznych zdań złożonych
Tabela wartości logicznych zdań złożonych
~
1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 1
Prawa rachunku zdań
Prawa rachunku zdań
Prawa rachunku zdań
Prawa rachunku zdań
Prawa de Morgana
Prawa de Morgana
Prawa de Morgana
Prawa de Morgana
( ) ( )
~ (~ ~ ) oraz ~ (~ ~ )
Reguła odrywania: ( )
Reguła odrywania
Reguła odrywania
Reguła odrywania
Jeżeli prawdziwa jest implikacja oraz jej poprzednik p, to również następnik q jest prawdziwy.
Prawo to mówi, jak należy korzystać z twierdzeń:
- twierdzenie musi być prawdziwe (udowodnione),
- musi być prawdziwe (należy sprawdzić, czy są spełnione założenia twierdzenia),
- teraz dopiero można korzystać z tezy .
Prawo kontrapozycji: ~ ~p
Prawo kontrapozycji ( ) ( )
Prawo kontrapozycji
Prawo kontrapozycji
Prawo to mówi, że jeżeli jest prawdziwe twierdzenie , to jest również prawdziwa
kontrapozycja tego twierdzenia: ~T ~Z, np. twierdzenie Pitagorasa (w skrócie):
, Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to ( + = )  i jego kontrapozycja:
, Jeżeli ( + ), to trójkąt nie jest prostokątny .
Prawo podwójnego przeczenia: ~(~ ) p
Prawo podwójnego przeczenia
Prawo podwójnego przeczenia
Prawo podwójnego przeczenia
( )
Zaprzeczenie implikacji: (p ~q)
Zaprzeczenie implikacji: ~
Zaprzeczenie implikacji:
Zaprzeczenie implikacji:
( ) ( ) ( )
Podzbiory
Podzbiory
Podzbiory
Podzbiory
(zbiór A zawiera się w zbiorze B, lub inaczej: A jest podzbiorem zbioru B), jeżeli każdy element
zawiera siÄ™ jest podzbiorem
zawiera siÄ™ jest podzbiorem
zawiera siÄ™ jest podzbiorem
zbioru A należy do zbioru B.
, ( - zbiór pusty)
Działania na zbiorach
Działania na zbiorach
Działania na zbiorach
Działania na zbiorach
Suma (unia) zbiorów: = : x A x B
Suma
Suma
Suma
Iloczyn (część wspólna, przecięcie) zbiorów: = : x A x B
Iloczyn
Iloczyn
Iloczyn
Zbiory i są rozłączne
rozłączne
rozłączne, jeżeli =
rozłączne
Różnica zbiorów: = : x A x B . Często stosuje się też symbol: \
Różnica
Różnica
Różnica
Uzupełnienie (dopełnienie) zbioru do przestrzeni &!: = &! A
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
Zbiór liczb naturalnych: = 1,2,3,4, &
Zbiór liczb całkowitych: = 0,1, 1,2, 2,3, 3, &
Zbiór liczb wymiernych: = b N - jest to zbiór wszystkich liczb, które dadzą
się zapisać w postaci ułamka zwykłego
- jest to zbiór wszystkich liczb, które nie dadzą się zapisać w postaci ułamka zwykłego
Przedziały liczbowe
Przedziały liczbowe
Przedziały liczbowe
Przedziały liczbowe
Otwarte
Otwarte
Otwarte
Otwarte
( )
, =
( )
", =
( )
, " =
( )
", " =
Domknięte
Domknięte
Domknięte
Domknięte
, =

(
" , =
")
, =
Lewostronnie domknięte (prawostronnie otwarte)
Lewostronnie domknięte (prawostronnie otwarte)
Lewostronnie domknięte (prawostronnie otwarte)
Lewostronnie domknięte (prawostronnie otwarte)
, ) =
Lewostronnie otwarte (prawostronnie domknięte)
Lewostronnie otwarte (prawostronnie domknięte)
Lewostronnie otwarte (prawostronnie domknięte)
Lewostronnie otwarte (prawostronnie domknięte)
, =
(
FUNKCJE  OGÓLNE WA
ASNOÅšCI
FUNKCJE  OGÓLNE WA
ASNOÅšCI
FUNKCJE  OGÓLNE WA
ASNOÅšCI
FUNKCJE  OGÓLNE WA
ASNOÅšCI
Funkcja odwzorowująca zbiór w zbiór jest to przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru
dokładnie jednego elementu zbioru , co zapisujemy: :
Jeżeli elementowi jest przyporządkowany element , to możemy zapisać ten fakt na kilka sposobów:
: lub = ( ) lub = ( )
Funkcję ( ) nazywamy różnowartościową, jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne
różnowartościową
różnowartościową
różnowartościową
wartości (czyli żadna wartość nie jest przyjmowana więcej, niż jeden raz).
Jeżeli funkcja jest różnowartościowa, to każda prosta równoległa do osi OX ma co najwyżej jeden punkt
wspólny z wykresem funkcji.
Przekształcenia wykresu funkcji
Przekształcenia wykresu funkcji
Przekształcenia wykresu funkcji
Przekształcenia wykresu funkcji
Przekształcenie równania funkcji Przekształcenie wykresu funkcji
Przekształcenie równania funkcji Przekształcenie wykresu funkcji
Przekształcenie równania funkcji Przekształcenie wykresu funkcji
Przekształcenie równania funkcji Przekształcenie wykresu funkcji
( ) ( ) Przesunięcie wykresu funkcji ( ) o wektor = , 0
( ) ( ) Przesunięcie wykresu funkcji ( ) o wektor = 0,
+
( ) ( ) Przesunięcie wykresu funkcji ( ) o wektor = ,
+
( ) ( ) Symetria osiowa względem osi OX
( ) ( ) Symetria osiowa względem osi OY
( ) ( ) Symetria środkowa względem punktu (0,0)
Część wykresu leżącą pod osią OX odbijamy w symetrii
( ) | ( )|
względem osi OX; reszta wykresu pozostaje bez zmian
FUNKCJA LINIOWA. RÓWNANIA PROSTEJ.
FUNKCJA LINIOWA. RÓWNANIA PROSTEJ.
FUNKCJA LINIOWA. RÓWNANIA PROSTEJ.
FUNKCJA LINIOWA. RÓWNANIA PROSTEJ.
Funkcja liniowa: : = + , , gdzie i sÄ… dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Funkcja liniowa
Funkcja liniowa
Funkcja liniowa
Wykres funkcji liniowej:
Równanie = + nazywamy równaniem kierunkowym prostej.
Proste = + i = + sÄ…:
równoległe, gdy =
prostopadÅ‚e, gdy: · = 1
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty = ( , ) i = ( , ):
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty i :
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty i :
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty i :
( )
= ·
PrzykÅ‚ad: = 2,1 , = 6,3 . Prosta AB ma równanie: 1 = · 2
Przykład: ( ) ( ) ( )
Przykład:
Przykład:
Równanie ogólne prostej: + + = 0
Równanie ogólne prostej:
Równanie ogólne prostej:
Równanie ogólne prostej:
+ + = 0 = ,
Przydatne do wyznaczania równania prostej prostopadłej do wektora, odcinka.
Przykład: wyznaczyć równanie symetralnej odcinka AB, gdzie = 2,1 , = 6,3 .
Przykład ( ) ( )
Przykład
Przykład
= 6 2,3 1 = 4,2 . Symetralna odcinka AB jest prostopadła do wektora , czyli ma
równanie 4 + 2 + = 0. Teraz wystarczy wyznaczyć m wstawiając do otrzymanego równania
współrzędne punktu S (środek odcinka AB), który należy do symetralnej: = , .
Proste + + = 0 i + + = 0 sÄ…:
- prostopadłe, gdy + = 0
- równoległe, gdy = 0
Odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym:
Odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym:
Odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym:
Odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym:
| + + |
=
" +
Wzór przydatny w zadaniach o stycznej do okręgu, wyznaczaniu wysokości trójkąta.
Przykład: wyznaczyć długość wysokości trójkąta ABC, opuszczonej na bok AB, jeżeli: = 2,1 ,
Przykład ( )
Przykład
Przykład
( )
= 6,3 , = (10,2).
Po wykonaniu odpowiedniego rysunku widać, że długość wysokości opuszczonej na bok AB jest
równa odległości punktu C od prostej AB. Wyznaczamy równanie ogólne prostej AB: 2 = 0 i
| · |
liczymy wysokość trójkąta: = =
( ) "
Nierówność + spełniają wszystkie punkty leżące nad prostą o równaniu = + .
Nierówność + spełniają wszystkie punkty leżące pod prostą o równaniu = + .
FUNKCJA KWADRATOWA
FUNKCJA KWADRATOWA
FUNKCJA KWADRATOWA
FUNKCJA KWADRATOWA
Funkcja kwadratowa: = + + , , 0
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa
Wyróżnik trójmianu kwadratowego: "= 4
Wyróżnik
Wyróżnik
Wyróżnik
Funkcję kwadratową można zapisać w postaciach:
1. Postać ogólna: = + +
Postać ogólna
Postać ogólna
Postać ogólna
"
2. Postać kanoniczna: = + , gdzie = , = oraz = ( , ) jest
Postać kanoniczna ( )
Postać kanoniczna
Postać kanoniczna
wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji.
3. Postać iloczynowa:
Postać iloczynowa
Postać iloczynowa
Postać iloczynowa
"" ""
( )
Jeżeli " 0 to = ( ), gdzie = i =
( )
Jeżeli "= 0, to = , gdzie =
Jeżeli " 0 , to trójmian kwadratowy nie da się zapisać w postaci iloczynowej
WIELOMIANY
WIELOMIANY
WIELOMIANY
WIELOMIANY
Wielomian stopnia n jednej zmiennej: = + + + + , 0
Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.
Twierdzenie Bezout: Liczba jest pierwiastkiem wielomianu ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
Twierdzenie Bezout
Twierdzenie Bezout
Twierdzenie Bezout
( ) jest podzielny przez dwumian ( ).
Każdy wielomian da się zapisać w postaci iloczynu czynników, które są wielomianami stopnia co
najwyżej drugiego.
Twierdzenie o reszcie: Reszta z dzielenia wielomianu ( ) przez dwumian ( ) wynosi ( ).
Twierdzenie o reszcie
Twierdzenie o reszcie
Twierdzenie o reszcie
LiczbÄ™ nazywamy pierwiastkiem k-krotnym
pierwiastkiem k-krotnym wielomianu ( ), jeżeli ( ) dzieli się przez ( ) , a
pierwiastkiem k-krotnym
pierwiastkiem k-krotnym
nie dzieli siÄ™ przez ( ) .
Wykres wielomianu
Wykres wielomianu
Wykres wielomianu
Wykres wielomianu
( ) ( )( )
1. Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej, np. 3 + 1 1 + + 4
2. Wyznaczamy pierwiastki: tutaj sÄ… to liczby 0 , 1 , 1
3. Sprawdzamy, jaki jest znak przy najwyższej potędze wielomianu: tutaj jest minus
4.
5. Pamiętamy, że dla pierwiastków wielokrotnych o krotności parzystej wykres jest styczny do
osi: tutaj dla liczby 0 (liczba 0 jest tu pierwiastkiem podwójnym  krotność 2)
FUNKCJE WYMIERNE
FUNKCJE WYMIERNE
FUNKCJE WYMIERNE
FUNKCJE WYMIERNE
( )
Funkcja wymierna: = , gdzie ( ) i ( ) sÄ… wielomianami i ( )
Funkcja wymierna:
Funkcja wymierna:
Funkcja wymierna:
( )
Szczególny rodzaj funkcji wymiernej to funkcja homograficzna: = , gdzie 0.
homograficzna
homograficzna
homograficzna
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
( )
Przykład: = = = + 3
Rysujemy wykres funkcji = i przesuwamy go o wektor = 2,3 . Otrzymujemy w ten sposób
( )
wykres funkcji = . Jest to praktyczne wykorzystanie własności:  Wykres funkcji +
otrzymujemy z wykresu funkcji ( ) przesuwajÄ…c go o wektor = ,  .
CI
GI LICZBOWE
CI
GI LICZBOWE
CI
GI LICZBOWE
CI
GI LICZBOWE
ELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI
CiÄ…g liczbowy jest to funkcja:
CiÄ…g liczbowy
CiÄ…g liczbowy
CiÄ…g liczbowy
: - ciąg nieskończony
: 1,2,3, & , - ciąg skończony, k-wyrazowy
CiÄ…gi monotoniczne:
CiÄ…gi monotoniczne
CiÄ…gi monotoniczne
CiÄ…gi monotoniczne
RosnÄ…cy: 0 dla wszystkich
MalejÄ…cy: 0 dla wszystkich
Stały: = 0 dla wszystkich
CiÄ…g arytmetyczny
CiÄ…g arytmetyczny
CiÄ…g arytmetyczny
CiÄ…g arytmetyczny
Ciąg ( ) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli dla każdego zachodzi:
= = , - różnica ciągu
( )
Wzór na n-ty wyraz ciÄ…gu: = + 1 ·
Własność trzech kolejnych wyrazów ciągu: =
( )·
Suma n poczÄ…tkowych wyrazów: = · = ·
CiÄ…g geometryczny
CiÄ…g geometryczny
CiÄ…g geometryczny
CiÄ…g geometryczny
Ciąg ( ) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli dla każdego zachodzi:
= = , - iloraz ciÄ…gu
Wzór na n-ty wyraz ciÄ…gu: = ·
WÅ‚asność trzech kolejnych wyrazów ciÄ…gu: = ·
ż = 1, = ·

Suma n początkowych wyrazów:
ż 1, = ·
Elementy kombinatoryki
Elementy kombinatoryki
Elementy kombinatoryki
Elementy kombinatoryki
Permutacja zbioru n elementowego jest to każdy ciąg n-wyrazowy, utworzony ze wszystkich
Permutacja
Permutacja
Permutacja
elementów tego zbioru.
Liczba permutacji zbioru n elementowego wynosi: = !, gdzie symbol ! definiujemy:
0! = 1
1! = 1
! = 1 · 2 · 3 · & · , 2,3,4, &
Symbol Newtona:
Symbol Newtona:
Symbol Newtona:
Symbol Newtona:
!
= , gdzie , 0 ,
( )
!· !
czytamy  n nad k lub  n po k
Kombinacja k elementów spośród n elementów jest to każdy k-elementowy podzbiór n-
Kombinacja
Kombinacja
Kombinacja
elementowego zbioru, gdzie 0,1,2, & ,
Liczba kombinacji k elementów spośród n elementów wynosi =
k-wyrazowa wariacja bez powtórzeń spośród n elementów ( ) jest to każdy k-wyrazowy
wariacja bez powtórzeń
wariacja bez powtórzeń
wariacja bez powtórzeń
ciąg utworzony z różnych elementów zbioru n-elementowego.
!
Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń spośród n elementów wynosi = ,
( )
!
k-wyrazowa wariacja z powtórzeniami spośród n elementów jest to każdy k-wyrazowy ciąg
wariacja z powtórzeniami
wariacja z powtórzeniami
wariacja z powtórzeniami
elementów zbioru n-elementowego.
Liczba k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami spośród n elementów wynosi =
POT
GI
POT
GI
POT
GI
POT
GI
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym: = , , 0
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym:
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym:
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym:
( ) ( )
Przykład: 6 = =
Przykład:
Przykład:
Przykład:
Potęga o wykładniku wymiernym: = , 0 , "
Potęga o wykładniku wymiernym:
Potęga o wykładniku wymiernym: )
Potęga o wykładniku wymiernym: "
Przykład: = "8 = =
Przykład: 8
Przykład:
Przykład:
Działania na potęgach:
Działania na potęgach:
Działania na potęgach:
Działania na potęgach:
· = = · = · = =
( ) ( ) ·
Działania na pierwiastkach:
Działania na pierwiastkach:
Działania na pierwiastkach:
Działania na pierwiastkach:
"
·
· = = = =
" " " " "
" "
"
Funkcja potęgowa: = ,
Funkcja potęgowa:
Funkcja potęgowa:
Funkcja potęgowa:
Przypadki szczególne:
Funkcje typu: = , 2,4,6,8, &
 Funkcje typu: = , 3,5,7, &
Funkcje typu: = , 1,3,5,7, &
Funkcje typu: = , 2,4,6, &
Funkcje typu: = , 2,3,4, &
PLANIMETRIA  GEOMETRIA PA
ASZCZYZNY
PLANIMETRIA  GEOMETRIA PA
ASZCZYZNY
PLANIMETRIA  GEOMETRIA PA
ASZCZYZNY
PLANIMETRIA  GEOMETRIA PA
ASZCZYZNY
Pęk prostych
Pęk prostych jest to zbiór wszystkich prostych przechodzących przez dany punkt.
Pęk prostych
Pęk prostych
Kierunek
Kierunek jest to zbiór wszystkich prostych równoległych do danej prostej.
Kierunek
Kierunek
Okrąg o środku i promieniu , jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których
OkrÄ…g ( )
OkrÄ…g
OkrÄ…g
odległość od punktu jest równa .
Koło ( )
Koło o środku i promieniu , jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których
Koło
Koło
odległość od punktu jest mniejsza lub równa .
Figura ograniczona
Figura ograniczona jest to figura geometryczna, która zawiera się w pewnym kole.
Figura ograniczona
Figura ograniczona
Symetralna odcinka
Symetralna odcinka jest to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.
Symetralna odcinka
Symetralna odcinka
Każdy punkt symetralnej odcinka jest równoodległy od obydwu końców tego odcinka.
Dwusieczna kÄ…ta
Dwusieczna kąta jest to półprosta, która dzieli kąt na dwa przystające kąty.
Dwusieczna kÄ…ta
Dwusieczna kÄ…ta
Każdy punkt dwusiecznej kąta jest równoodległy od obydwu ramion kąta.
Figura wypukła
Figura wypukła jest to taka figura geometryczna, że każdy odcinek, którego końce należą do tej figury,
Figura wypukła
Figura wypukła
zawiera siÄ™ w tej figurze.
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa
Jeżeli to:
= = =
+ +
Przekształcenia geometryczne na płaszczyz
nie
Przekształcenia geometryczne na płaszczyz
nie
Przekształcenia geometryczne na płaszczyz
nie
Przekształcenia geometryczne na płaszczyz
nie
Punkt stały przekształcenia ( )
Punkt stały przekształcenia  punkt, który jest swoim obrazem, czyli = .
Punkt stały przekształcenia
Punkt stały przekształcenia
Niezmiennik przekształcenia
Niezmiennik przekształcenia  własność, która po przekształceniu zostaje zachowana, przykładowo
Niezmiennik przekształcenia
Niezmiennik przekształcenia
obrazem dwóch prostych równoległych w jednokładności są dwie proste równoległe, czyli
równoległość prostych jest niezmiennikiem jednokładności.
Przekształcenie izometryczne (izometria)  takie przekształcenie geometryczne, którego
Przekształcenie izometryczne (izometria)
Przekształcenie izometryczne (izometria)
Przekształcenie izometryczne (izometria)
niezmiennikiem jest odległość punktów (zachowuje odległość punktów):
Przykłady izometrycznych przekształceń płaszczyzny:
Symetria osiowa (względem prostej)
Symetria środkowa (względem punktu)
Translacja (przesunięcie o wektor)
Dwie figury geometryczne nazywamy przystającymi, jeżeli istnieje izometria przekształcająca jedną na
przystajÄ…cymi
przystajÄ…cymi
przystajÄ…cymi
drugÄ….
Przykładem przekształcenia nieizometrycznego jest jednokładność.
Jednokładność
Jednokładność o środku i skali 0 jest to przekształcenie płaszczyzny określone następująco:
Jednokładność
Jednokładność
: = ·
Przypadki szczególne:
jest przekształceniem tożsamościowym (każdy punkt jest swoim obrazem)
jest symetrią względem punktu .
Podobieństwo o skali 0 jest to takie przekształcenie P płaszczyzny, że:
Podobieństwo
Podobieństwo
Podobieństwo
( ) | | | |
: = ·
Stosunek obwodów figur podobnych w skali k jest równy k
Stosunek pól figur podobnych w skali k jest równy
Stosunek objętości figur podobnych w skali k jest równy
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Okręgi ( , ) i ( , ), są:
| |
Wzajemnie zewnętrzne, gdy +
| |
Zewnętrznie styczne, gdy = +
| |
PrzecinajÄ… siÄ™, gdy +
| |
Wewnętrznie styczne, gdy =
( ) | |
OkrÄ…g , zawiera siÄ™ w kole ( , ), gdy
Trójkąt
Trójkąt
Trójkąt
Trójkąt
Suma miar kątów trójkąta wynosi 180
Kąt zewnętrzny trójkąta:
Miara kąta zewnętrznego jest równa sumie miar dwóch kątów wewnętrznych do niego
nieprzyległych: = +
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:
Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta:
Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta:
Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta:
Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta:
=
Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta.
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie można obliczyć za pomocą wzoru:
= , gdzie a, b, c  długości boków trójkąta, - pole trójkąta
Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt można obliczyć za pomocą wzoru:
= , gdzie - pole trójkąta,  połowa obwodu trójkąta
Twierdzenie o środkowych trójkąta:
Twierdzenie o środkowych trójkąta:
Twierdzenie o środkowych trójkąta:
Twierdzenie o środkowych trójkąta:
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie
zwanym środkiem ciężkości trójkąta i dzielą się w
stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i jest równy jego
połowie.
1
=
| | | |
2
Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli
przeciwprostokątną na dwie części, których iloczyn jest równy kwadratowi wysokości.
= ·
CzworokÄ…ty
CzworokÄ…ty
CzworokÄ…ty
CzworokÄ…ty
Suma miar kątów czworokąta wynosi 360 .
Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jest równy połowie ich sumy.
+
=
2
Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy.
PrzekÄ…tne rombu:
dzielą się na połowy
przecinajÄ… siÄ™ pod kÄ…tem prostym
dzielą kąty na połowy
Czworokąt można wpisać w okrąg , jeżeli sumy miar kątów przeciwległych
wynoszÄ… 180 .
+ = 180
Czworokąt można opisać na okręgu, jeżeli sumy długości przeciwległych boków czwokąta są równe.
+ = +
WielokÄ…ty
WielokÄ…ty
WielokÄ…ty
WielokÄ…ty
( )
Suma miar kÄ…tów wielokÄ…ta wypukÅ‚ego wynosi 2 · 180 .
( )
·
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego wynosi .
Odcinki, proste, kÄ…ty, okrÄ…g
Odcinki, proste, kÄ…ty, okrÄ…g
Odcinki, proste, kÄ…ty, okrÄ…g
Odcinki, proste, kÄ…ty, okrÄ…g
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego z punktu styczności:
Wszystkie kąty wpisane w okrąg i oparte na tym samym łuku okręgu są równe i każdy z nich jest równy
połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
Kąt wpisany w okrąg i oparty na średnicy jest prosty, czyli środek okręgu opisanego na trójkącie
prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej.
Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu:
| | | |
=
Wzory na pola figur
Wzory na pola figur
Wzory na pola figur
Wzory na pola figur
1. Kwadrat
1. Kwadrat
1. Kwadrat
1. Kwadrat
= =
2
2. Równoległobok
2. Równoległobok
2. Równoległobok
2. Równoległobok
= = sin
3. Trójkąt
3. Trójkąt
3. Trójkąt
3. Trójkąt
( )( )
= = sin = ( )
( )
gdzie = + +
" "
4. Trójkąt równoboczny: = , = , gdzie - długość boku, - wysokość trójkąta
4. Trójkąt równoboczny:
4. Trójkąt równoboczny:
4. Trójkąt równoboczny:
5. Romb
5. Romb
5. Romb
5. Romb
= lub
= sin
( )
2 (2 )
=
2
6. Deltoid
6. Deltoid
6. Deltoid
6. Deltoid
( )
2 ( + )
=
2
7. Trapez
7. Trapez
7. Trapez
7. Trapez
+
= ·
2
8. Koło o promieniu r.
8. Koło o promieniu r.
8. Koło o promieniu r.
8. Koło o promieniu r.
Pole koła: = , Obwód koła (długość okręgu): = 2
9. Wycinek koła
9. Wycinek koła
9. Wycinek koła
9. Wycinek koła
= ·
360
10. Pole czworokąta wypukłego
10. Pole czworokąta wypukłego
10. Pole czworokąta wypukłego
10. Pole czworokąta wypukłego
( ) ( )
+ · +
= ·
2
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE K
TA SKIEROWANEGO
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE K
TA SKIEROWANEGO
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE K
TA SKIEROWANEGO
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE K
TA SKIEROWANEGO
P jest dowolnie wybranym punktem na drugim ramieniu kÄ…ta.
sin = , cos = , tg = , ctg =
Związki między funkcjami trygonometrycznymi
Związki między funkcjami trygonometrycznymi
Związki między funkcjami trygonometrycznymi
Związki między funkcjami trygonometrycznymi
tego samego kÄ…ta
tego samego kÄ…ta
tego samego kÄ…ta
tego samego kÄ…ta
+ = 1
sin
=
cos
cos
=
sin
· = 1
Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
= + +
= sin sin sin cos cos
= cos cos cos sin sin
= tg tg tg ctg ctg
= ctg ctg ctg tg tg
STEREOMETRIA - GEOMETRIA PRZESTRZENI
STEREOMETRIA - GEOMETRIA PRZESTRZENI
STEREOMETRIA - GEOMETRIA PRZESTRZENI
STEREOMETRIA - GEOMETRIA PRZESTRZENI
Kula o środku S i promieniu r (symbol: ( , )) jest to zbiór punktów przestrzeni, których odległość
od punktu S jest mniejsza lub równa r.
Sfera  powierzchnia kuli, czyli zbiór punktów przestrzeni, których odległość od punktu S jest równa r.
Miara kąta dwuściennego
Miara kąta dwuściennego jest to miara kąta płaskiego otrzymanego przez
przecięcie kąta dwuściennego płaszczyzną prostopadłą do jego krawędzi.
Prosta prostopadła do płaszczyzny
Jeżeli prosta jest prostopadła do dwu przecinających się prostych, to
jest prostopadła do płaszczyzny wyznacznej przez te proste.
Kąt prostej z płaszczyzną
Kąt prostej z płaszczyzną
Kąt prostej z płaszczyzną
Kąt prostej z płaszczyzną
Kąt prostej z płaszczyzną w przypadku, gdy prosta nie jest do
płaszczyzny ani równoległa, ani prostopadła jest to kąt między daną
prostą, a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.
Rodzaje brył
Rodzaje brył
Rodzaje brył
Rodzaje brył
1. Graniastosłupy
1. Graniastosłupy
1. Graniastosłupy
1. Graniastosłupy
Graniastosłup jest prosty, jeżeli jego krawędzie boczne są prostopadłe do jego podstaw.
prosty
prosty
prosty
Graniastosłup jest prawidłowy,
prawidłowy,
prawidłowy, jeżeli:
prawidłowy,
a) jego krawędzie boczne są prostopadłe do jego podstaw
b) jego podstawy sÄ… wielokÄ…tami foremnymi
Szczególne graniastosłupy:
a) Równoległościan  graniastosłup, którego wszystkie ściany są równoległobokami
b) Prostopadłościan  graniastosłup prosty, którego podstawa jest prostokątem
c) Sześcian  prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe
2. Ostrosłupy
2. Ostrosłupy
2. Ostrosłupy
2. Ostrosłupy
Ostrosłup jest prawidłowy, jeżeli podstawa jest wielokątem foremnym i jego wysokość
prawidłowy
prawidłowy
prawidłowy
pada na środek podstawy (dokladnie  pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na
podstawie)
Jeżeli ostrosłup spełnia jeden z poniższych warunków, to spełnia wszystkie trzy:
a) Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równej długości
b) Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa tworzą równe kąty z płaszczyzną postawy
c) Na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg, którego środkiem jest spodek wysokości
ostrosłupa
3. Najprostsze wielościany foremne (wszystkie ściany są wielokątami foremnymi)
wielościany foremne
wielościany foremne
wielościany foremne
Czworościan foremny
Sześcian
Ośmiościan foremny
4. Bryły obrotowe
Walec
Stożek
 Kula
Kula
Kula
Kula
Pola powierzchni i objętości brył
Pola powierzchni i objętości brył
Pola powierzchni i objętości brył
Pola powierzchni i objętości brył
1. Graniastosłup
= · , gdzie - pole podstawy, - wysokość graniastosÅ‚upa
2. Prostopadłościan
= , gdzie , , - długości krawędzi prostopadłościanu
3. Sześcian
= , gdzie - długość krawędzi sześcianu
4. Ostrosłup
= · , gdzie - pole podstawy, - wysokość ostrosÅ‚upa
5. Ostrosłup ścięty
1
= · + · +
3
gdzie , - pola podstaw
6. Walec
= - gdzie - pole podstawy, - wysokość walca
Pole powierzchni całkowitej:
= 2 + 2 , gdzie 2 - suma pól podstaw, 2 - pole powierzchni bocznej walca
7. Stożek
= , gdzie - pole podstawy, - wysokość stożka
Pole powierzchni całkowitej:
= + , gdzie - pole podstawy, - pole powierzchni bocznej stożka, - długość
tworzącej stożka
8. Kula
= , = 4
9. Stożek ścięty
( )
= · + + , gdzie ,  dÅ‚ugoÅ›ci promieni podstaw
Pole powierzchni bocznej:
( )
= + · , gdzie - dÅ‚ugość tworzÄ…cej stożka Å›ciÄ™tego
GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PA
ASZCZYy
NIE
GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PA
ASZCZYy
NIE
GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PA
ASZCZYy
NIE
GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PA
ASZCZYy
NIE
( ) ( )
Współrzędne wektora , gdzie = , , = , : = ,
Suma wektorów i iloczyn wektora przez liczbę:
= , , = , ,
+ = + , + , · = · , ·
Długość wektora:
( ) ( )
Jeżeli = , , to = +
| |
Jeżeli = , , to = +
( ) ( )
Współrzędne środka odcinka AB, gdzie = , , = , : = ,
Zapis analityczny przekształceń geometrycznych
Zapis analityczny przekształceń geometrycznych
Zapis analityczny przekształceń geometrycznych
Zapis analityczny przekształceń geometrycznych
=
Symetria względem osi OX: =
=
Symetria względem osi OY:
=
=
Symetria względem punktu (0,0) : =
= +
Translacja (przesunięcie) o wektor = , : = +
=
Jednokładność o środku (0,0) i skali 0 : =
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA
Doświadczenie losowe
Doświadczenie losowe  takie doświadczenie, które można powtarzać wielokrotnie w jednakowych
Doświadczenie losowe
Doświadczenie losowe
warunkach i którego wyniku nie można przewidzieć.
Zdarzenie elementarne
Zdarzenie elementarne  pojęcie pierwotne (nie definiuje się go). Można sobie wyobrażać, że jest jeden z
Zdarzenie elementarne
Zdarzenie elementarne
możliwych wyników doświadczenia losowego.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (oznaczamy ją &!).
Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Zdarzenie
Zdarzenie  każdy podzbiór zbioru &!. Jeżeli , to mówimy, ze zdarzenie elementarne sprzyja
Zdarzenie
Zdarzenie
zdarzeniu A.
Zdarzenie pewne
Zdarzenie pewne jest to zbiór &!.
Zdarzenie pewne
Zdarzenie pewne
Zdarzenie niemożliwe
Zdarzenie niemożliwe jest to zbiór pusty.
Zdarzenie niemożliwe
Zdarzenie niemożliwe
Zdarzenie przeciwne
Zdarzenie przeciwne do zdarzenia jest to zdarzenie = .
Zdarzenie przeciwne
Zdarzenie przeciwne
Suma, różnica i iloczyn zdarzeń są to odpowiednio zdarzenia , , (zdarzenia
są zbiorami, więc wykonujemy na nich takie same działania, jak na innych zbiorach).
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech &! będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem nazywamy
funkcję, która każdemu zdarzeniu ( &!) przyporządkowuje liczbę ( ) spełniającą warunki
(aksjomaty):
( ) 0
( )
&! = 1
( ) ( )
Jeżeli = to = + ( )
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech &! będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, w którym wszystkie zdarzenia
elementarne sÄ… jednakowo prawdopodobne.
Prawdopodobieństwem zdarzenia ( &!) nazywamy liczbę:

Å„ Ä…
( ) = =
Å„
&!
- moc zbioru A (liczba jego elementów)
Własności prawdopodobieństwa
Własności prawdopodobieństwa
Własności prawdopodobieństwa
Własności prawdopodobieństwa
( ) ( ) ( ) ( )
( ) = 0 = 1 ( ) = + ( ) ( ) ( )
Drzewo stochastyczne
Drzewo stochastyczne
Drzewo stochastyczne
Drzewo stochastyczne
Drzewo stochastyczne jest to graf przedstawiający przebieg wieloetapowego doświadczenia losowego.
Wierzchołkom drzewa są przyporządkowane wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a
krawędziom  prawdopodobieństwa uzyskania tych
wyników.
Suma prawdopodobieństw przyporządkowanym
krawędziom wychodzącym z tego samego wierzchołka jest
równa 1.
Obliczanie prawdopodobieństw za pomocą drzewa na
przykładzie:
W urnie I jest 6 kul białych i 4 czarne, a w urnie II  5 kul
białych i 5 czarnych. Losowo wybieramy urnę, a następnie
z wybranej urny losujemy jednÄ… kulÄ™. Oblicz
prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej liczymy  idąc po gałęziach drzewa zaznaczonych na
czerwono:
1 6 1 5 11
( ) = · + · =
2 10 2 10 20
STATYSTYKA
STATYSTYKA
STATYSTYKA
STATYSTYKA
Statystyka jest naukÄ… zajmujÄ…cÄ… siÄ™ badaniem masowych zjawisk.
Badanie statystyczne polega na ocenie zjawiska, przykładowo preferencje polityczne uczniów klas
trzecich szkół ponadgimnazjalnych mogą być badane pod kątem wyboru opcji politycznej: lewicowej,
prawicowej czy centrowej.
Uczniów klas trzecich szkół ponadgimnazjalnych jest setki tysięcy. Zadanie pytania o preferencje polityczne
takiej liczbie osób jest wykonalne, ale bardzo kosztowne.
Wobec tego bada się tylko pewną ilość osób z  populacji uczniów. A
atwo domyślić się, że badanie takie
jest tym dokładniejsze (tzn. wyniki są bardziej zbliżone do stanu faktycznego), im :
"  próba , czyli zbiór badanych uczniów jest liczniejszy,
" lepszy jest wybór osób, tzn. gdy wybrana reprezentacja odpowiada rzeczywistości, czyli
wybrano proporcjonalną liczbę uczniów dużych, średnich, małych miast, wsi, dziewcząt i
chłopców, z rodzin inteligenckich, robotniczych,...itd.
Można powiedzieć tak: zadaniem statystyka jest dobranie takiej próby, by prawdopodobieństwo
znaczącej różnicy między otrzymanym wynikiem badania, a rzeczywistością było jak najmniejsze.
Średnia z próby (średnia arytmetyczna)
Średnia z próby (średnia arytmetyczna)
Średnia z próby (średnia arytmetyczna)
Średnia z próby (średnia arytmetyczna)
Średnią z próby , , , & , nazywamy liczbę: =
Średnią z próby :
Średnią z próby :
Średnią z próby :
Mediana z próby
Mediana z próby
Mediana z próby
Mediana z próby
Mediana
Mediana z próby jest to środkowy wyraz z uporządkowanego niemalejąco ciągu wyników.
Mediana
Mediana
Gdyby np. ciąg wyników był siedmiowyrazowy: 1,1,2,3,6,8,10, to środkowym wyrazem jest liczba 3.
Jeśli zaś ciąg wyników ma parzystą liczbę wyrazów, np. 1,5,9,10, to mediana jest średnią arytmetyczną
wyrazów środkowych, czyli = 7.
Dominanta
Dominanta
Dominanta
Dominanta
Dominanta
Dominanta jest to najczęstszy wynik występujący w próbie. Dominant może być wiele.
Dominanta
Dominanta
Jeżeli wszystkie wyniki występują jednakowo często  przyjmujemy, że dominanty nie ma.
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe można obliczyć na dwa sposoby:
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe
1. Wzór wrażliwy na przybliżenia i zazwyczaj bardziej pracochłonny:
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + +
=
2. Zazwyczaj obliczenia za pomoca tego wzoru sÄ… prostsze:
+ + + +
= ( )

Wariancja
Wariancja
Wariancja
Wariancja
Wariancja z próby jest to kwadrat odchylenia standardowego .
Wariancja
Wariancja
Wariancja
Średnia ważona
Średnia ważona
Średnia ważona
Średnia ważona
Średnią ważoną liczb , , , & , , które mają przypisane wagi odpowiednio , , , & , liczymy
Średnią ważoną liczb
Średnią ważoną liczb
Średnią ważoną liczb
według wzoru:
· + · + · + + ·
=
+ + + +