Rozwiązywanie Ax=0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk
17 grudnia 2012
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 1 / 35
Zakres zagadnień
Rozwiązywanie Ax=0
Rozwiązywanie Ux=0 (Ax=0)
Rozwiązania specjalne
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Rozwiązywanie Rx=0 (Ax=0)
Zmienne osiowe
Zadania
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 2 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Celem rozwiązywania równania Ax=0 jest poznanie przestrzeni zerowej
macierzy A oraz znalezienie rzędu macierzy.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 3 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Celem rozwiązywania równania Ax=0 jest poznanie przestrzeni zerowej
macierzy A oraz znalezienie rzędu macierzy. Mamy przykładową macierz A:
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
A = 2 4 6 8
�ł �ł
3 6 8 10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 3 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Celem rozwiązywania równania Ax=0 jest poznanie przestrzeni zerowej
macierzy A oraz znalezienie rzędu macierzy. Mamy przykładową macierz A:
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
A = 2 4 6 8
�ł �ł
3 6 8 10
Zauważmy, że druga kolumna jest wielokrotnością pierwszej, więc nie jest
niezależna.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
A = 2 4 6 8
�ł �ł
3 6 8 10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 3 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Zauważmy też, że pierwszy wiersz dodać drugi daje nam wiersz trzeci.
Więc trzeci wiersz też nie jest niezależny.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
A = 2 4 6 8
�ł �ł
3 6 8 10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 4 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Zauważmy też, że pierwszy wiersz dodać drugi daje nam wiersz trzeci.
Więc trzeci wiersz też nie jest niezależny.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
A = 2 4 6 8
�ł �ł
3 6 8 10
Przeprowadz
my eliminację Gaussa. Zauważmy, że naszym pierwszym
elementem osiowym jest 1.
�ł łł �ł łł
1 2 2 2 1 2 2 2
�ł śł �ł śł
A = 2 4 6 8 - 0 0 2 4
�ł �ł �ł �ł
3 6 8 10 0 0 2 4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 4 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Patrzymy na tą wytłuszczoną pozycje.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
0 0 2 4
�ł �ł
0 0 2 4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 5 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Patrzymy na tą wytłuszczoną pozycje.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
0 0 2 4
�ł �ł
0 0 2 4
Na tej pozycji mamy zero. Mamy też zero poniżej, więc nie możemy
przeprowadzić zamiany wierszy. Dlatego ta kolumna musi być kombinacją
innych kolumn.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 5 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadz
my dalszą eliminację.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
0 0 2 4
�ł �ł
0 0 2 4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadz
my dalszą eliminację.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
0 0 2 4 -
�ł �ł
0 0 2 4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadz
my dalszą eliminację.
�ł łł �ł łł
1 2 2 2 1 2 2 2
�ł śł �ł śł
0 0 2 4 - 0 0 2 4
�ł �ł �ł �ł
0 0 2 4 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadz
my dalszą eliminację.
�ł łł �ł łł
1 2 2 2 1 2 2 2
�ł śł �ł śł
0 0 2 4 - 0 0 2 4 = U
�ł �ł �ł �ł
0 0 2 4 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 6 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Nasz następny element osiowy znajduje się w trzeciej kolumnie.
Przeprowadz
my dalszą eliminację.
�ł łł �ł łł
1 2 2 2 1 2 2 2
�ł śł �ł śł
0 0 2 4 - 0 0 2 4 = U
�ł �ł �ł �ł
0 0 2 4 0 0 0 0
Jest to nasza macierz dolnotrójkątna czyli macierz U. Jest to macierz w
postaci schodkowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 6 / 35
Schodkowa postać macierzy
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 7 / 35
Schodkowa postać macierzy
Schodkowa postać macierzy
Macierz schodkowa - macierz, której pierwsze niezerowe
elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w
coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe
umieszcza się jako ostatnie. Każda macierz może zostać
przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji
elementarnych, w szczególności metody Gaussa.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 7 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Następną rzeczą którą zauważamy jest to, że w naszej macierzy są 2
elementy osiowe. Mówi nam to, że rząd macierzy jest równy 2.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 8 / 35
Rozwiązywanie Ax=0
Następną rzeczą którą zauważamy jest to, że w naszej macierzy są 2
elementy osiowe. Mówi nam to, że rząd macierzy jest równy 2.
Jednakże pamiętajmy, że naszym celem było rozwiązanie Ax=0. Po
przeprowadzeniu eliminacji, możemy zabrać się za rozwiązywanie Ux=0.
Mamy tą samą przestrzeń zerową, te same rozwiązania.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 8 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Wykonajmy podstawianie wstecz. W naszej macierzy mamy dwie kolumny
z elementami osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 9 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Wykonajmy podstawianie wstecz. W naszej macierzy mamy dwie kolumny
z elementami osiowymi.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
0 0 2 4
�ł �ł
0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 9 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Wykonajmy podstawianie wstecz. W naszej macierzy mamy dwie kolumny
z elementami osiowymi.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
0 0 2 4
�ł �ł
0 0 0 0
Oraz dwie kolumny swobodne.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
0 0 2 4
�ł �ł
0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 9 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Trzeba przyporządkować dowolne numery kolumnom x2 i x4.
Przyporządkowujemy numer 1 kolumnie drugiej i numer 0 kolumnie
czwartej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 10 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Trzeba przyporządkować dowolne numery kolumnom x2 i x4.
Przyporządkowujemy numer 1 kolumnie drugiej i numer 0 kolumnie
czwartej.
�ł łł
�ł śł
1
�ł śł
x = �ł śł
�ł �ł
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 10 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Zapiszmy równania dla naszej macierzy. Naszym pierwszym rówaniem jest:
x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 11 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Zapiszmy równania dla naszej macierzy. Naszym pierwszym rówaniem jest:
x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0
Drugie równanie:
2x3 + 4x4 = 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 11 / 35
Rozwiązywanie Ux=0
Zapiszmy równania dla naszej macierzy. Naszym pierwszym rówaniem jest:
x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0
Drugie równanie:
2x3 + 4x4 = 0
Teraz możemy znalez
ć x1 i x3 przez podstawianie wstecz.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 11 / 35
Rozwiązania specjalne
Wykonajmy podstawianie wstecz.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 12 / 35
Rozwiązania specjalne
Wykonajmy podstawianie wstecz. Otrzymujemy taki wektor:
�ł łł
-2
�ł śł
1
�ł śł
x = �ł śł
�ł 0 �ł
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 12 / 35
Rozwiązania specjalne
Znajdz
my więcej wektorów w przestrzeni zerowej.
Możemy pomnożyć nasz wektor przez jakąkolwiek liczbę. Nie opisuje nam
to jednak całej przestrzeni zerowej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 13 / 35
Rozwiązania specjalne
Znajdz
my więcej wektorów w przestrzeni zerowej.
Możemy pomnożyć nasz wektor przez jakąkolwiek liczbę. Nie opisuje nam
to jednak całej przestrzeni zerowej.
Wrócmy do przyporządkowywania liczb kolumnom i podstawmy 0 za x2
oraz 1 za x4.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 13 / 35
Rozwiązania specjalne
Znajdz
my więcej wektorów w przestrzeni zerowej.
Możemy pomnożyć nasz wektor przez jakąkolwiek liczbę. Nie opisuje nam
to jednak całej przestrzeni zerowej.
Wrócmy do przyporządkowywania liczb kolumnom i podstawmy 0 za x2
oraz 1 za x4.
�ł łł
�ł śł
0
�ł śł
x1 = �ł śł
�ł �ł
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 13 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 14 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
�ł łł
2
�ł śł
0
�ł śł
x = �ł śł
�ł -2 �ł
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 14 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
�ł łł
2
�ł śł
0
�ł śł
x = �ł śł
�ł -2 �ł
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 14 / 35
Rozwiązania specjalne
Za pomocą równań, których użyliśmy wcześniej możemy obliczyć nowy
wektor:
�ł łł
2
�ł śł
0
�ł śł
x = �ł śł
�ł -2 �ł
1
Te dwa wektory to nasze rozwiązania specjalne.
�ł łł �ł łł
-2 2
�ł śł �ł śł
1 0
�ł śł �ł śł
x1 = �ł śł x2 = �ł śł
�ł 0 �ł �ł -2 �ł
0 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 14 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
x =
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
�ł łł
-2
�ł śł
1
�ł śł
x = c �ł śł
�ł 0 �ł
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
�ł łł
-2
�ł śł
1
�ł śł
x = c �ł śł +
�ł 0 �ł
0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 15 / 35
Rozwiązania specjalne
Teraz dodajemy do siebie wielokrotności naszych specjalnych rozwiązań.
�ł łł �ł łł
-2 2
�ł śł �ł śł
1 0
�ł śł �ł śł
x = c �ł śł + d �ł śł
�ł 0 �ł �ł -2 �ł
0 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 15 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Mamy tyle specjalnych rozwiązań ile zmiennych swobodnych. W macierzy
mxn, gdzie m to liczba wierszy, n liczba kolumn, a r to rząd liczbę
zmiennych swobodnych obliczamy wg wzoru n - r. W naszym przypadku
to 4 - 2 czyli 2. To daje nam możliwość rozwiązywania Ax=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 16 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Mamy tyle specjalnych rozwiązań ile zmiennych swobodnych. W macierzy
mxn, gdzie m to liczba wierszy, n liczba kolumn, a r to rząd liczbę
zmiennych swobodnych obliczamy wg wzoru n - r. W naszym przypadku
to 4 - 2 czyli 2. To daje nam możliwość rozwiązywania Ax=0.
Ta macierz jest to macierz górnotrójkątna. Możemy ją zredukować jeszcze
bardziej. Będziemy ją nazywać zredukowaną postacią schodkową.
R=zredukowana wierszowa postać schodkowa macierzy
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 16 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która
spełnia następujące warunki:
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 17 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która
spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy
(współczynnikiem wiodącym) jest jedynka
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 17 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która
spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy
(współczynnikiem wiodącym) jest jedynka
jeśli wyraz aij znajduje się w tej samej kolumnie, co
pewien współczynnik wiodący i w wierszu powyżej tego
współczynnika, to aij = 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 17 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadz
my dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
0 0 2 4
�ł �ł
0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadz
my dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
�ł łł
1 2 2 2
�ł śł
0 0 2 4 -
�ł �ł
0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadz
my dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
�ł łł �ł łł
1 2 2 2 1 2 0 -2
�ł śł �ł śł
0 0 2 4 - 0 0 2 4
�ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadz
my dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
�ł łł �ł łł
1 2 2 2 1 2 0 -2
�ł śł �ł śł
0 0 2 4 - 0 0 2 4 -
�ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadz
my dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
�ł łł �ł łł �ł łł
1 2 2 2 1 2 0 -2 1 2 0 -2
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 2 4 - 0 0 2 4 - 0 0 1 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadz
my dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
�ł łł �ł łł �ł łł
1 2 2 2 1 2 0 -2 1 2 0 -2
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 2 4 - 0 0 2 4 - 0 0 1 2 =
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Preprowadz
my dalszą eliminację macierzy, tym razem zredukujmy
wyrażenia powyżej elementów osiowych.
�ł łł �ł łł �ł łł
1 2 2 2 1 2 0 -2 1 2 0 -2
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 2 4 - 0 0 2 4 - 0 0 1 2 = R
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 18 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
�ł łł
1 2 0 -2
�ł śł
0 0 1 2
�ł �ł
0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
�ł łł
1 2 0 -2
�ł śł
0 0 1 2 -
�ł �ł
0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
�ł łł
1 2 0 -2
1 0
�ł śł
0 0 1 2 -
�ł �ł
0 1
0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
�ł łł
1 2 0 -2
1 0
�ł śł
0 0 1 2 -
�ł �ł
0 1
0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
W naszej macierzy R możemy zauważyć część identycznościową. Są to
kolumny z elementami osiowymi.
�ł łł
1 2 0 -2
1 0
�ł śł
0 0 1 2 - I
�ł �ł
0 1
0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 19 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x1 + 2x2 - 2x4 = 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x1 + 2x2 - 2x4 = 0
Drugie równanie:
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x1 + 2x2 - 2x4 = 0
Drugie równanie:
x3 + 2x4 = 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 20 / 35
Zredukowana wierszowa forma schodkowa macierzy
Teraz ponownie wykonajmy podstawianie wsteczne, jednak teraz
wykorzystamy zredukowaną wierszową postać schodkową macierzy.
Rozwiązujemy teraz Rx=0.
x1 + 2x2 - 2x4 = 0
Drugie równanie:
x3 + 2x4 = 0
Pamiętajmy, że rozwiązania Ax=0, Ux=0 oraz Rx=0 są takie same.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 20 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1 0
0 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1 0

0 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1 0
I
0 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1 0 2 -2
I
0 1 0 2
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1 0 2 -2
I
0 1 0 2
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Podzielmy naszą zredukowaną macierz na dwie części: identycznościową(I)
oraz swobodną(F).
1 0 2 -2
I F
0 1 0 2
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 21 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Przypuśćmy że mamy zredukowną wierszową postać schodkową macierzy,
która w pierwszym wierszu posiada część identycznościową oraz swobodna,
a w drugim wierszu zera.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 22 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Przypuśćmy że mamy zredukowną wierszową postać schodkową macierzy,
która w pierwszym wierszu posiada część identycznościową oraz swobodna,
a w drugim wierszu zera.

I F
R =
0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 22 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Przypuśćmy że mamy zredukowną wierszową postać schodkową macierzy,
która w pierwszym wierszu posiada część identycznościową oraz swobodna,
a w drugim wierszu zera.

I F
R =
0 0
Macierz ta posiada r kolumn z elementami osiowymi,r wierszy z
elementami osiowymi oraz n-r kolumn swobodnych(gdzie r to rząd
macierzy, a n to liczba kolumn).
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 22 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?

-F
N =
I
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?

-F
N =
I
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Chcemy rozwiązać Rx=0. Potrzebujemy wszystkich rozwiązań specjalnych,
w tym celu stworzę macierz przestrzeni zerowej, gdzie kolumny są
rozwiązaniami specjalnymi. N będzie naszą macierzą przestrzeni zerowej.
Rozwiążmy równanie RN=0. Jakie N spełni warunek?

-F
N =
I
To jest macierz rozwiązań specjalnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 23 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0


xa
I F = 0
xb
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0


xa
I F = 0
xb
Gdzie xa to liczba zmiennych osiowych, a xb to liczba zmiennych
swobodnych.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0


xa
I F = 0
xb
Gdzie xa to liczba zmiennych osiowych, a xb to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0


xa
I F = 0
xb
Gdzie xa to liczba zmiennych osiowych, a xb to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
xa = -Fxb
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0


xa
I F = 0
xb
Gdzie xa to liczba zmiennych osiowych, a xb to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
xa = -Fxb
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 24 / 35
Rozwiązywanie Rx=0
Jaki jest mechanizm rozwiązywania Rx=0?
Rx=0


xa
I F = 0
xb
Gdzie xa to liczba zmiennych osiowych, a xb to liczba zmiennych
swobodnych.
Z tego mnożenia wynika równanie:
xa = -Fxb
Do tego sprowadza się cała operacja podstawiania wstecz, jest to
najprostsza postać równania Rx=0.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 24 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Wez
my transponowaną macierz A.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Wez
my transponowaną macierz A.
A
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Wez
my transponowaną macierz A.
A =
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Wez
my transponowaną macierz A.
�ł łł
1 2 3
�ł śł
2 4 6
�ł śł
A = �ł śł
�ł 2 6 8 �ł
2 8 10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Zróbmy następny przykład. Wez
my transponowaną macierz A.
�ł łł
1 2 3
�ł śł
2 4 6
�ł śł
A = �ł śł
�ł 2 6 8 �ł
2 8 10
Dwie pierwsze kolumny są niezależne, a trzecia jest zależna ponieważ jest
sumą poprzednich. Dlatego dwie pierwsze kolumny bedą kolumnami
osiowymi.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 25 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł
1 2 3
�ł śł
2 4 6
�ł śł
�ł śł
�ł 2 6 8 �ł
2 8 10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł
1 2 3
�ł śł
2 4 6
�ł śł
�ł śł -
�ł 2 6 8 �ł
2 8 10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł �ł łł
1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł
2 4 6 0 0 0
�ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł
�ł 2 6 8 �ł �ł 0 2 2 �ł
2 8 10 0 4 4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł �ł łł
1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł
2 4 6 0 0 0
�ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł -
�ł 2 6 8 �ł �ł 0 2 2 �ł
2 8 10 0 4 4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł �ł łł �ł łł
1 2 3 1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł �ł śł
2 4 6 0 0 0 0 2 2
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł - �ł śł
�ł 2 6 8 �ł �ł 0 2 2 �ł �ł 0 0 0 �ł
2 8 10 0 4 4 0 4 4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł �ł łł �ł łł
1 2 3 1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł �ł śł
2 4 6 0 0 0 0 2 2
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł - �ł śł -
�ł 2 6 8 �ł �ł 0 2 2 �ł �ł 0 0 0 �ł
2 8 10 0 4 4 0 4 4
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
2 4 6 0 0 0 0 2 2 0 2 2
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł - �ł śł - �ł śł
�ł 2 6 8 �ł �ł 0 2 2 �ł �ł 0 0 0 �ł �ł 0 0 0 �ł
2 8 10 0 4 4 0 4 4 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
2 4 6 0 0 0 0 2 2 0 2 2
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł - �ł śł - �ł śł =
�ł 2 6 8 �ł �ł 0 2 2 �ł �ł 0 0 0 �ł �ł 0 0 0 �ł
2 8 10 0 4 4 0 4 4 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
2 4 6 0 0 0 0 2 2 0 2 2
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł - �ł śł - �ł śł = U
�ł 2 6 8 �ł �ł 0 2 2 �ł �ł 0 0 0 �ł �ł 0 0 0 �ł
2 8 10 0 4 4 0 4 4 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Przeprowadz
my eliminację tej macierzy.
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
2 4 6 0 0 0 0 2 2 0 2 2
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł - �ł śł - �ł śł = U
�ł 2 6 8 �ł �ł 0 2 2 �ł �ł 0 0 0 �ł �ł 0 0 0 �ł
2 8 10 0 4 4 0 4 4 0 0 0
W drugim wierszu pojawiły się same zera więc zamieniliśmy go miejscami
z trzecim, aby uzyskać element osiowy w odpowiednim miejscu. Następnie
dokończyliśmy eliminację. Zatem rząd naszej macierzy jest równy 2. Liczba
kolumn z elementami osiowi jest równa dwa, a liczba kolumn swobodnych
jeden.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 26 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
�ł łł
�ł śł
x =
�ł �ł
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
�ł łł
�ł śł
x =
�ł �ł
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
�ł łł
�ł śł
x =
�ł �ł
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
�ł łł
�ł śł
x =
�ł �ł
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Drugie równanie:
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
�ł łł
�ł śł
x =
�ł �ł
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Drugie równanie:
2x2 + 2x3 = 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz szukamy przestrzeni zerowej. Dzięki podstawianiu wstecz stworzymy
wektor, przydzielamy liczbę jeden do naszej zmiennej swobodnej.
�ł łł
�ł śł
x =
�ł �ł
1
Zapiszmy teraz nasze równania.
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Drugie równanie:
2x2 + 2x3 = 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 27 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
�ł łł
-1
�ł śł
x = -1
�ł �ł
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
�ł łł
-1
�ł śł
x = -1
�ł �ł
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
�ł łł
-1
�ł śł
x = -1
�ł �ł
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
�ł łł
-1
�ł śł
x = c -1
�ł �ł
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy teraz uzupełnić nasz wektor.
�ł łł
-1
�ł śł
x = -1
�ł �ł
1
Naszą przestrzenią zerową będą wielokrotności tego wektora.
�ł łł
-1
�ł śł
x = c -1
�ł �ł
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 28 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znalez
ć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znalez
ć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
�ł łł
1 2 3
�ł śł
0 2 2
�ł śł
�ł śł
�ł 0 0 0 �ł
0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znalez
ć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
�ł łł
1 2 3
�ł śł
0 2 2
�ł śł
�ł śł -
�ł 0 0 0 �ł
0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znalez
ć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
�ł łł �ł łł
1 2 3 1 0 1
�ł śł �ł śł
0 2 2 0 1 1
�ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł
�ł 0 0 0 �ł �ł 0 0 0 �ł
0 0 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znalez
ć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
�ł łł �ł łł
1 2 3 1 0 1
�ł śł �ł śł
0 2 2 0 1 1
�ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł =
�ł 0 0 0 �ł �ł 0 0 0 �ł
0 0 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Teraz pozostaje nam tylko znalez
ć zredukowaną wierszową postać
schodkową R.
�ł łł �ł łł
1 2 3 1 0 1
�ł śł �ł śł
0 2 2 0 1 1
�ł śł �ł śł
�ł śł - �ł śł = R
�ł 0 0 0 �ł �ł 0 0 0 �ł
0 0 0 0 0 0
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 29 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1 0
0 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1 0

0 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1 0
I
0 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1 0 1
I
0 1 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1 0 1
I
0 1 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Możemy znowu zauważyć część identycznościową oraz swobodną.
1 0 1
I F
0 1 1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 30 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
x =
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
�ł łł
-1
�ł śł
x = c -1
�ł �ł
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
�ł łł
-1
�ł śł
x = c -1 =
�ł �ł
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 31 / 35
Podsumowanie Ax=0
Podstawianie wstecz pokazało nam taką zależność:
�ł łł

-1
�ł śł -F
x = c -1 = c
�ł �ł
I
1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 31 / 35
Zadania
Zadanie 1:
Znajdz
zredukowane wierszowe formy schodkowe macierzy oraz podaj jej
rząd.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 32 / 35
Zadania
Zadanie 1:
Znajdz
zredukowane wierszowe formy schodkowe macierzy oraz podaj jej
rząd.
�ł łł
1 3 2
�ł śł
A = 2 6 4
�ł �ł
2 1 -1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 32 / 35
Zadania
Zadanie 2:
Skonstruuj macierz, której przestrzeń zerowa zawiera wszystkie
kombinacje:
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 33 / 35
Zadania
Zadanie 2:
Skonstruuj macierz, której przestrzeń zerowa zawiera wszystkie
kombinacje:
a) (2,-1,1,0) (3,1,2,2)
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 33 / 35
Zadania
Zadanie 2:
Skonstruuj macierz, której przestrzeń zerowa zawiera wszystkie
kombinacje:
a) (2,-1,1,0) (3,1,2,2)
b) (1,2,0,-1) (2,0,2,-1)
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 33 / 35
Zadania
Zadanie3:
Wyznacz rząd podanej macierzy.
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 34 / 35
Zadania
Zadanie3:
Wyznacz rząd podanej macierzy.
�ł łł
-1 4 -1 0
�ł śł
2 1 0 5
�ł śł
�ł śł
1
A = �ł -1 -1 -1 śł
�ł śł
�ł -1 2 1 2
�ł
1 -2 -5 -10
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 34 / 35
Zadania
Zadanie 4:
Znajdz
przestrzeń zerową dla podanej macierzy,podaj rozwiązania
specjalne.
�ł łł
1 3 2
�ł śł
A = 2 6 4
�ł �ł
2 1 -1
Tomasz Bogdziewicz i Michał Graczyk () Rozwiązywanie Ax=0 17 grudnia 2012 35 / 35